1、21.2 指数函数及其性质第 1 课时 指数函数的图象及性质学习目标 1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质知识链接1 aras ar s；( ar)s ars；( ab)r arbr.其中 a0， b0， r， sR.2在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，.1 个这样的细胞分裂 x 次后，第 x 次得到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为y2 x， x0,1,2，预习导引1指数函数的定义一般地，函数 y ax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义
2、域是 R.2指数函数的图象与性质a1 0 a1图象定义域 R，值域(0，)图象过定点(0,1)，即 x0 时， y1当 x0 时， y1；当 x0 时，0 y1当 x0 时，0 y1；当 x0 时， y1性质在 R 上是增函数 在 R 上是减函数要点一 指数函数的概念例 1 给出下列函数： y23 x； y3 x1 ； y3 x； y x3； y(2) x.其中，指数函数的个数是( )A0 B1 C2 D4答案 B解析 中，3 x的系数是 2，故不是指数函数；中， y3 x1 的指数是 x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，3 x的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x一项，故是指数
3、函数；中， y x3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数中，底数20，不是指数函数规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数位置是自变量 x；(3) ax的系数是 1.2求指数函数的关键是求底数 a，并注意 a 的限制条件跟踪演练 1 若函数 y(43 a)x是指数函数，则实数 a 的取值范围为_答案 a|a ，且 a143解析 y(43 a)x是指数函数，需满足：Error!解得 a 且 a1.43故 a 的取值范围为 a|a ，且 a143要点二 指数函数的图象例 2 如图是指数函数 y ax， y bx， y cx，
4、y dx的图象，则 a， b， c， d 与 1 的大小关系是( )A a b1 c d B b a1 d cC1 a b c d D a b1 d c答案 B解析 方法一 在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大由指数函数图象的升降，知 c d1， b a1. b a1 d c.方法二 作直线 x1，与四个图象分别交于 A、 B、 C、 D 四点，由于 x1 代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知 b a1 d c.故选 B.规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y ax(a0， a1)的图象与直线x1 相交于点
5、(1， a)，由图象可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大2处理指数函数的图象：抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；巧用图象平移变换；注意函数单调性的影响跟踪演练 2 (1)函数 y|2 x2|的图象是( )(2)直线 y2 a 与函数 y| ax1|( a0 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_答案 (1)B (2)0 a12解析 (1) y2 x2 的图象是由 y2 x的图象向下平移 2 个单位长度得到的，故 y|2 x2|的图象是由 y2 x2 的图象在 x 轴上方的部分不变，下方部分对折到 x 轴的上方得到的(2)当 a1 时，在同一坐标系中作出函数
6、y2 a 和 y| ax1|的图象(如图(1)由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解当 0 a1，作出函数 y2 a 和 y| ax1|的图象(如图(2)若直线 y2 a 与函数 y| ax1|( a0 且 a1)的图象有两个交点，由图象可知02 a1，所以 0 a .12要点三 指数型函数的定义域、值域例 3 求下列函数的定义域和值域：(1)y ；(2) y ；(3) y .4-12x1 2x (12) 3x解 (1)由 x40，得 x4，故 y 的定义域为 x|xR，且 x44-1又 0，即 1，1x 4 4-12故 y 的值域为 y|y0，且 y1-(2)由 12 x0，得 2x
7、1， x0， y 的定义域为(，01 2x由 02 x1，得12 x0，012 x1， y 的值域为0,1)1 2x(3)y 的定义域为 R.(12) 3 x22 x3( x1) 244， 4 16.(12) (12)又 0，(12) 3x故函数 y 的值域为(0,16(12) x规律方法 对于 y af(x)(a0，且 a1)这类函数，(1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出 u f(x)的值域；利用指数函数 y au的单调性求得此函数的值域跟踪演练 3 (1)函数 f(x) 的定义域为( )1 2x1x 3A(3,0 B(3,1C(
