1、【三维设计】2015 高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系学案 新人教 A 版必修 221 空间点、直线、平面之间的位置关系21.1 平面平面提出问题宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题 1：生活中的平面有大小之分吗？提示：有问题 2：几何中的“平面”是怎样的？提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分导入新知1平面的概念几何里所说的“平面” ，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 45，且横边长等于其邻边长的 2 倍如图.(2)如
2、果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法图的平面可表示为平面 、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD.化解疑难几何里的平面有以下几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；平面的基本性质提出问题问题 1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？提示：在桌面上问题 2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上问题 3：两张纸面相交有几条直线？提示：一条导入新知平面的基本性质公理 内容 图形 符号公理 1如
3、果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l， B l，且A ， B l公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A， B， C 三点不共线存在唯一的 使 A， B， C 公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ， P l，且 P l化解疑难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示文字
4、语言、图形语言、符号语言的相互转化例 1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点 P 与直线 AB；(2)点 C 与直线 AB；(3)点 M 与平面 AC；(4)点 A1与平面 AC；(5)直线 AB 与直线 BC；(6)直线 AB 与平面 AC；(7)平面 A1B 与平面 AC.解 (1)点 P直线 AB；(2)点 C 直线 AB；(3)点 M平面 AC；(4)点 A1平面 AC；(5)直线 AB直线 BC点 B；(6)直线 AB平面 AC；(7)平面 A1B平面 AC直线 AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、
5、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别活学活用1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ， B ；(2) l ， m A， Al；(3) P l， P ， Q l， Q .解：(1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，如图(1)；(2)直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)；(3)直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q，如图(3)点、线共面问题例 2 证明两两相交且不共点的三条直线在同
6、一平面内解 已知：如图所示， l1 l2 A， l2 l3 B， l1 l3 C.求证：直线 l1、 l2、 l3在同一平面内证法 1：(纳入平面法) l1 l2 A， l1和 l2确定一个平面 . l2 l3 B， B l2.又 l2 ， B .同理可证 C .又 B l3， C l3， l3 .直线 l1、 l2、 l3在同一平面内证法 2：(辅助平面法) l1 l2 A， l1、 l2确定一个平面 . l2 l3 B， l2、 l3确定一个平面 . A l2， l2 ， A . A l2， l2 ， A .同理可证 B ， B ， C ， C .不共线的三个点 A、 B、 C 既在平面
7、内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1、 l2、 l3在同一平面内类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法” ；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面 ，其余点、线确定另一个平面 ，再证平面 与 重合，即用“同一法” ；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法” 活学活用2下列说法正确的是( )任意三点确定一个平面 圆上的三点确定一个平面任意四点确定一个平面 两条平行线确定一个平面A BC D解析：选 C 不在同一条直线上的三点确定一个平面圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定
8、一个平面，不正确，正确当四点在一条直线上时不能确定一个平面，不正确根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故正确.共线问题例 3 已知 ABC 在平面 外，其三边所在的直线满足AB P， BC Q， AC R，如图所示求证： P， Q， R 三点共线证明 法一： AB P， P AB， P平面 .又 AB平面 ABC， P平面 ABC.由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q， R 也在平面 ABC与平面 的交线上 P， Q， R 三点共线法二： AP AR A，直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.又 AB P， AC R，平面 APR平面 PR
9、. B平面 APR， C平面 APR， BC平面 APR. Q BC， Q平面 APR，又 Q ， Q PR， P， Q， R 三点共线类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上活学活用3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1交于点 Q，求证：B， Q， D1三点共线证明：如下图所示，连接 A1B， CD1.显然 B平面 A1BCD1， D1平面 A1BCD1. BD1平面 A1BCD1.同理 BD1平面 ABC
