1、1第一章 常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.知识点一 命题及其关系1.判断一个语句是否为命题，关键是：(1)为陈述句；(2)能判断真假.2.互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.四种命题之间的关系如图所示.知识点二 充分条件、必要条件和充要条件1.定义一般地，若 p 则 q 为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们
2、就说，由 p 可推出q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件.一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说， p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.2.特征2充分条件与必要条件具有以下两个特征：(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件；(2)传递性：若 p 是 q 的充分条件， q 是 r 的充分条件，则 p 是 r 的充分条件.即若 pq， qr，则 pr.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若 p 是 q 的充分条件， q 是 r 的必要条件，则 p 与 r 的关系不能确定.知识点三 简单的逻辑联结词与量词1
3、.常见的逻辑联结词有“且” 、 “或” 、 “非”.2.短语“所有” “任意” “每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意 x”.3.短语“有一个” “有些” “存在一个” “至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“ x”表示“存在 x”.4.含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题.类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究命题角度 1 充分条件与必要条件的再探究例 1 设甲、乙、丙三个命题，若甲是乙的充要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲
4、的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案 A解析 由得甲乙，可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙 乙，乙丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.反思与感悟 若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件，即 q 的充分条件是 p， p的必要条件是 q.如果将“必要条件”理解为“必然结果” ，则可认为 p 的必然结果是 q， q 是 p 的必然结果.则 pq 易表述为以下几种说法：p 是 q 的不充分条件， q 的不充分条件是 p；q 是 p 的不必要条件， p 的不必要条件是 q.跟踪训练 1 使 ab
5、0 成立的一个充分不必要条件是( )A.a2b20 B.log 21alog b0 C.ln aln b0 D.xaxb且 x0.53答案 C解析 设条件 p 符合条件，则 p 是 ab0 的充分条件，但不是 ab0 的必然结果，即有 “pab0， ab0p”.A 选项中， a2b20ab0，有可能是 alog b00b0，故 B 不符合条件；C 选项中，ln aln b0ab1ab0，而 ab0ab1，符合条件；D 选项中， xaxb且 x0.50.51 时 ab，无法得到 a， b 与 0 的大小关系，故 D 不符合条件.命题角度 2 充要条件的再探究例 2 设数列 an、 bn、 cn满
6、足：bn an an2 ， cn an2 an1 3 an2 (n1，2，3，)，证明： an为等差数列的充分必要条件是 cn为等差数列且 bn bn1 (n1，2，3，).证明 (必要性)设 an是公差为 d1的等差数列，则 bn1 bn( an1 an3 )( an an2 )( an1 an)( an3 an2 ) d1 d10，所以 bn bn1 (n1，2，3，)成立.又 cn1 cn( an1 an)2( an2 an1 )3( an3 an2 ) d12 d13 d16 d1(常数)( n1，2，3，)，数列 cn为等差数列.(充分性)设数列 cn是公差为 d2的等差数列，且 b
7、n bn1 (n1，2，3，). cn an2 an1 3 an2 ， cn2 an2 2 an3 3 an4 . 得 cn cn2 ( an an2 )2( an1 an3 )3( an2 an4 ) bn2 bn1 3 bn2 . cn cn2 ( cn cn1 )( cn1 cn2 )2 d2， bn2 bn1 3 bn2 2 d2， 同理有 bn1 2 bn2 3 bn3 2 d2. 得(bn1 bn)2( bn2 bn1 )3( bn3 bn2 )0. bn1 bn0， bn2 bn1 0， bn3 bn2 0，由得 bn1 bn0( n1，2，3，).由此不妨设 bn d3(n1，
