1、3.31 几何概型一、教材分析本节内容是新教材必修 3 中第三章第二节的第一课时，是新增加的知识模块，对于概率部分来说，这是一个教学难点，如何循序渐进地引入新课，由易到难地提出问题，进而顺利地解决问题，是本节课的关键。二、学生分析高二的学生已经具备了初步的数学建模的意识，而前一节的学习使学生能够把一些实际问题转化为古典概型，并对概率的意义有了较深刻的理解，在此基础上，通过类比，观察，推断，归纳等合情推理过渡到几何概型应该是水到渠成，顺理成章的，能够有效地提高学生的直觉思维能力，分析问题，解决问题的能力。三 教学目标1、 知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（
2、A）= = ；积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件 AA（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）能将实际问题通过数学建模后转化为几何概型，进而解决问题。2、 过程与方法（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）类比法教学，通过与古典概型的类比与对比，让学生感触到知识的层进与推陈出新，提高学生发现问题，分析问题的能力，并达到温故而知新的目的。3、 情感
3、态度与价值观：本节课的主要特点是生活案例多，学习时要积极探求如何构建数学模型，体会数学不是远离生活高不可攀的，更体会学习数学的重要与快乐。四 重点与难点1、重点：几何概型的概念、公式及应用；2、难点：几何概型的应用五、学法与教学用具1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：幻灯片，计算机及多媒体教学六、教学程序与设计环节1、 创设情境：在古典概型中利用等可能性的概念，成功地解决了某一类问题的概率，不过，在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如
4、一个人到单位的时间可能是 8：00 至 9：00 之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多个。情景一 （幻灯片：讨论题组 1）（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“6 点”的概率；（2）如图，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域 B 时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。设计意图 与古典概型类比，引起学生认知上的冲突，很自然地引入新的概率模型。问题解决 学生口答（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有66=36 种，而两个都是六点的结果只有一种 ，所以 p3（2）学生对于这种全新的题型，可能会摇头，和学生一起对比分（1）
5、很明显是一个古典概型，因为结果的有限性和等可能性，所以运用公式 很快npN得到结论，而（2）中，游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果，如何来计算概率呢？学生讨论后不难发现“指针落在阴影部分” ，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，鼓励学生从直观感觉上给出结果 ，从而引入新的概率模型几何sp阴 影圆 12概型。2基本概念（1）几何概型：事件 A 理解为区域 的某一子区域 A，如果事件 A 发生的概率只与构成该事件的子区域 A 的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型；（2）几何概型的概率公式P（A）= ，其中 为区域 的几何度量，
6、 为子区域 A 的几何度量A A（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等3例题解析：情景 2（幻灯片 例题分析组）例 1在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？分析：草履虫在这 500 毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的 2 毫升水样可视作构成事件的区域，500 毫升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。解：取出 2 毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为 A，则P(A)= = A0.45设计意图 对于几何概型的各种情况层层展开，让学
7、生有全面的了解和认识。例 2 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线，把一枚半径 ra 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率解：把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件 A，为了确定硬币的位置，由硬币中心 O 向靠得最近的平行线BBBB2a r oM引垂线 OM，垂足为 M，如图所示，这样线段 OM 的长度（记作 OM）的取值范围就是o,a ，只有当 rOMa 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件 A 的概率就是 P（A）= 。的 长 度的 长 度,0(r设计意图 从题目设置上抽象出几何概型的另一种几何度量长度，让学生意识到重点不是死记公式，而是从实际问题中剥离抽象出数学模
8、型，进而体会到数学知识的成功应用带来的快乐。加强例题：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于 10 分钟的概率。师生讨论后分析假设他在 060 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.学生解答解:设 A=等待的时间不多于 10 分钟,我们所关
9、心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= = ，即此6051人等车时间不多于 10 分钟的概率为 61设计意图 对于长度等几何度量以多元化的形式出现，让学生活学活用，达到举一反三的目的。练习：1已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。2两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于 2m 的概率学生口答 1由几何概型知，所求事件 A 的概率为 P(A)= ；12记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A，则 P(A)= = 623例 3 一海豚在水池中自由游弋
10、，水池为长 30 米，宽 20 米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2 米的概率。师生讨论：显然这是一个几何概型，我们要把题目中最本质的东西提炼出来，那是什么？学生的答案关键是要找到随机事件对应的几何度量。问：区域 是什么？其几何度量是什么？区域 及其几何度量呢？A回答以上问题后学生很快给出答案 P(A)= = A3026184230.175设计意图 通过例题的设置，使几何概型这本书完全打开，学生对于这部分知识的认知直触本质，犹如登山，最终获得一览众山小的通透和畅快。（一分钟练习）例 1 如图，以正方形 ABCD 的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求
11、飞镖落在花瓣内的概率.解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件. 记飞镖落在花瓣内为事件 A，设正方形边长为 2r，则.所以，飞镖落在花瓣内的概率为 .4、 课 堂 小 结(1) 几 何 概 型 是 区 别 于 古 典 概 型 的 又 一 概 率 模 型 ， 使 用 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 时 ， 一 定 要 注意 其 适 用 条 件 ： 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 几 何 度 量 成 比 例 ；(2) 分析清楚几何概型的解题关键是既快又准地找到事件对应的几何度量。(3) 有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，如课后习题 B 的第二题，需要更深入细致地研究。5、自我评价与课后作业（1） ABC 的面积为 s，在 AB 边上任投一点 P，求 PBC 的面积小于 s 的概率13（2） ABC 的面积为 s，在 ABC 内任投一点 P，求 PBC 的面积小于 s 的概率（3）三棱锥 D-ABC 的体积为 v,向其内部任投一点 P，求三棱锥 P-ABC 的体积小于 v 的概率设计意图在相似的背景下提出问题，得到不同的解答，更能突出几何概型的本质，对学生有较强的冲击力，使本节内容得以巩固加深。