10、1D1.平面 ABC1D1平面 A1BCD1 BD1. A1C平面 ABC1D1 Q， Q平面 ABC1D1.又 A1C平面 A1BCD1， Q平面 A1BCD1. Q BD1，即 B， Q， D1三点共线2.证 明 三 线 共 点 问 题典例 如图，在四面体 ABCD 中， E， G 分别为 BC， AB 的中点， F 在 CD 上， H 在 AD上，且有 DF FC DH HA23.求证： EF， GH， BD 交于一点解题流程欲证 EF、 GH、 BD 交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由 DF FC DH HA23 可得 GE FH 且 GE FH，即 EFHG
11、是梯形，由此得到 GH 与 EF交于一点证明 E、 F、 H、 G 四点共面 EFHG 为梯形 GH 和 EF 交于一点 O 证 O平面ABD O平面 BCD 平面 ABD平面 BCD BD O BD 得出结论. 规范解答因为 E， G 分别为 BC， AB 的中点，所以 GE AC.又因为 DF FC DH HA23，所以FH AC，从而 FH GE. GE FH.(4 分)故 E， F， H， G 四点共面又因为 GE AC， FH AC，所以四边形 EFHG 是一个梯形，12 25设 GH 和 EF 交于一点 O.(6 分)因为 O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，所以 O 在
12、这两平面的交线上，而这两个平面的交线是 BD，(9 分)且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上(10 分)这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上，所以 EF， GH， BD 交于一点(12 分)名师批注如何证明四点共面？,根据公理 2 的推论可知，本题可利用 HF GE 即可确定E， F， H， G 四点共面.为什么 GH 和 EF 交于一点？,因为 E， F， H， G 四点共面，且 GE 綊 AC， HF 綊 AC，所12 25以 GE HF 且 GE HF，即 EFHG 为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点.怎样确定第三条直线也过交点？只要证明交点在第三条直线上，这条直线
13、恰好是分别过 GH 和 EF 的两个平面的交线. 活学活用如图所示，在空间四边形各边 AD， AB， BC， CD 上分别取E， F， G， H 四点，如果 EF， GH 交于一点 P，求证：点 P 在直线 BD 上证明： EF GH P， P EF 且 P GH.又 EF平面 ABD， GH平面 CBD， P平面 ABD，且 P平面 CBD，又 P平面 ABD平面 CBD，平面 ABD平面 CBD BD，由公理 3 可得 P BD.点 P 在直线 BD 上随堂即时演练1若点 Q 在直线 b 上， b 在平面 内，则 Q， b， 之间的关系可记作( )A Q b B Q bC Qb D Qb
14、解析：选 B 点 Q(元素)在直线 b(集合)上， Q b.又直线 b(集合)在平面 (集合)内， b ， Q b .2两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )A相交 B重合C相交或重合 D以上都不对解析：选 C 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合3下列对平面的描述语句：平静的太平洋面就是一个平面；8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚；四边形确定一个平面；平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集其中正确的是_解析：序号 正误 原因分析 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的 平面是无大小、无厚薄之分的 如三棱锥
15、的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 平面是空间中点的集合，是无限集答案：4设平面 与平面 交于直线 l， A ， B ，且直线 AB l C，则直线AB _.解析： l， AB l C， C ， C AB， AB C.答案： C5将下列符号语言转化为图形语言(1)a ， b A， Aa.(2) c， a ， b ， a c， b c P.解：(1)(2)课时达标检测一、选择题1用符号表示“点 A 在直线 l 上， l 在平面 外” ，正确的是( )A A l， l B A l， lC Al， l D Al， l解析：选 B 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之
16、间的关系是集合与集合间的关系2(2012福州高一检测)下列说法正确的是( )A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面解析：选 D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面B 错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面C 错误，四边形不一定是平面图形D 正确，两条相交直线可以确定一个平面3空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )A1 B2C3 D1 或 3解析：选 D 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定 1 个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定 3 个平面4下列推断中，错误的是( )A A l， A ， B
17、 l， B lB A ， A ， B ， B ABC l ， A lAD A， B， C ， A， B， C ，且 A， B， C 不共线 ， 重合解析：选 C A 即为直线 l 上有两点在平面内，则直线在平面内；B 即为两平面的公共点在公共直线上；D 为不共线的三点确定一个平面，故 D 也对5在空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点，如果 EF 与HG 交于点 M，那么( )A M 一定在直线 AC 上B M 一定在直线 BD 上C M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上D M 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上解析：
18、选 A 点 M 一定在平面 ABC 与平面 CDA 的交线 AC 上二、填空题6(2012福州高一检测)线段 AB 在平面 内，则直线 AB 与平面 的位置关系是_解析：因为线段 AB 在平面 内，所以 A ， B .由公理 1 知直线 AB平面 .答案：直线 AB平面 7把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A ， a _.(2) a， P 且 P _.(3)a ， a A_.(4) a， c， b， a b c O_.解析：(1)图 C 符合 A ， a(2)图 D 符合 a， P 且 P(3)图 A 符合 a ， a A(4)图 B 符合 a， c， b， a b c