8、2，3，)，则 an an2 d3(常数).由此 cn an2 an1 3 an2 4 an2 an1 3 d3，从而 cn1 4 an1 2 an2 3 d34 an1 2 an5 d3.两式相减得 cn1 cn2( an1 an)2 d3，4因此 an1 an (cn1 cn) d3 d2 d3(常数)( n1，2，3，)，12 12数列 an是等差数列.反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.跟踪训练 2 设 an是各项为正数的无穷数列， Ai是边长为 ai， ai1 的矩形的面积(i1，2，)，则 An为等比数列的充要条件是( )A.an
9、是等比数列B.a1， a3， a2n1 ，或 a2， a4， a2n，是等比数列C.a1， a3， a2n1 ，和 a2， a4， a2n，均是等比数列D.a1， a3， a2n1 ，和 a2， a4， a2n，均是等比数列，且公比相同答案 D解析 Ai aiai1 ，若 Ai是公比为 q 的等比数列，则有对 i1 有q .这说明 a2i1 及 a2i均是等比数列且公比都是 q，即 D 选Ai 1Ai ai 1ai 2aiai 1 ai 2ai项 Ai为等比数列的必要条件，故研究反向问题即可.由上述，D 选项是 Ai为等比数列的必要条件.设 D 选项为真，即设 a2i1 ， a2i均为等比数列
10、，且公比都是 q，则对 iN *，有 q，为等比数列.这表Ai 1Ai ai 1ai 2aiai 1 ai 2ai明 D 选项也是 Ai为等比数列的充分条件.故选 D.类型二 等价转化思想的应用例 3 已知 c0，设 p：函数 y cx在 R 上单调递减； q：不等式 x| x2 c|1 的解集为 R.如果 p 和 q 有且仅有一个为真命题，求 c 的取值范围.解 函数 y cx在 R 上单调递减01 的解集为 R函数 y x| x2 c|在 R 上恒大于 1. x| x2 c|Error!函数 y x| x2 c|在 R 上的最小值为 2c，2 c1，得 c .12如果 p 真 q 假，则E
11、rror!解得 00).(1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；(2)若 m5， “p q”为真命题， “p q”为假命题，求实数 x 的取值范围.解 (1)由命题 p：( x1)( x5)0，解得1 x5.命题 q：1 m x0). p 是 q 的充分条件，1，51 m， 1 m)，Error!解得 m4，则实数 m 的取值范围为(4，).(2) m5，命题 q：4 x1 时，1 x a.设 q 对应的集合为 A， p 对应的集合为 B，綈 p 是綈 q 的充分条件. RBRA，即 AB.当 a1 时，1 x a，要使 AB，则 1y，则 xy，则 x2y2.在命题 p q
12、； p q； p(綈 q)；(綈 p) q 中，真命题是_.答案 解析 当 xy 时， xy 时， x2y2不一定成立，故命题 q 为假命题，从而綈 q 为真命题.由真值表知， p q 为假命题； p q 为真命题； p(綈 q)为真命题；(綈 p) q 为假命题.4.对任意 x1，2， x2 a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.答案 (，0解析 由 x2 a0，得 a x2，故 a( x2)min，得 a0.5.(1)若 p：两条直线的斜率互为负倒数， q：两条直线互相垂直，则 p 是 q 的什么条件？(2)若 p：|3 x4|2， q： 0，则綈 p 是綈 q 的什么条件？1x2 x
13、 2解 (1)两条直线的斜率互为负倒数，两条直线互相垂直， pq.又一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，两条直线也垂直， qp. p 是 q 的充分不必要条件.(2)解不等式|3 x4|2，得 p： x|x2 或 x0，得 q： x|x2.1x2 x 2綈 q： x|1 x2.綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或” “且” “非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.2.判断命题真假的步骤 确 定 复 合 命 题 的 构 成 形 式 判 断 其 中 简 单 命 题 的 真 假 根 据 真 值 表 判
14、 断 复 合 命 题 的 真 假3.命题 p q， p q，綈 p 的真假判断，如下表：8p q 綈 p p q p q真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假4.含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定x M， p(x) x0 M，綈 p(x0)x0 M， p(x0) x M，綈 p(x)注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.40 分钟课时作业一、选择题1.命题“ xR， x2 x”的否定是 ( )A.x