8、，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函数 f(x) x1， x1,2的值域为_(13)答案 (1)A (2) ，289解析 (1)由题意，自变量 x 应满足Error!解得Error! 3 x0.(2)1 x2， x3， x12，值域为 .19 (13) 89 (13) 89， 21下列各函数中，是指数函数的是( )A y(3) x B y3 xC y3 x1 D y x(13)答案 D解析 由指数函数的定义知 a0 且 a1，故选 D.2 y x的图象可能是( )(34)答案 C解析 0 1 且过点(0,1)，故选 C.343 y2 x， x1，)的值域是( )A1，) B2，)C0，)
9、 D(0，)答案 B解析 y2 x在 R 上是增函数，且 212，故选 B.4函数 f(x) ax的图象经过点(2,4)，则 f(3)的值是_答案 18解析 由题意知 4 a2，所以 a2，因此 f(x)2 x，故 f(3)2 3 .185函数 y x21 的值域是_(12)答案 (0,2解析 x211， y 1 2，又 y0，(12) (12)函数值域为(0,21.指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且 f(0)1.2当 a1 时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快当 0 a1 时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快一、基础达标1 y2 x1 的定义域是(
10、 )A(，) B(1，)C1，) D(0,1)(1，)答案 A解析 不管 x 取何值，函数式都有意义，故选 A.2已知集合 M1,1， NError!，则 M N 等于( )A1,1 B1 C0 D1,0答案 B解析 2 x1 4，2 1 2 x1 2 2，121 x12，2 x1.又 xZ， x0 或 x1，即 N0，1， M N13函数 y2 x1 的图象是( )答案 A解析 当 x0 时， y2，且函数单调递增，故选 A.4当 x2,2)时， y3 x1 的值域是( )A( ，8 B ，889 89C( ，9) D ，919 19答案 A解析 y3 x1， x2,2)上是减函数，3 2
11、1 y3 21，即 y8.895指数函数 y(2 a)x在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是_答案 1 a2解析 由题意可知，02 a1，即 1 a2.6函数 y ax5 1( a0)的图象必经过点_答案 (5,2)解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即 a01，由此变形得 a55 12，所以所求函数图象必过点(5,2)7已知函数 f(x) ax1 (x0)的图象经过点(2， )，其中 a0 且 a1.12(1)求 a 的值；(2)求函数 y f(x)(x0)的值域解 (1) f(x)的图象过点(2， )，12 a21 ，则 a .12 12(2)由(1)知， f(x)( )x1 ， x
12、0.12由 x0，得 x11，于是 0( )x1 ( )1 2，12 12所以函数 y f(x)(x0)的值域为(0,2二、能力提升8函数 y5 | x|的图象是( )答案 D解析 当 x0 时， y5 | x|5 x( )x，又原函数为偶函数，故选 D.159已知函数 f(x)Error!若 f(a) f(1)0，则实数 a 的值等于( )A3 B1 C1 D3答案 A解析 依题意， f(a) f(1)2 12，2 x0， a0， f(a) a12，故 a3，选 A.10方程|2 x1| a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是_答案 a|a1，或 a0解析 作出 y|2 x1|的图象，如图，
13、要使直线 y a 与图象的交点只有一个， a1 或a0.11求函数 y( )x22 x2(0 x3)的值域12解 令 t x22 x2，则 y( )t，12又 t x22 x2( x1) 21，0 x3，当 x1 时， tmin1，当 x3 时， tmax5.故 1 t5，( )5 y( )1，12 12故所求函数的值域 ， 132 12三、探究与创新12函数 f(x) ax(a0，且 a1)在区间1,2上的最大值比最小值大 ，求 a 的值a2解 若 a1，则 f(x)是增函数， f(x)在1,2上的最大值为 f(2)，最小值为 f(1) f(2) f(1) ，即 a2 a .a2 a2解得 a .32若 0 a1，则 f(x)是减函数， f(x)在1,2上的最大值为 f(1)，最小值为 f(2)， f(1) f(2) ，即 a a2 ，a2 a2解得 a12综上所述， a 或 a .12 3213设 0 x2， y4 32 x5，试求该函数的最值1x解 令 t2 x,0 x2，1 t4.则 y2 2x1 32 x5 t23 t5.12又 y (t3) 2 ， t1,4，12 12 y (t3) 2 ， t1,3上是减函数； t3,4上是增函数，12 12当 t3 时， ymin ；当 t1 时， ymax .12 52故函数的最大值为 ，最小值为 .52 12