19、O答案：(1)C (2)D (3)A (4)B8平面 平面 l，点 A， B ，点 C平面 且 Cl， AB l R，设过点A， B， C 三点的平面为平面 ，则 _.解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点 C ，且点 C ，所以 C .因为点 R AB，所以点 R ，又 R ，所以 R ，从而 CR.答案： CR三、解答题9求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面解：已知： a b c， l a A， l b B， l c C.求证：直线 a， b， c 和 l 共面证明：如图所示，因为 a b，由公理 2 可知直线 a 与 b 确定一个平面，设为 .因为 l a
20、 A， l b B，所以 A a， B b，则 A ， B .又因为 A l， B l，所以由公理 1 可知 l .因为 b c，所以由公理 2 可知直线 b 与 c 确定一个平面 ，同理可知 l .因为平面 和平面 都包含着直线 b 与 l，且 l b B，而由公理 2 的推论 2 知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面 与平面 重合，所以直线 a， b， c 和l 共面10已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 D1C1， C1B1的中点，AC BD P， A1C1 EF Q.求证：(1) D， B， F， E 四点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE
21、于 R 点，则 P， Q， R 三点共线证明：如图(1)连接 B1D1. EF 是 D1B1C1的中位线， EF B1D1.在正方体 AC1中， B1D1 BD， EF BD. EF、 BD 确定一个平面，即D， B， F， E 四点共面(2)正方体 AC1中，设平面 A1ACC1确定的平面为 ，又设平面BDEF 为 . Q A1C1， Q .又 Q EF， Q .则 Q 是 与 的公共点，同理 P 是 与 的公共点， PQ.又 A1C R， R A1C. R ，且 R ，则 R PQ.故 P， Q， R 三点共线21.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系提出问题立交桥是伴随
22、高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928 年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930 年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931 年至 1935 年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体问题 1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交问题 2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行问题 3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是导入新知1异
23、面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法2空间两条直线的位置关系位置关系 特 点相交 同一平面内，有且只有一个公共点平行 同一平面内，没有公共点异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点化解疑难1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过 a、 b 两条直线例如，如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故 AB 与 B1C1是异面直线2空间两条直线的位置关系若
24、从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线Error!若从是否共面的角度看，也可分两类：直线Error!平行公理及等角定理提出问题1同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行空间中是否有类似规律？提示：有观察下图中的 AOB 与 A O B.问题 2：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行问题 3：测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等导入新知1平行公理(公理 4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：Error! a c.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或
25、互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a， b，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角 的取值范围：0 90.(3)当 时， a 与 b 互相垂直，记作 a b. 2化解疑难对平行公理与等角定理的理解公理 4 表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4 的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补两直线位置关系的判定例 1 如图，正方体 ABC
26、DA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_；直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_；直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_；直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_. 解析 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1点，所以应该填“相交” ；直线 A1B 与直线D1C 在平面 A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行” ；点 A1、 B、 B1在平面 A1BB1内，而 C 不在平面 A1BB1内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面同理，直线 AB 与直线 B1C 异面所以应该填“异面” 答案 平行 异面 相交 异
27、面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4 判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为 A ， B ， l ， BlAB 与 l 是异面直线(如图)活学活用1(2012台州高一检测)如图， AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1异面的棱的条数是( )A6 B4C5 D8解析：选 B 与 AA1异面的棱有 BC， B1C1， CD， C1D1共 4 条2若 a， b， c