15、R， x2 x B.xR， x2 xC.x0R， x x0 D.x0R， x x020 20答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，所以“ xR， x2 x”的否定为“ x0R， x x0”.202.命题“若 a2 b20( a， bR)，则 a b0”的逆否命题是( )A.若 a b0( a， bR)，则 a2 b20B.若 a b0( a， bR)，则 a2 b20C.若 a0 且 b0( a， bR)，则 a2 b20D.若 a0 或 b0( a， bR)，则 a2 b20答案 D解析 “且”的否定词为“或” ，所以“若 a2 b20( a， bR)，则 a b0”的逆否命题是“若 a0
16、 或 b0，则 a2 b20”.3.有下列命题：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；9垂直于同一个平面的两个平面互相平行；若直线 m， n 与同一个平面所成的角相等，则 m， n 互相平行；若直线 m， n 是异面直线，则与 m， n 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；若直线 m， n 与同一个平面所成的角相等，则 m， n 互相平行或相交或异面，错误；若直线 m， n 是异面直线，则与 m， n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误.4.已
17、知直线 l1： ax y1 和直线 l2：9 x ay1，则“ a30”是“ l1 l2”的( )A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 因为两直线平行，所以有 a290，解得 a3，当 a3 时，显然两条直线平行，故“ a30”是“ l1 l2”的充分不必要条件，故选 C.5.下列有关命题的叙述，若 p q 为真命题，则 p q 为真命题；“ x5”是“x24 x50”的充分不必要条件；命题 p： xR，使得 x2 x10 得 x5 或 x5”是“ x24 x50”的充分不必要条件，正确.根据特称命题的否定是全称命题知正确.“若 x23 x2
18、0，则 x1 或 x2”的逆否命题为“若 x1 且 x2，则 x23 x20”所以错误，所以错误命题的个数为 2 个.6.下列命题中的真命题是( )A.对于实数 a、 b、 c，若 ab，则 ac2bc2B.x21 是 x1 的充分不必要条件C. ， R，使得 sin( )sin sin 成立D. ， R，tan( ) 成立tan tan 1 tan tan 答案 C解析 A 项中，当 c0 时不符合题意，故 A 项错误；B 项中， x21 是 x1 的必要不充分条10件，故 B 项错误；当 0 时，符合题意，故 C 项正确；当 时，不符合题 2意，故 D 项错误.二、填空题7.若命题 p：常
19、数列是等差数列，则綈 p：_.答案 存在一个常数列，不是等差数列解析 全称命题的否定是特称命题.8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若 p，则 q”的形式为_.答案 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称解析 改写成“若 p，则 q”的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.9.命题 p：若 b，则 a， b， c 成等比数列，则命题 p 的否命题是_命题.(填ac“真”或“假”)答案 假解析 其原命题的否命题是：若 b，则 a， b， c 不成等比数列.ac若 b ，则 b2 ac，此时 a， b， c 也可以成等比数列，故为假命题.ac10.定义 f(x)
20、 x(x表示不小于 x 的最小整数)为“取上整函数” ，例如1.22，44.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_.(请写出所有真命题的序号) f(2x)2 f(x)；若 f(x) f(y)，则 x y1；任意 x， yR， f(x y) f(x) f(y)； f(x) f(x ) f(2x)；函数 f(x)为奇函数.12答案 解析 根据新定义“取上整函数”的意义 f(2x)2 f(x)不一定成立，如 x 取 1.5； f(x) f(x ) f(2x)不一定成立，12如 x 取 0；函数 f(x)不满足奇函数的关系，如 f(1.6) f(2)， f(1.6) f(1).故答案为.三、解答题11.求证：函数 f(x) x2| x a|1 是偶函数的充要条件是 a0.证明 先证充分性，若 a0，则函数 f(x) x2| x a|1 是偶函数.因为 a0，所以 f(x) x2| x|1( xR).因为 f( x)( x)2| x|1 x2| x|1，
