1、第二轮复习 探索性问题、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析
2、式的求法（图象及其性质） 、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力、典型例题剖析【例 1】如图 261，已知抛物线的顶点为 A(O，1)，矩形 CDEF 的顶点 C、F 在抛物线上，D、E 在 轴上，CF 交 y 轴于点 B(0，2)，且其面积为 8x(1)求此抛物线的解析式；(2)如图 262，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点，连结 PB 并延长交抛物线于
3、点 Q，过点 P、Q 分别作 轴的垂线，垂足分别为 S、 R求证：PB PS；判断SBR 的形状；试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点的三角形和以点 Q、R、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由解：方法一：B 点坐标为 (0，2)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)F 点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为 2yaxbc其过三点 A(0， 1)，C(-22) ，F(2，2)。得 解得124xabc1,04c此抛物线的解析式为 2yx 方法二：B 点坐标为(0，2)，OB2，矩形 CDEF
4、面积为 8， CF=4.C 点坐标为(一 2，2)。 根据题意可设抛物线解析式为 。2yaxc其过点 A(0，1)和 C(-22) 解得124ca1,4c此抛物线解析式为 2yx(2)解：过点 B 作 BN ，垂足为 NSP 点在抛物线 y= +l 上可设 P 点坐标为 PS ，OBNS2，BN 。PN=PSNS=214x21(,)4a214aa在 Rt PNB 中214aAPB2 2221()()4NBaPB PS 1根据同理可知 BQQR。 ，2又 ，3 ，同理 SBP B 5180 .99SR SBR 为直角三角形 方法一：设 ，,PbQc由知 PSPBb ， 。BPbc222()SRb
5、c 。假设存在点 M且 MS ，别 MR 。若使PSM MRQ，2SRcxx则有 。即x20c 。 SR212xbcbM 为 SR 的中点. 若使PSMQRM，则有 。 。xcxc 。21RbQBROSbPScM 点即为原点 O。综上所述，当点 M 为 SR 的中点时 PSMMRQ；当点 M 为原点时， PSM MRQ 方法二：若以 P、S 、M 为顶点的三角形与以 Q、M、R 为顶点三角形相似， ，90RQ有 PSM MRQ 和 PSMQRM 两种情况。当 PSM MRQ 时 SPM RMQ， SMP RQM 由直角三角形两锐角互余性质知 PMS+ QMR90。 。 90PQ取 PQ 中点为
6、 N连结 MN则 MN PQ= 12()RSMN 为直角梯形 SRQP 的中位线 ,点 M 为 SR 的中点 当PSMQRM 时，。又 ，即 M 点与 O 点重合。点 M 为原点 O。RQBSPRS综上所述，当点 M 为 SR 的中点时， PSMMRQ；当点 M 为原点时， PSMQRM。 点拨：通过对图形的观察可以看出 C、F 是一对关于 y 轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c 型即可而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a， a2+1） 这样再过点 B 作 BNPS得出的几何图形求出 PB 、PS 的大小最后一问的关键是要
7、找出PSM14与MRQ 相似的条件【例 2】探究规律：如图 264 所示，已知：直线 mn，A、B 为直线 n 上两点，C 、P 为直线 m 上两点（1）请写出图 264 中，面积相等的各对三角形；（2）如果 A、B、C 为三个定点，点 P 在 m 上移动，那么，无论 P 点移动到任何位置，总有_与ABC 的面积相等理由是：_.解决问题：如图 265 所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图 266 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（266 中折线 CDE）还保留着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面
8、积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由解：探究规律：（l）ABC 和ABP，AOC 和 BOP、CPA 和CPB （2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置，总有ABP 与ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等解决问题：画法如图 267 所示连接 EC，过点 D 作 DFEC ，交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路位置设 EF 交 CD 于点 H，由上面得到的结论可知：SECF =SE
9、CD ，S HCF =SEDH ，所以 S 五边形 ABCDE=S 五边形 ABCFE，S 五边形 EDCMN=S 四边形 EFMN点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接 EC，过 D 作 DFEC ，再运用同底等高的三角形的面积相等【例 3】如图 268 所示，已知抛物线的顶点为 M（2，4） ，且过点 A(1,5) ，连结AM 交 x 轴于点 B求这条抛物线的解析式；求点 B 的坐标；设点 P（x，y）是抛物线在 x 轴下方、顶点 M 左方一段上的动点，连结 PO，以 P为顶点、PQ 为腰的等腰三角形的另一顶点 Q 在 x
10、轴上，过 Q 作 x 轴的垂线交直线 AM 于点 R，连结 PR设面 PQR 的面积为 S求 S 与 x 之间的函数解析式；在上述动点 P（x，y）中，是否存在使 SPQR =2 的点？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由解：（1）因为抛物线的顶点为 M（2，4）所以可设抛物线的解析式为 y=（x2） 2 4因为这条抛物线过点 A（1 ，5）所以 5=a(1 2)24解得 a=1所以所求抛物线的解析式为 y=（x2） 2 4 （2）设直线 AM 的解析式为 y=kx+ b因为 A（1，5）, M（2，4）所以 ，kb解得 k=3，b=2所以直线 AM 的解析式为 y=3x2当 y=0
11、时，得 x= ，即 AM 与 x 轴的交点 B（ ,0）23 23（3）显然，抛物线 y=x24x 过原点(0 ，0当动点 P（x，y）使POQ 是以 P 为顶点、PO 为腰且另一顶点 Q 在 x 轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q（2x，0）因为动点 P 在 x 轴下方、顶点 M 左方，所以 0x2因为当点 Q 与 B（ ，0）重合时，PQR 不存在，所以 x ，23 13所以动点 P（x，y）应满足条件为 0x2 且 x ，13因为 QR 与 x 轴垂直且与直线 AM 交于点 R，所以 R 点的坐标为（2x，6x+2） 如图 269 所示，作 P HOR 于 H，则 PH= |,|62|
