1、直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式 来讨论位置关系. 0，直线和圆相交. =0，直线和圆相切. 0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较.dR，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.dR，直线和圆相离.2.直 线 和 圆 相 切 ， 这 类 问 题 主 要 是 求 圆 的 切 线 方 程 .求 圆 的 切 线 方 程 主 要 可 分 为 已 知 斜 率 k或 已 知 直 线 上 一 点 两 种 情 况 ， 而 已 知 直 线 上 一 点 又 可 分 为
2、已 知 圆 上 一 点 和 圆 外 一 点 两 种 情 况 .3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.（2005 年北京海淀区期末练习题）设 m0，则直线 （x+y）+1+m=0 与圆2x2+y2=m 的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为 d= ，圆半径为 .21dr= = （m2 +1）= （ 1） 20，21m直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆 x2y 24x +4y+6=0 截直线 xy5=0 所得的弦长等于A. B. C.1 D.5625解析：圆心到直线的距离为 ，半径为 ，弦长为 2 = .2)(
3、)6答案：A3.（2004 年全国卷，4）圆 x2+y24x =0 在点 P（1， ）处的切线方程为3A.x+ y2=0 B.x+ y4=03C.x y+4=0 D.x y+2=03解法一：x2+y24x=0y=kxk+ 3x24x+（kxk + ） 2=0.该二次方程应有两相等实根，即 =0，解得 k= .3y = （x 1） ，即 x y+2=0.33解法二：点（1， ）在圆 x2+y24x =0 上，点 P 为切点，从而圆心与 P 的连线应与切线垂直.又圆心为（2，0） ， k=1.130解得 k= ，切线方程为 x y+2=0.3答案：D4.（2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x
4、y7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A（0， 4） 、B（0，2） ，则圆 C 的方程为_.解析：圆 C 与 y 轴交于 A（0，4） ，B（0，2） ，由垂径定理得圆心在 y=3 这条直线上.又已知圆心在直线 2xy 7=0 上，y=3，2xy7=0. 圆心为（2，3） ，半径 r=|AC|= = .2)4(5所求圆 C 的方程为（x 2） 2+（y +3） 2=5.答案：（x2） 2+（y +3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是_.1解析：利用数形结合.答案：1k1 或 k= 2典例剖析【例 1】 已知圆 x2+y2+x6y+m =0
5、和直线 x+2y3=0 交于 P、Q 两点，且OPOQ （O 为坐标原点） ，求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于 OPOQ，所以 kOPkOQ=1，问题可解.解：将 x=32y 代入方程 x2+y2+x6y+m =0，得 5y220y+12+ m=0.设 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则 y1、y 2 满足条件y1+y2=4，y 1y2= .5OPOQ ， x1x2+y1y2=0.而 x1=32y 1， x2=32y 2，x 1x2=96（ y1+y2）+4y 1y2.联立 解得x=2，m=3 ，此时 0，圆心坐标为（ ，3） ，半径 r= .2125评述：在解答中，我们采用
6、了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.【例 2】 求经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2+（y +3） 2=37 的交点，且圆心在直线xy4=0 上的圆的方程 .剖析：根据已知，可通过解方程组（x+3） 2+y2=13，x2+（y+3） 2=37 由圆心在直线 xy 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3） 2+y213+ x 2+（y+3） 237=0，再由圆心在直线 x y4=0 上，定出参数 ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x2+
7、（y+3） 2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3） 2+y213+ x 2+（y+3） 237=0.展开、配方、整理，得（x+ ） 2+（y+ ） 2= + .1313842)1(9圆心为（ ， ） ，代入方程 xy4=0，得 =7.13故所求圆的方程为（x+ ） 2+（y+ ） 2= .789评述：圆 C1：x 2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆 C2：x 2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、C 2 相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y2+D1x+E1y+F1）+ （x 2+y2+D2x+E2y+F2）=0（ R 且 1）.它表示除圆 C2 以外的所有经过
8、两圆 C1、C 2 公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若 =1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】 已知圆 C：（ x1） 2（y2） 225，直线 l：（2m +1）x +（m +1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l 的方程（x +y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）.圆心 C（1，2） ，AC 5（半径） ，点 A 在圆 C 内，从而
