1、第五章 采样基本题考虑正弦信号)sin()0ttx若 用频率 采样，那么离散时间信号 就等于)(txradTs/2 )(nTx)si(0T假定采样频率固定在 。srad/81921假设 并定义 T=1/8192。创建向量 n=0:8192，使得 t=n*Tsrad/)10(2包含了区间 内 8192 个时间样本。创建向量 x，它包含在 t 的时间样本上t的样本。)(tx代码：clear;clc;n=0:8192;T=1/8192;t=n.*T;2用 stem 对 展示前 50 个 样本，用 plot 对采样时间展示 的前 50 个样nnx )(tx本。为了计算带限重建信号 的连续时间傅立叶变换
2、的样本，今用下列函数)(tr这个函数用 fft 计算重建信号的傅立叶变换。文件 ctffts.m 应该装在相应的MATLABPATH 中。代码：函数：function X,w=ctffts(x,T)N=length(x);X=fftshift(fft(x,N)*(2*pi/N);w=linspace(-1,1-1/N,N)/(2*T);主程序：clear;clc;n=0:50;T=1/8192;t=n.*T;x=sin(2*pi*10000*t);subplot(211)stem(n,x);title(用 stem 展示前 50 个样本 )gridsubplot(212)plot(t,x)ti
3、tle(用 plot 函数展示前 50 个样本)grid画图：3用X,w=ctffts(x,T)计算重建信号 的连续时间傅立叶变换。画出 X 对 w)(txr的幅值图。X 在合理的频率值上是非零吗？假定当 X 接近于零时，相位等于零，X 的相位正确吗？代码：clear;clc;n=0:8192;T=1/8192;t=n.*T;x=sin(2*pi*10000*t);X,w=ctffts(x,T)plot(w,X)图形：分析：X 在合理的频率值上是非零的；当 X 接近于零时，相位等于零，X 的相位正确中等题4对正弦频率 和 重作 13。X 的幅值对于所srad/)150(20srad/)20(预
4、计的频率还是非零吗？X 的相位正确吗？代码：代码跟 13 的差不多，只需将频率改成 15000 和 20000 就可以了对采样时间展示 的前 50 个样本：)(tx频域图形：分析：X 的幅值对于所预计的频率是非零；X 的相位不正确5用 sound(x,1/T)将 4 中创建的每个采样信号放出来。你听到的音调随 频率0的提高而提高吗？注意，和 plot 一样，sound 函数也有内插的作用。分析：从听到的声音来看， 比 听到的音调srad/)20(srad/)150(20要高。因此，听到的音调随 频率的提高而提高6现在对正弦频率 ， ， ，sr/)35(20sr/)4( sr/)4(和 重作 1
5、 和 3。也用 sound 将每个采样信号放出来。srad/)50(2ad/)(你所听到的音调高度随每次频率 的增加而提高吗？如果不是，你能解释这个0现象吗？对采样时间展示 的前 50 个样本：)(tx频域图形：分析：听到的音调高度不再随随每次频率 的增加而提高；因为频率太高，0时域图形想调幅信号，包络是为正弦变化，其幅频不再随周期变化。因此要使音调高度随频率增加而提高，必须使频率控制在一定范围内。深入题现在考虑信号)21sin()(0tttx由于这个信号当通过一个扬声器放出来时，其声音听起来像鸟叫的声音，所以常称它为鸟声信号，这是由于这个信号的瞬时频率随时间而增加的缘故。一个正弦信号的瞬时频
6、率是它的相位的导数，即 sin(.)的宗量的导数。对于这个鸟声信号，其瞬时频率是tdttins 020)1()在下面习题中，假设 。sras/8192(7设 和 ，将该鸟声信号在区间 内的样本rad/)30(220 10t存入时间向量 x 中。代码：clear;clc;w0=2*pi*30000;b=2000;n=0:8192;T=1/8192;t=n.*T;W=w0*t+0.5*b*t.2.;x=sin(W) 8用 sound 放出在 x 中的鸟声信号。你能解释刚才听到的吗？代码：clear;clc;load splat;w0=2*pi*30000;b=2000;n=0:8192;T=1/8
7、192;t=n.*T;W=w0*t+0.5*b*t.2.;x=sin(W)fs=8192sound(x,fs)分析：fs 为采样频率，当采样频率过低时，不能采集到声信号；当采样频率比较低时，听到的声信号比较冗长，而且很混浊；当采样频率越高，采集到的声音越清晰尖锐，声音延续时间也越短暂。9确定鸟声信号有最大强度的近似时间样本。已知瞬时频率的线性方程和你对混叠的理解，请解释怎样本就能预计到这个时间样本。分析：采样频率过低，就可能产生频谱混叠，因此听到的声音比较混浊；当采样频率大于奈圭斯特频率，就不会产生混叠，因此采样频率达到一定程度时，声音就会比较清晰。5.2 由样本重建信号在下面的练习中，既用带
