1、第 3 课时 指数函数的应用1体会指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型2能利用指数函数解决一些实际应用问题以及其他问题1指数函数的一般形式： y ax(a0，且 a1)2应用题的解题步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答【做一做 1】由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低 ，则现在价格为 8 100 元的计算机经_年后降为 2 400 元13解析：由 2 400，得 x15.580x答案：15【做一做 2】某种细菌在培养的过程中，每 20 min 分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 h，这样的细菌由一个分裂为_个答案：512有
2、关指数函数的实际应用问题，最典型的有哪些问题？剖析：1增长率问题：(1)增长率 100%；(2)平均增长率问题：如果原来产增 长 数基 数值的基数为 N，平均增长率为 p，则对应时间 x 的产值或产量 y N(1 p)x.2复利问题：(1)将前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期利息；(2)储蓄中的复利问题：如果本金为 a 元，每期利率为 r，本利和为 y，存期为 x，则y a(1 r)x.题型一 增长率问题【例 1】某人承包了一片荒山，承包期限为 10 年，准备栽种 5 年可成材的树木该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为 18%，以后每年的木材增长率为 10%，树木成材后，既可
3、出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满问：哪一种方案可获得较大的成材木材？(参考数据：1.1 51.61)分析：根据两种不同的方案，分别列得算式，再作商比较解：设新树苗的木材量为 Q，若连续生长 10 年，木材量为 N Q(118%) 5(110%) 5.生长 5 年重栽新树苗，木材量为 M2 Q(118%) 5，则 1.MN 2Q 1 18% 5Q 1 18% 5 1 10% 5 21.15 21.61 M N，即生长 5 年重栽新树苗可获得较大的木材量反思：本题是有关指数函数的实际应用题，通过作商比较大小是一种重要技巧题型二 指数型函数问题【例 2】牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而
4、不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数，若牛奶放在 0 的冰箱内，保鲜时间是 192 小时，而放在 22 的厨房中则是 42 小时(1)写出保鲜时间 y(小时)关于温度 x()之间的函数关系式；(2)利用(1)中的结论，指出 30 和 16 时的保鲜时间(精确到 1 小时)分析：所谓指数型函数，就是指形如 y maf(x)(a0， a1)的形式，本题由此利用待定系数法求之解：(1)根据条件设此函数为 y kax，将(0,192)和(22,42)两点代入得Error!解之，得 从而 y192 .12=973ka， 273x(2)当 x30 时， ；02=9当 x16 时， .162743
5、y所以当温度为 30 时保鲜时间约为 20 小时，当温度为 16 时，保鲜时间约为 64 小时反思：有关函数的应用题，可通过待定系数法求出模型函数的表达式，再用此解答实际问题题型三 含参指数函数的讨论【例 3】已知函数 y a2x2 ax1( a0， a1)在区间1,1上有最大值 14，求实数a 的值分析：函数 y a2x2 ax1 可通过换元法化归为二次函数，利用二次函数知识求解解：由 y a2x2 ax1，得 y( ax)22 ax1( ax1) 22，令 t ax，则 y( t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t .1a， a因为函数 y( t1) 22 的对称轴为 t1，所
6、以函数在 上为增函数1a， a所以当 t a 时，函数 y( t1) 22 有最大值，即( a1) 2214，解得 a3.当 0 a1 时，因为 x1,1，所以 t .a，1a因为函数在 上为增函数a，1a所以当 t 时，函数 y( t1) 22 有最大值，1a即 2214，解得 a .(1a 1) 13综上可知，实数 a 的值为 3 或 .13反思：本题容易出现以下错误：(1)误认为函数 y a2x2 ax1 在 x1,1上就是单调增函数，据此得 x1 时函数有最大值 14，列方程解出 a.(2)令 t ax， x1,1，不论 0 a1 还是 a1，就认为 t 的取值范围是 a1 ， a，由
7、此作为外层函数的定义域引出错误1 由于技术的改进，某厂从 2008 年起，两年来产值平均每年比上一年提高 12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计_年该厂年产值可比 2008 年翻一番答案：20142 某商品零售价 2009 年比 2008 年上涨了 25%，现要使 2010 年比 2008 年只上涨 10%，则 2010 年应比 2009 年降价_%.答案：123 某林区 2008 年木材蓄积量为 200 万 m3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到 5%.(1)若经过 x 年后，该林区的木材蓄积量为 y 万 m3，求 y f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万 m3?解：(1) y200(15%) x，其中 xN *.(2)由题意，200(15%) x300， xN *，解得 x9， xN *.即至少经过 9 年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万 m3.4 已知函数 y ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，求 a 的值a2解：若 a1，则 a2 a ，得 a ，a2 32若 0 a1，则 a a2 ，得 a .a2 12综上所述， a 或 .32 12