9、直线 l 恒与圆 C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC ，21l 的方程为 2xy5=0.评述：若定点 A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论 得圆上两点，mR， 得求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练夯实基础1.若圆（x3） 2（y +5） 2r 2 上有且只有两个点到直线 4x3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，6解析：数形结合法解.答案：A2.（2003 年春季北京）已知直线 ax+by+c=0（abc0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形A.是锐角三角形 B
10、.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析：由题意得 =1，即 c2=a2+b2，由a、b、c构成的三2|0|ba角形为直角三角形. 答案：B3.（2005 年春季北京，11）若圆 x2+y2+mx =0 与直线 y=1 相切，且其圆心在 y 轴41的左侧，则 m 的值为_.解析：圆方程配方得（x+ ） 2+y2= ，圆心为（ ，0）.m2m由条件知 0.2又圆与直线 y=1 相切，则 0（1）= ，即 m2=3，m = .4123答案： 34.（2004 年福建，13）直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26x 2y 15=0 所截得的弦长等于_.解析：由 x2+y26x 2y15=0，
11、得（x3） 2+（y1） 2=25.知圆心为（3，1） ，r=5.由点（3，1）到直线 x+2y=0 的距离 d= = .5|3|可得 弦长为 2 ，弦长为 4 .5答案：45.自点 A（3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2y 24x 4y70 相切，求光线 l 所在直线的方程.解：圆（x2） 2（y 2） 21 关于 x 轴的对称方程是（ x2） 2（y 2） 21.设 l 方程为 y 3k（x3） ，由于对称圆心（2，2）到 l 距离为圆的半径 1，从而可得 k1 ，k 2 故所求 l 的方程是 3x4y30 或 4x3y30.436.已知
12、 M（x 0，y 0）是圆 x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r2 与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O（0，0）到直线 x0x+y0y=r2 的距离为 d= .20yxrP（x 0，y 0）在圆内， r，故直线和圆相离 .培养能力7.方程 ax2+ay24（a1）x +4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）a0 时，方程为x 2+（y+ ） 2= ，)1(2)(4a由于 a22a+20 恒成立，a0 且 aR 时方程表示圆 .（2）r 2=4 =42( )2+ ，2a1a=2 时，
13、r min2=2.此时圆的方程为（x1） 2+（y1） 2=2.8.（文）求经过点 A（2，4） ，且与直线 l：x+3y26=0 相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组3DE=36，2D+4EF=20，8D+6E+F=100.D=11，E=3，F=30.圆的方程为 x2+y211x +3y30=0.（理）已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q（4，0）.（1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（2）设POQ 的平分线交 PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程.解：（1）设 PQ 中点 M（x ， y） ，则 P（2x4，2y） ，代入圆的
14、方程得（x2） 2+y2=1.（2）设 R（x， y） ，由 = = ，|Q|O1设 P（m，n） ，则有m= ，243xn= ，y代入 x2+y2=4 中，得（x ） 2+y2= （y 0）.34916探究创新9.已知点 P 到两个定点 M（ 1，0） 、N（1，0）距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的2距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（x ，y ） ，由题设有 = ，|N2即 = ，2)1(yx2)1(yx整理得 x2+y2 6x+1=0. 因为点 N 到 PM 的距离为 1，|MN|=2，所以PMN=30，直线 PM 的斜率为 .3直线 PM 的方程为 y=
15、（x +1）. 3将代入整理得 x24x +1=0.解得 x1=2+ ，x 2=2 .代入得点 P 的坐标为（2+ ，1+ ）或（2 ，1+ ） ；（2+ ，1333）或（2 ，1 ）.33直线 PN 的方程为 y=x1 或 y=x+1.思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆
16、相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例 1】 已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为 A（1，2） ，要使过定点A（1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x+ ） 2+（y+1） 2= ，圆心 C 的坐标为
17、（ ，1） ，43a半径 r= ，432a条件是 43a 20，过点 A（1，2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即 .)()1(43a化简得 a2+a+90.43a 20，a2+a+90， a ，32aR. a .32故 a 的取值范围是（ ， ）.32【例 2】 已知O 方程为 x2+y2=4，定点 A（4，0） ，求过点 A 且和O 相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为 P（x，y ） ，因为动圆过定点 A，所以|PA|即动圆半径.当动圆 P 与O 外切时，|PO|=|PA|+2；当动圆 P 与O 内切时，|PO|=|PA| 2.综合这两种情况，得|PO |PA|=2.将此关系式坐标化，得| |=2.2yx2)4(yx化简可得（x2） 2 =1.3解法二：由解法一可得动点 P 满足几何关系|OP|PA |=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值 2，所以 P 点轨迹是以 O、 A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在 OA 中点（2，0） ，实半轴长 a=1，半焦距 c=2，虚半轴长 b=由解之得= ，所以轨迹方程为（ x2） 2 =1.2ac33y