28、 是空间三条直线， a b， a 与 c 相交，则 b 与 c 的位置关系是_解析：在正方体 ABCD A B C D中，设直线 D C为直线 b，直线 A B为直线a，满足 a b，与 a 相交的直线 c 可以是直线 B C，也可以是直线 BB.显然直线B C与 b 相交， BB与 b 异面，故 b 与 c 的位置关系是异面或相交答案：异面或相交平行公理及等角定理的应用例 2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， M1分别是棱AD 和 A1D1的中点(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；(2)求证： BMC B1M1C1.证明 (1)在正方形 ADD1A1中， M、
29、 M1分别为 AD、 A1D1的中点， MM1綊 AA1.又 AA1綊 BB1， MM1 BB1，且 MM1 BB1，四边形 BB1M1M 为平行四边形(2)法一：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， B1M1 BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， C1M1 CM.由平面几何知识可知， BMC 和 B1M1C1都是锐角 BMC B1M1C1.法二：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， B1M1 BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， C1M1 CM.又 B1C1 BC， BCM B1C1M1. BMC B1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法
30、：(1)平行线定义(2)三角形中位线、平行四边形性质等(3)公理 42空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用3如图，已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点(1)求证： E， F， G， H 四点共面；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证： AC BD.证明：(1)如题图，在 ABD 中， E， H 分别是 AB， AD 的中点， EH BD.同理 FG BD，则 EH GH
31、.故 E， F， G， H 四点共面(2)由(1)知 EH BD，同理 AC GH.又四边形 EFGH 是矩形， EH GH.故 AC BD.两异面直线所成的角例 3 如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， A1A AB， E、 F 分别是 BD1和 AD 中点，求异面直线 CD1， EF 所成的角的大小解 取 CD1的中点 G，连接 EG， DG， E 是 BD1的中点， EG BC， EG BC. F 是 AD 的中点，且12AD BC， AD BC， DF BC， DF BC， EG DF， EG DF，四边形 EFDG 是平行四边形，12 EF DG， DGD1(或其补角)是
32、异面直线 CD1与 EF 所成的角又 A1A AB，四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1都是正方形，且 G 为 CD1的中点， DG CD1， D1GD90，异面直线 CD1， EF 所成的角为 90.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角范围是(0，90活学活用4已知 ABCD A1B1C1D1是正方体，求异面直线 A1C1与 B1C 所成角的大小解：如图所示，连接 A1D 和 C1D， B1C A1D，
33、 DA1C1即为异面直线 A1C1与 B1C 所成的角 A1D， A1C1， C1D 为正方体各面上的对角线， A1D A1C1 C1D， A1C1D 为等边三角形即 C1A1D60.异面直线 A1C1与 B1C 所成的角为 60.2.探 究 空 间 中 四 边 形 的 形 状 问 题典例 如图，空间四边形 ABCD 中， E， F， G， H 分别是AB， BC， CD， DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形证明 连接 BD.因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EH BD，且 EH BD.12同理， FG BD，且 FG BD.12因此 EH FG.又 EH FG，所以四边形
34、 EFGH 为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ AC BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？证明：由例题可知 EH BD，同理 EF AC，又 BD AC，因此 EH EF，所以四边形 EFGH 为矩形2菱形的判断本例中，若加上条件“ AC BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？证明：由例题知 EH BD，且 EH BD，12同理 EF AC，且 EF AC.12又 AC BD，所以 EH EF.又 EFGH 为平行四边形，所以 EFGH 为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ AC BD，且 AC BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？证明：由探究 1 与 2 可知，
35、EFGH 为正方形4梯形的判断若本例中， E、 H 分别是 AB、 AD 中点， F、 G 分别是 BC， CD 上的点，且CF FB CG GD12，那么四边形 EFGH 是什么形状？证明：由题意可知 EH 是 ABD 的中位线，则 EH BD 且 EH BD.12又 ，CFFB CGGD 12 FG BD， ，FGBD FCBC 13 FG BD，13 FG EH 且 FG EH，四边形 EFGH 是梯形方法感悟根据三角形的中位线、公理 4 证明两条直线平行是常用的方法公理 4 表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法随堂即时演练1不平
36、行的两条直线的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D相交或异面解析：选 D 若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面2已知 AB PQ， BC QR， ABC30，则 PQR 等于( )A30 B30或 150C150 D以上结论都不对解析：选 B ABC 的两边与 PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同 PQR30或 150.3已知正方体 ABCD EFGH，则 AH 与 FG 所成的角是_解析： FG EH， AHE45，即为 AH 与 FG 所成的角答案：454正方体 AC1中， E， F 分别是线段 C1D， BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是_解析：
