1、【优化设计】2015-2016 学年高中数学 第二章 推理与证明测评 B 新人教 A 版选修 2-2 (高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014山东高考)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程 x3+ax+b=0 没有实根B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根
2、解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程 x3+ax+b=0 没有实根 .答案:A2.(2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合格”“不合格” .若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好” .如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人解析:用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然, 语文成绩得 A 的学生最多只有一人,语文成绩得 B 的也最多只有 1 人
3、,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人 .答案:B3.(2014湖北高考)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也 .又以高乘之,三十六成一 .该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式V L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )A. B. C. D.解析:由题意可知: L=2 r,即 r=,圆锥体积 V=Sh= r
4、2h= h=L2h L2h,故,故选 B.答案:B4.(2013广东高考)设 l 为直线, , 是两个不同的平面 .下列命题中正确的是( )A.若 l ,l ,则 B.若 l ,l ,则 C.若 l ,l ,则 D.若 ,l ,则 l 解析:如图,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,对于 A,设 l 为 AA1,平面 B1BCC1,平面 DCC1D1为 ,.A1A平面 B1BCC1,A1A平面 DCC1D1,而平面 B1BCC1平面 DCC1D1=C1C;对于 C,设 l 为 A1A,平面 ABCD 为 ,平面 DCC1D1为 .A 1A平面 ABCD,A1A平面DCC1D1,而平面 A
5、BCD平面 DCC1D1=DC;对于 D,设平面 A1ABB1为 ,平面 ABCD 为 ,直线 l 为 D1C1,平面 A1ABB1平面ABCD,D1C1平面 A1ABB1,而 D1C1平面 ABCD.故 A,C,D 都是错误的 .而对于 B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知 B 正确 .答案:B5.(2013辽宁高考)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若 OAB 为直角三角形,则必有( )A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若 OBA 为直角,则 =0,即 a2+(a3-b)a3=0,又 a0,故 b=a3+;若 OAB 为直角时,则
6、 =0,即 b(a3-b)=0,得 b=a3;若 AOB 为直角,则不可能 .所以 b-a3-=0 或 b-a3=0,故选 C.答案:C6.(2013浙江高考)设 a,bR,定义运算“”和“”如下 :a b=a b=若正数 a,b,c,d 满足 ab4, c+d4,则( )A.a b2, c d2 B.a b2, c d2C.a b2, c d2 D.a b2, c d2解析:由题意知,运算“”为两数中取小,运算“”为两数 中取大,由 ab4 知,正数a,b 中至少有一个大于等于 2.由 c+d4 知, c,d 中至少有一个小于等于 2,故选 C.答案:C7.(2013陕西高考)设 x表示不大
7、于 x 的 最大整数,则对任意实数 x,有( )A.-x=-x B.=xC.2x=2x D.x+=2x解析:令 x=1.1,-1.1=-2,而 -1.1=-1,所以 A 错;令 x=-=0,=-1,所以 B 错;令 x=0.5,2x=1,2x=0,所以 C 错;故选 D.答案:D8.(2013四川高考)设函数 f(x)=(aR,e 为自然对数的底数),若存在 b0,1使 f(f(b)=b 成立,则 a 的取值范围是( )A.1,e B.1,1+eC.e,1+e D.0,1解析:当 a=0 时, f(x)=为增函数, b 0,1时, f(b)1, .f (f(b) 1. 不存在 b0,1使 f(
8、f(b)=b 成立,故 D 错;当 a=e+1 时, f(x)=,当 b0,1时,只有 b=1 时, f(x)才有意义,而 f(1)=0,f (f(1)=f(0),显然无意义,故 B,C 错 .故选 A.答案:A9.(2012浙江高考)设 a0,b0,e 是自然对数的底数,( )A.若 ea+2a=eb+3b,则 abB.若 ea+2a=eb+3b,则 abD.若 ea-2a=eb-3b,则 ab. 故选 A.答案:A10.(2012江西高考)观察下列事实: |x|+|y|=1 的不同整数解( x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2的不同整数解( x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的
9、不同整数解( x,y)的个数为 12,则|x|+|y|=20 的不同整数解( x,y)的个数为( )A.76 B.80 C.86 D.92解析:由已知条件得, |x|+|y|=n(nN *)的不同整数解( x,y)的个数为 4n,所以 |x|+|y|=20 的不同整数解( x,y)的个数为 80,故选 B.答案:B第 卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分 .把答案填在题中的横线上)11.(2014陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中
10、F,V,E 所满足的等式是 . 解析:因为 5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想 F+V-E=2.答案: F+V-E=212.(2014课标全国 高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市;丙说:我们三人去过同一城市 .由此可判断乙去过的城市为 . 解析:根据甲、乙、丙说的可列表得ABC甲 乙 丙 答案:A13.(2015山东高考)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;照此规律,当 nN *时, += . 解析:观察各式有如下规律:等号左侧第 n 个式子有 n 项,且上标
11、分别为 0,1,2,n-1,第 n行每项的下标均为 2n-1.等号右侧指数规律为 0,1,2,n-1.所以第 n 个式子为 +=4n-1.答案:4 n-114.(2014陕西高考)已知 f(x)=,x0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN *,则 f2 014(x)的表达式为 . 解析:依题意, f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=f,f3(x)=f(f2(x)=f,由此可猜测 fn(x)=,故 f2 014(x)=.答案:15.(2015福建高考)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN *),其中xk(k=1,2,n)称为第