8、限内插，又用线性内插从采样时刻 得21,Tnt到的样本来重建下列信号：)58cos()1ttxttt其 余 022)(2基本题1用解析法证明，在采样时刻 和 都等于样本值 。这样的内插器)(1txb)(tlin)(nTx称为严格内插器，因为它们保留了原始信号在采样时刻的真正值。这个带限内插和线性内插滤波器时因果的吗？分析：若用 Sa 函数做内插,连续时间信号 f(t)可展开成 Sa 的无穷级数，级数的系数等于抽样值 fs(nT)。也可以说抽样信号 fs(nT)的每个抽样值上画一个峰值为 fs(nT)的 Sa 函数图形，由此合成的信号就是 f(t)。按照线形的叠加性，当 fs(T)通过低通滤波器
9、时，抽样序列的每个冲激信号产生一个响应，将这些响应叠加就可以得出 f(t)，从而达到有fs(t)恢复 f(t)的目的。因为在 t N=4*(length(xs2)-1)+1; xe2=zeros(1,N); xe2(1:4:N)=xs2;在 xe2 中每个元素的时间由 te=-4:Ti:4给出。对于在 te 中的每一个时刻等于在ts 中的一个样本时间，xe2 就包含了在 xs2 中的相应值；否则，xe2 是零。用stem 画出 xe2 对 te 的图，并将它与 xs2 图比较。代码：clear;clc;T=1/2;Ti=1/8;te=-4:Ti:4;ts=-4:T:4;xs2=(1-abs(t
10、s)/2)+abs(1-abs(ts)/2)/2;N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=zeros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2;subplot(2,1,1);stem(te,xe2);title(xe2);subplot(2,1,2);plot(xs2);title(xs2);运行图：6利用 conv 将 xe2 与 hlin 作卷积，conv 输出的一个子集含有在时刻 ti 上的线性内插。记住，存在 hlin 中的线性的内插器对应于一个非因果滤波器，而 conv则认为滤波器是因果的。参照 8.1 节有关 conv 如何能用来实现非因果滤波器的说明，提取对应于 输出的
11、所要求部分，并将它存入向量 ylin 中。用 plot 画2t出 ylin 对 ti 的图。你的内插应该完全重复 在区间 上的值。你怎样早就)(2tx2t能预计这一结果？代码：clear;clc;Ti=1/8;T=1/2;te=-4:Ti:4ti=-2:Ti:2ts=-4:T:4;xs2=(1-abs(ts)/2)+abs(1-abs(ts)/2)/2N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=zeros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2;hlin=(1-abs(ti)/T)+abs(1-abs(ti)/T)/2;ylin=conv(xe2,hlin);k=33:65;stem(
12、ti,ylin(k);运行图：分析：因为带限信号 f(t)的傅立叶变换为 F(w)，经冲激序列抽样之后 fs(t)的傅立叶变换为 Fs(w)，在满足抽样定理的条件下 Fs(w)是 F(w)的重复，而且不会产生混叠。内插结果完全重复 在区间 上的值。)(2tx2t7 利用相同过程计算 样本的带限内插，记住，你仅需要计算在 ti 时刻上的)(2tx内插。这个内插与线性内插比较怎样？请说明原因。代码：clear;clc;T=1/2;Ti=1/8;te=-4:Ti:4;ti=-2:Ti:2;ts=-4:T:4;xs2=(1-abs(ts)/2);N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=ze
13、ros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2;hb1f=sin(pi*ti/T)./(pi*ti/T+eps);yb1f=conv(xe2,hb1f);k=33:65;stem(ti,yb1f(k);title(yb1f);运行图：分析：带限内插用 Sa 函数实现内插，带限内插要求被抽样的函数 f(t)频带必须受限，且满足抽样定理要求，能完成 f(t)信号的精确恢复。而线形内插用阶梯信号和折线信号近似表示连续的函数曲线。这些内插近似比较粗糙，误差较大。由于带限内插用 Sa 函数作为冲激，当抽样时间满足一定条件时，抽样点值为 0，不能恢复原函数值，而且这种抽样点周期出现。8利用相同过程计算 样