37、直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1， EF平面 A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案：相交5.如图所示，空间四边形 ABCD 中， AB CD， AB CD， E、 F 分别为BC、 AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角解：如图所示，取 BD 的中点 G，连接 EG、 FG. E、 F 分别为 BC、 AD 的中点， AB CD， EG CD， GF AB，且 EG CD， GF AB.12 12 GFE 就是 EF 与 AB 所成的角， EG GF. AB CD， EG GF. EGF90. EFG 为等腰直角三角形 GFE45，即 EF 与 AB 所
38、成的角为 45.课时达标检测一、选择题1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交解析：选 B 假设 a 与 b 是异面直线，而 c a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c b，则有 a b，矛盾)因此 c 与 b 可能相交或异面2.如图所示，在三棱锥 SMNP 中， E、 F、 G、 H 分别是棱SN、 SP、 MN、 MP 的中点，则 EF 与 HG 的位置关系是( )A平行B相交C异面D平行或异面解析：选 A E、 F 分别是 SN 和 SP 的中点， EF PN.同理可证 HG PN， EF HG.3(2012福州高一检
39、测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中， AB 与 CD的位置关系为( )A相交 B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选 D 将展开图还原为正方体，如图所示AB 与 CD 所成的角为 60，故选 D.4下列命题中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行正确的结论有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B 对于，这两个角也可能互补，故错；对于，正确；对
40、于，不正确，举反例：如右图所示， BC PB， AC PA， ACB 的两条边分别垂直于 APB 的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于，由公理4 可知正确故正确，所以正确的结论有 2 个5若 P 是两条异面直线 l， m 外的任意一点，则( )A过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都平行B过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l， m 都异面解析：选 B 逐个分析，过点 P 与 l， m 都平行的直线不存在；过点 P 与 l， m 都垂直的直线只有一条；过点 P 与 l， m 都相交的直
41、线 1 条或 0 条；过点 P 与 l， m 都异面的直线有无数条二、填空题6(2012连云港高一检测)空间中有一个角 A 的两边和另一个角 B 的两边分别平行， A70，则 B_.解析： A 的两边和 B 的两边分别平行， A B 或 A B180.又 A70， B70或 110.答案：70或 1107已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE 与 A1B1所成的角的余弦值为_解析：设棱长为 1，因为 A1B1 C1D，所以 AED1就是异面直线 AE 与 A1B1所成的角在 AED1中， AE ，cos AED1 .12 12 (12)2 32 D
42、1EAE1232 13答案：138如图，点 P、 Q、 R、 S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ与 RS 是异面直线的一个图是_解析：中 PQ RS，中 RS PQ，中 RS 和 PQ 相交答案：三、解答题9.如图所示， E、 F 分别是长方体 A1B1C1D1ABCD 的棱 A1A， C1C 的中点求证：四边形 B1EDF 是平行四边形证明：设 Q 是 DD1的中点，连接 EQ、 QC1. E 是 AA1的中点， EQ 綊 A1D1.又在矩形 A1B1C1D1中， A1D1綊 B1C1， EQ 綊 B1C1(平行公理)四边形 EQC1B1为平行四边形 B1E 綊 C1
43、Q.又 Q、 F 是 DD1、 C1C 两边的中点， QD 綊 C1F.四边形 QDFC1为平行四边形 C1Q 綊 DF.又 B1E 綊 C1Q， B1E 綊 DF. 四边形 B1EDF 为平行四边形10已知三棱锥 A BCD 中， AB CD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M， N 分别是BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角解：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM， PN，因为点 M， N 分别是BC， AD 的中点，所以 PM AB，且 PM AB；12PN CD，且 PN CD，12所以 MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角所以 PMN(或其补角)
44、为 AB 与 MN 所成的角因为直线 AB 与 CD 成 60角，所以 MPN60或 MPN120.又因为 AB CD，所以 PM PN ，(1)若 MPN60，则 PMN 是等边三角形，所以 PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.(2)若 MPN120，则易知 PMN 是等腰三角形所以 PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上可知： AB 与 MN 所成角为 60或 30.21.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系提出问题应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056 年)建塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高 67.31 米，底层直径 30.27 米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑塔建在 4 米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构