12、k 位码元 .二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0).已知某种二元码 x1x2x7的码元满足如下校验方程组:其中运算 定义为:00 =0,01 =1,10 =1,11 =0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了,那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 . 解析:若 1 k3,则 x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足 x4 x5 x6 x7=0;若 k=4,则二元码为,不满足 x1 x3 x5 x7=0;若 k=5,则二元码为,满足方程组,故 k=5.答案:5三、解答题(本大题共 5 小题,
13、共 50 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题 8 分)(2015安徽高考)设 nN *,xn是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标 .(1)求数列 xn的通项公式;(2)记 Tn=,证明: Tn .(1)解: y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2,从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn=.当 n=1 时, T1=.当 n2 时,因为,所以 Tn.综上
14、可得对任意的 nN *,均有 Tn .17.(本小题 8 分)(2014山东高考)在等差数列 an中,已知公差 d=2,a2是 a1与 a4的等比中项 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求 Tn.解:(1)由题意知( a1+d)2=a1(a1+3d),即( a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2,所以数列 an的通项公式为 an=2n.(2)由题意知 bn=n(n+1),所以 Tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+
15、b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=,当 n 为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以 Tn=18.(本小题 10 分)(2014北京高考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,侧棱垂直于底面, AB BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC的中点 .(1)求证:平面 ABE平面 B1BCC1;(2)求证: C1F平面 ABE;(3)求三棱锥 E-ABC 的体积 .(1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1中, BB1底面 ABC.所以 BB1 AB.又因为 AB BC,所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1B
16、CC1.(2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点,所以 FG AC,且 FG=AC.因为 AC A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG EC1,且 FG=EC1.所以四边形 FGEC1为平行四边形 .所以 C1F EG.又因为 EG平面 ABE,C1F平面 ABE,所以 C1F平面 ABE.(3)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,AB BC,所以 AB=.所以三棱锥 E-ABC 的体积 V=S ABCAA1=12=.19.(本小题 12 分)(2015江苏高考)已知集合 X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN *),设Sn=(a
17、,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,a X,b Yn.令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数 .(1)写出 f(6)的值;(2)当 n6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明 .解:(1) f(6)=13.(2)当 n6 时, f(n)=(tN *).下面用数学归纳法证明: 当 n=6 时, f(6)=6+2+=13,结论成立; 假设 n=k(k6)时结论成立,那么 n=k+1 时, Sk+1在 Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2
18、+3=(k+1)+2+,结论成立;2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立;3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1
19、)+2+,结论成立 .综上所述,结论对满足 n6 的自然数 n 均成立 .20.(本小题 12 分)(2015陕西高考)设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nN, n2 .(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明 .(1)证明: Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则 Fn(1)=n-10,Fn=1+-2=-2=-0,故 Fn(x)在内单调递增,所以 Fn(x)
20、在内有且仅有一个零点 xn.因为 xn是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0,即 -2=0,故 xn=.(2)解法一:由假设, gn(x)=.设 h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+xn-,x0.当 x=1 时, fn(x)=gn(x).当 x1 时, h(x)=1+2x+nxn-1-.若 0xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.若 x1,h(x)0.当 x=1 时, fn(x)=gn(x).当 x1 时,用数学归纳法可以证明 fn(x)0),则 hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以,当 01
21、时, hk(x)0,hk(x)在(1, + )上递增 .所以 hk(x)hk(1)=0,从而 gk+1(x).故 fk+1(x)0(2 k n),当 x=1 时, ak=bk,所以 fn(x)=gn(x).当 x1 时, mk(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1).而 2 k n,所以 k-10,n-k+11 .若 01,xn-k+11,mk(x)0,从而 mk(x)在(0,1)上递减,在(1, + )上递增,所以 mk(x)mk(1)=0.所以当 m0 且 m1 时, akbk(2 k n),又 a1=b1,an+1=bn+1,故 fn(x)gn(x).综上所述,当 x=1 时, fn(x)=gn(x);当 x1 时, fn(x)gn(x).