14、本的线性和带限内插。记住，你仅需要计算在 ti 时)(1tx刻上的内插。哪一种内插更为逼真地重现在区间 内的原信号 ？2t )(1tx代码：clear;clc;T=1/2;Ti=1/8;te=-4:Ti:4;ti=-2:Ti:2;ts=-4:T:4;xs1=cos(8*pi*ts/5);N=4*(length(xs1)-1)+1;xe1=zeros(1,N);xe1(1:4:N)=xs1;hb1f=sin(pi*ti/T)./(pi*ti/T+eps);yb1f=conv(xe1,hb1f);k=33:65;subplot(211)stem(ti,yb1f(k);title(带限内插);gri
15、dhlin=(1-abs(ti)/T)+abs(1-abs(ti)/T)/2;ylin=conv(xe1,hlin);k=33:65;subplot(212)stem(ti,ylin(k);title(线性内插);grid运行图：分析：对 进行抽样重建时，用带限内插能更为逼真地重现在区间 内)(1tx 2t的原信号 )(t9说明这两种内插器的相对优缺点。分析：带限内插用 Sa 函数实现内插，带限内插要求被抽样的函数 f(t)频带必须受限，且满足抽样定理要求，能完成 f(t)信号的精确恢复；然而带限内插是假定抽样脉冲是冲激序列，在实际电路与系统中，要产生和传输接近的冲激函数的时宽窄且幅度大的脉冲
16、信号比较困难。而线形内插用阶梯信号和折线信号近似表示连续的函数曲线。这些内插近似比较粗糙，误差较大实验六 系统的复频域分析6.1 MATLAB 函数 lsim（用于系统函数）基本题1定义系数向量 a1 和 b1 用以描述由下面系统函数表征的因果 LTI 系统：2)(1sHa=1 -2; %分子系数b=1 2; %分母系数 2定义系数向量 a2 和 b2 用以描述由下面系统函数表征的因果 LTI 系统：3.0)(2sH代码：将上题的分子系数和分母系数修改即可a=3; %分子系数b=1 0.3; %分母系数3定义系数向量 a3 和 b3 用以描述由下面系统函数表征的因果 LTI 系统：8.02)(
17、3sH代码：a=2 0; %分子系数b=1 0.8; %分母系数4利用 lsim 和前面部分定义的向量求这些因果 LTI 系统对由 t=0:0.1:0.5，x=cos(t)给出的输入的输出。代码：clear;clc;a1=1 -2; %分子系数b1=1 2; %分母系数a2=3; %分子系数b2=1 0.3; %分母系数a3=2 0; %分子系数b3=1 0.8; %分母系数t=0:0.1:0.5x=cos(t); %输入向量y1=lsim(a1,b1,x,t); %输出向量y2=lsim(a2,b2,x,t); %输出向量y3=lsim(a3,b3,x,t); %输出向量t,x,y1,y2,
18、y3 %输出结果到命令窗口运行结果： t x y1 y2 y30 1.0000 1.0000 0 2.00000.1000 0.9950 0.6334 0.2948 1.83660.2000 0.9801 0.3261 0.5779 1.66670.3000 0.9553 0.0692 0.8468 1.49100.4000 0.9211 -0.1444 1.0991 1.31050.5000 0.8776 -0.3205 1.3323 1.12626.2 作连续时间的零极点图目的这一节要学习如何在一个零极点图上展现有理系统函数的零极点。相关知识一个有理系统函数的零极点能用函数 roots 计
19、算出。例如，对于系统函数为231)(ssH的 LTI 系统，其零极点可用执行如下命令而计算出： b=1 -1; a=1 3 2; zs=roots(b)zs =1 ps=roots(a)ps =-2-1一个简单的零极点图可以用在复数 s 平面内，在每个极点的位置放一个 x，在每个零点的位置放一个来完成，也即 plot(real(zs),imag(zs),o); hold on plot(real(ps),imag(ps),x); grid axis(-3 3 -3 3)基本题1下列每个系统函数都对应于稳定的 LTI 系统。用 roots 求每个系统函数的零极点，如上所示的利用 plot 画出零
20、极点图并作适当标注。(i) 325)(ssH(ii) 10(iii) )2(52)ss若干不同的信号能有相同的拉普拉斯变换有理表达式，但有不同的收敛域。例如，具有单位冲激响应为 的因果和反因果 LTI 系)()(,)( tuethuethaactc 统就有相同的分子和分母多项式的有理系统函数为sasHc )Re( 1)(aa 然而，它们有不同的系统函数，因为 它们有不同的收敛域。编写的画零极点的函数：%画零极点图,num 表示分子多项式，den 表示分母多项式function splane(num,den)p = roots(den); % 求极点q = roots(num); % 求零点p