12、QPxxQRx而 S=PQR 的面积= QRP H= 12 12|x下面分两种情形讨论：当点 Q 在点 B 左方时，即 0x 时，13当 R 在 x 轴上方，所以6x 20所以 S= （6x2）x=3x 2+x；12当点 Q 在点 B 右方时，即 x2 时13点 R 在 x 轴下方，所以6x 20所以 S= （ 6x2）x=3x 2x； 12即 S 与 x 之间的函数解析式可表示为23(0)31（4）当 S=2 时，应有3x 2+x =2，即 3x2 x+ 2=0 ，显然0，此方程无解或有 3x2x =2，即 3x2 x2=0，解得 x1 =1，x 223当 x=l 时，y= x 24x=3，
13、即抛物线上的点 P（1，3）可使 SPQR =2；当 x= 0 时，不符合条件，应舍去23所以存在动点 P，使 SPQR =2，此时 P 点坐标为(1,3)点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点 B 是直线 AM 与 x 轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线 AM，从而得出与 x 轴的交点 B(3) 问中注意的是 Q 点所处位置的不同得出的 S 与 x 之间的关系也随之发生变化 （4）可以先假设存在从而得出结论、综合巩固练习：（100 分 90 分钟） 1 观察图 2610 中）至中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆
14、放记第 n 个图中小黑点的个数为y解答下列问题： 填下表： 当 n=8 时，y=_； 根据上表中的数据，把 n 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，在图 2611 的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y） ，其中 1n5； 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式2 （5 分）图 2612 是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了_块石子3(10 分) 已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB =90，P 是 AB 边上的动点（与点 A、B 不重合） ，Q 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合）
15、如图 2613 所示，当 PQA C ，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 CP 的长； 当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 的长的取值范围，若不可能，请说明理由4如图 2614 所示，在直角坐标系中，以 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线 ：y=x 及动直线 ：y=x+2a（la1）上方部分的面积为 S（例如当 a 取某个值时，S1l2l为图中阴影部分的面积） ，试分别求出当 a=0，a=1 时，相应的 S 的值5 （10 分）如图 2615 所示，DE 是ABC 的中位线，B90 ，A
16、FB C在射线 A F 上是否存在点 M，使MEC 与A DE 相似？若存在，请先确定点 M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由 6如图 2616 所示，在正方形 ABCD 中，AB=1， 是以点 B 为圆心AB 长为半径的圆的一段弧点 E 是边 ADAC上的任意一点（点 E 与点 A、 D 不重合） ，过 E 作 AC 所在圆的切线，交边 DC 于点 F 石为切点 当 DEF45 时，求证点 G 为线段 EF 的中点； 设 AE=x， FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式；并写出函数的定义域； 图 2617 所示，将DEF 沿直线 EF 翻折后得 D1EF，当 EF= 时，讨论
17、AD 1D 与ED 1F 是否相似，如果相56似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。 （图 2618 为备用图）7 （10 分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图 2619（1）所示； 第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点 B，得 RtABE，如图2619（2）所示；第三步：沿 EB线折叠得折痕 EF，如图 2619 所示；利用展开图 2619（4）所示探究：（l）AEF 是什么三角形？证明你的结论（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由
18、8 （10 分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a0)，当实数 a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a0)的顶点的横坐标减少 ，纵坐标增加 ，得到 A 点的坐标；若把顶点的 横坐标增加 ，纵坐标增1a 1a 1a加 ，得到 B 点的坐标，则 A、B 两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3(a0)上1a 请你协助探求出实数 a 变化时，抛物线 y=ax2+2x+3(a0)的顶点所在直线的解析式； 问题中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并
19、说明理由； 在他们第二个发现的启发下，运用“一般特殊一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。9已知二次函数的图象过 A（3，0） ，B（1，0）两点 当这个二次函数的图象又过点以 0，3）时，求其解析式； 设中所求 M 次函数图象的顶点为 P，求 SAPC ：S ABC 的值； 如果二次函数图象的顶点 M 在对称轴上移动，并与 y 轴交于点 D，S AMD ：S ABD 的值确定吗？为什么？10 （13 分）如图 2620 所示，在 RtABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE，交 BC 于 D，交 AB 于E，F 在 DE 上，并且 A FCE 求证：四边形 ACEF 是平行四边形； 当B 的大小满足什么条件时，四边形 A CEF 是菱形？请回答并证明你的结论； 四边形 ACEF 有可能是正方形吗？为什么？
