1、1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导 数公式及导数的运算法则(一)课时演练促提升A 组1.若 f(x)=,则 f(-1)=( )A.0 B.- C.3 D.解析: f (x)=()=()=,f (-1)=.答案:D2.函数 y=在点 P 处的切线斜率为 -4,则 P 的坐标为( )A.B.C.D.解析: y=- ,令 -=-4,得 x=,P 的坐标为 .答案:C3.函数 f(x)=x2,g(x)=ln x,若 f(x)-g(x)=1,则 x=( )A.- B.1C.-或 1 D.或 1解析: f (x)=2x,g(x)=, 2x-=1. 2x2-x-1=0,解得 x=1
2、或 x=-.又 g (x)有意义时, x0, 所求 x=1.答案:B4.函数 f(x)=x3的斜率等于 1 的切线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不确定解析: f (x)=3x2,设切点为( x0,y0),则 3=1,得 x0=,即在点和点处的切线的斜率为 1.答案:B5.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是( )A. B.0,)C. D.解析: (sin x)=cos x,又 k l=cos x,- 1 kl1, 直线 l 的倾斜角的范围是 .答案:A6.设函数 f(x)=logax,f(1)=-1,则 a=
3、. 解析: f (x)=,f (1)=-1. ln a=-1.a=.答案:7.直线 y=e2x+b 是曲线 y=ex的一条切线,则 b= . 解析: y= ex,设切点为( x0,y0),则 =e2.x 0=2,y 0=e2.又 y0=e2x0+b,b=- e2x0+y0=-2e2+e2=-e2.答案: -e28.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=;(3)y=-2sin;(4)y=log2x2-log2x.解:(1) y=()=()=.(2)y=(x-4)=-4x-4-1=-4x-5=-.(3)y=- 2sin=2sin=2sincos=sin x,y= (sin x)=cos x.(4
4、)y =log2x2-log2x=log2x,y= (log2x)=.9.求过曲线 y=sin x 上点 P 且与过这点的切线垂直的直线方程 .解: y= sin x,y= cos x,曲线在点 P 处的切线斜率是: y=cos. 过点 P 且与切线垂直的直线的斜 率为 -,故所求的直线方程为 y-=-,即 2x+y-=0.B 组1.已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的切线,则 k=( )A.e B.-e C. D.-解析:设切点为( x0,y0),则由 y=,得 =k,又 y0=kx0,y0=ln x0,从而联立解得 y0=1,x0=e,k=.答案:C2.设 f0(x)=sin x,
5、f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则 f2 015(x)等于( )A.sin x B.-sin xC.cos x D.-cos x解析: f 0(x)=sin x,f 1(x)=f0(x)=cos x,f2(x)=f1(x)=-sin x,f3(x)=f2(x)=-cos x,f4(x)=f3(x)=sin x,f n(x)的值具有周期性,且周期为 4.f 2 015(x)=f3(x)=-cos x.答案:D3.设曲线 y=xn+1(xN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则log2x1+log2x2+log2x3= .
6、 解析:曲线 y=xn+1(nN *)在点(1,1)处的切线斜率 k=y|x=1=(n+1)1n=n+1,则在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 xn=,所以 log2x1+log2x2+log2x3=log2+log2+log2=log2=log2=-2.答案: -24.设直线 l1与曲线 y=相切于点 P,直线 l2过 P 且垂直于 l1,若 l2交 x 轴于 Q 点,又作 PK 垂直 x 轴于 K,求线段 KQ 的长 .解:如图,设直线 l1的斜率为 k1,直线 l2的斜率为 k2,点 P 的坐标为( x0,y0),由题意知 x00,则 k1=y,由
7、 l2与 l1垂直, 知 l2的斜率 k2=-2.于是 l2:y-y0=-2(x-x0),令 y=0,则 -y0=-2(x-x0),将 y0=代入上式,得 xQ=+x0,易得 xK=x0.|KQ|=|x Q-xK|=.5.如图,已知双曲线 y=,A 为其在第一象限分支上的一点,试判断过点 A 能否作 一条直线与第三象限的分支相切?若能,求出这条直线的方程;若不能,请说明理由 .解:假设 能作 .设切点坐标为( x0,y0),则切线方程为 y-y0=-(x-x0).又 y0=,且切线过点,=- (2-x0), 2x0-=4-2x0,-4x0+4=0,x0=2, 切点坐标为, 过点 A 只能作一条直线与曲 线 y=在第一象限分支相切,不能作一条直线与第三象限的分支相切 .