21、= p; q = q;x = max(abs(p q); % 确定实轴范围 x = x+1;y = x; % 确定虚轴范围 plot(-x x,0 0,:);hold on; % 画实轴plot(0 0,-y y,:);hold on; % 画虚轴plot(real(p),imag(p),x);hold on; % 画极点plot(real(q),imag(q),o);hold on; % 画零点xlabel(实部);ylabel(虚部)axis(-x x -y y); % 确定显示范围主程序：clear;clc;%a 表示分子系数,b 表示分母系数 zs 表示零点，ps 表示极点a1=1 5
22、;b1=1 2 3;a2=2 5 12;b2=1 2 10;a3=a2;b3=1 4 14 20;subplot(311)splane (a1,b1)legend( o 表示零点， * 表示极点 )title(H1 零极点分布);grid on;subplot(312)splane (a2,b2)legend( o 表示零点， * 表示极点 )title(H2 零极点分布);grid on;subplot(313)splane (a3,b3)legend( o 表示零点， * 表示极点 )title(H3 零极点分布);grid on;运行结果：zs1 =-5 ps1 =-1.0000 + 1
23、.4142i 或 ps1 =-1.0000 - 1.4142izs2 = -1.2500 + 2.1065i 或 zs2 = -1.2500 - 2.1065ips2 = -1.0000 + 3.0000i 或 ps2 =-1.0000 - 3.0000izs3 =-1.2500 + 2.1065i 或 zs3 =-1.2500 - 2.1065ips3 = -1.0000 + 3.0000i 或 ps3 = -1.0000 - 3.0000i 或 ps3 = -2.0000 2对 1 中每个有理表达式，确定它们的收敛域。分析：第一个表达式，因果系统收敛域 ( ，inf),反因果的为(-inf
24、, )；33第二个表达式，因果系统收敛域 ( ，inf),反因果的为 (-inf, )；1010第三个表达式，因果系统收敛域 ( ，inf),反因果的为 (-inf, )。3对输入和输出满足下面微分方程：)(52)()(3txdttxydt 的因果 LTI 系统，求系统函数的零点和极点，并完成一幅适当标注的零极点图。代码：clear;clc;%a 表示分子系数,b 表示分母系数 zs 表示零点，ps 表示极点a=1 -3;b=1 2 5;zs=roots(a)ps=roots(b)r=abs(ps);%收敛半径splane (a,b) %调用前面写的函数画零极点图legend( o 表示零点，
25、 * 表示极点 )title(零极点分布);grid on;运行结果：中等题下面的练习需要用到函数 plotpz，其具体实现如下。函数 plotpz 是用于对分子和分母多项式的系数存入向量 a 和 b 中的 LTI 系统画出零极点图用的。这个函数除了画图以外，还产生零极点的值。function ps,zs=plotpz(b,a,ROC)ps=roots(a);zs=roots(b);ps=ps(:);zs=zs(:);Maxl=max(abs(imag(ps;zs;j);MaxR=max(abs(imag(ps;zs;i);plot(1.5*-MaxR MaxR,0 0,w);hold ont
26、ext(1.5*MaxR,0,Re);plot(0 0,1.5*-Maxl Maxl,w);text(0,1.5*Maxl,Im);plot(real(zs),imag(zs),bo);plot(real(ps),imag(ps),bx);if (nargin(plotpz)2)if(any(real(ps)ROC)rpole=min(real(ps(real(ps)ROC);plot(rpole rpole,1.5*-Maxl Maxl,r-);endtext(ROC,-1.25*Maxl,ROC);endaxis(equal);grid;hold on任选宗量 ROC 用来在图中指出收敛域
27、。在该系统的收敛域内用选取 ROC 是一个点，plotpz 将适当地给系统的收敛域标注。例如，试试执行下列命令 b=1 -1; a=1 3 1; ps,zs=plotpz(b,a,1); ps,zs=plotpz(b,a,-2);4说明 plotpz 如何在 ROC 内画出一个单一的点确定一个有理变换的收敛域。分析：若 ps 为极点，令 r=abs(ps)即可求出收敛半径，且能够在 ROC 内画出一个单一的点确定一个有理变换的收敛域6.3 MATLAB 函数 freqz目的学习用函数 freqz 绘制 LTI 系统的频率响应。相关知识一个稳定的 LTI 系统可以完全用它的频率响应 来表征。若
28、是系)(jH)(jX统输入的 CTFT，那么 。就给出了系统输出的 CTFT。输入和)()(jXHjY输出满足线性常系数微分方程的 LTI 系统是一类重要的系统，其部分原因是因为这些系统的频率响应很容易求得。即满足下面微分方程的 LTI 系统：MmNkkdtxbdtya00)()(其频率响应可直接得出为011)()()()( ajjaj bbjHNNMM 函数 freqz(b,a)能用于计算并画出这个频率响应，其中向量 b 和 a 分别包含系数和 。在 b 和 a 中系数的排列次序与对 lsim 输入所要求的次序是完全相同的。mbka现考虑一阶微分方程 ，它描述的是一个因果、稳定的 LTI)(
29、3)(txtydt系统的输入输出关系。这个系统的频率响应是 。如果对 freqz(b,a)jjH3)(没有提供宗量，那么将自动画出 的幅值和相位。执行如下命令：)(j a=1 3; b=3; freqs(b,a)就可得到下图。可用其频率特性表达式自行确认下图的幅值和相位是正确的。命令 freqz 自动选择画出 的频率范围。如果想要 在特定的 值)(jH)(jH上画出，或者在一个不同于由 freqz 自动选定的频率范围画出 ，可以将这些频率作为输入给出。例如，执行如下命令 w=linspace(0,3*pi); H=freqz(b,a,w)就产生在 区间内，100 个等间隔 上的 。30)(jH
30、基本题1利用 freqz 画出微分方程 描述的一个因果、)(5)(4)(322 txdtydtty稳定的 LTI 系统的频率响应的幅值和相位。代码：clear;clc;a=1 5 0;b=3 4 1;%w=linspace(0,3*pi)freqs(b,a);运行图：6.4 系统的时域和频域特性目的考虑几个由线性常系数微分方程描述的稳定的 LTI 系统，对这些系统要求计算它们的单位冲激响应和频率响应。尽管用频率响应或单位脉冲响应都足以完全表征一个 LTI 系统，但是将会明白有时候既从时域，又从频域来考虑系统特性是很有利的。相关知识因为系统对任意输入 的响应 由卷积 给出,所以一个 LTI)(t
31、x)(ty)()(txhty系统的单位冲激响应 完全表征了该系统。如果系统是稳定的，那么该系统的h一个等效表示就由它的频率响应 给出，这时连续时间傅立叶变换是由)(jH关联的。)()(jXHjY基本题考虑由下面微分方程给出的一类因果 LTI 系统)()()(0txatydt其中 以保证稳定性。定义系统 I 是满足上式， 的系统，系统 II 是0a 30a的系统。3101用解析法导出对应于上式的稳定 LTI 系统的频率响应，同时确定这个频率响应的幅值和相位。分析：本系统的频率响应特性为 H(jw)=a0/(jw+a0)，幅值为a0*a0/(w*w+a0*a0),相位为 -actan (-w/a0
32、)。2定义 w=linspace(0,10)，利用 freqz 计算系统 I 和系统 II 在 w 频率上的频率响应，在单一的图上画出这两个频率响应的幅值。这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致吗？代码：clear;clc;w=linspace(0,10);a0=3;a01=1/3;a=a0;b=1 a0;a1=a01;b1=1 a01;subplot(211)H=freqz(a,b,w)plot(abs(H);title(a0=3);subplot(212)H1=freqz(a1,b1,w)plot(abs(H1);title(a0=1/3);图形：分析：由图形与表达式可知，这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致3用函数 impulse 计算系统 I 和系统 II 在向量 t=linspace(0,5)所定义的时间样本点上的单位冲激响应。代码：clear;clc;t=linspace(0,5)a0=3;a01=1/3;a=a0;b=1 a0;a1=a01;b1=1 a01;subplot(211),impulse(a,b,5),grid on,legend(a0=3);title(单位冲激相应);subplot(212),impulse(a1,b1,5),grid on,legend(a0=1/3);运行结果：
