1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(20142015福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线 ysin x 上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是( )A0， ，) B0，) 4 34C ， D0， ( ， 4 34 4 2 34答案 A分析 先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围解析 ycos
2、 x，cos x1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是0， ，) 4 342(2015青岛市胶州高二期中)若 a0， b0，且函数 f(x)4 x3 ax22 bx2 在x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2 B3C6 D9答案 D解析 f( x)12 x22 ax2 b，又因为在 x1 处有极值， a b6， a0， b0， ab( )29，a b2当且仅当 a b3 时取等号，所以 ab 的最大值等于 9.故选 D.3(2014淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中， x0 是其极值点的函数是( )A f(x) x3 B f(x)cos xC f(x)sin x x D f
3、(x)1x答案 B解析 对于 A， f ( x)3 x20 恒成立，在 R 上单调递减，没有极值点；对于B， f ( x)sin x，当 x(，0)时， f ( x)0，故f(x)cos x 在 x0 的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以 x0 是 f(x)的一个极小值点；对于 C， f ( x)cos x10 恒成立，在 R 上单调递减，没有极值点；对于 D， f(x) 在 x0 没有定义，所以 x0 不可能成为极值点，1x综上可知，答案选 B.4已知函数 f(x) x3 ax2 x1 在(，)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A(， )，( ，) B
4、( ， )3 3 3 3C(， ，) D ， 3 3 3 3答案 D解析 f ( x)3 x22 ax1， f(x)在(，)上是单调函数，且 f ( x)的图象是开口向下的抛物线， f ( x)0 恒成立，4 a2120， a ，3 3故选 D.5设函数 f(x)在定义域内可导， y f(x)的图象如下图所示，则导函数 y f ( x)的图象可能是( )答案 A解析 f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f ( x)的图象在(，0)上， f ( x)0，在(0，)上 f ( x)的符号变化规律是负正负，故选 A.6已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示，若 ABC
5、为锐角三角形，则一定成立的是( )A f(sinA)f(cosB) B f(sinA)f(sinB) D f(cosA)0 时， f ( x)0，即 f(x)单调递增，又 ABC 为锐角三角形，则 A B ，即 A B0，故 sinAsin( B)0，即 sinAcosB0，故 2 2 2 2f(sinA)f(cosB)，选 A.7(20142015祁东县模拟)函数 f(x) ax3 ax22 ax1 的图象经过四个象限，13 12则实数 a 的取值范围是( )A 83 116 310 67答案 D解析 f( x) ax2 ax2 a a(x2)( x1)，要使函数 f(x)的图象经过四个象限
6、，则 f(2) f(1) .103 76 310 67故选 D.8定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f ( x) ，则满足 2f(x)121 D x|x1答案 B解析 令 g(x)2 f(x) x1， f ( x) ，12 g( x)2 f ( x)10， g(x)为单调增函数， f(1)1， g(1)2 f(1)110，当 x1 时， f ( x)0， f(x)单调递增，当10，函数 f(x)递增因此，当 x0 时， f(x)取得极小值，故选 D.11(2015河南八市质量监测)已知函数 f(x) xlnx， g(x) x3 x25，若对任ax意的 x1，
7、 x2 ，都有 f(x1) g(x2)2 成立，则 a 的取值范围是( )12， 2A(0，) B1，)C(，0) D(，1答案 B解析 由于 g(x) x3 x25 g( x)3 x22 x x(3x2)，函数 g(x)在 上12， 23单调递减，在 上单调递增， g 5 ， g(2)8451.由于对23， 2 (12) 18 14 418x1， x2 ， f(x1) g(x2)2 恒成立， f(x) g(x)2 max，即 x 时， f(x)12， 2 12， 21 恒成立，即 xlnx1，在 上恒成立， a x x2lnx 在 上恒成立，令 h(x)ax 12， 2 12， 2 x x2
8、lnx，则 h( x)12 xlnx x，而 h( x)32ln x， x 时， h( x)0， x1,2时， h( x)0， f(x)单调递增，当 x(2,0)时， f ( x)0， f(x)在0,1上单调递增，故 f1(x) f(0)0， f2(x) x33 x2， f2(x) f1(x) x33 x2 kx 对 x0,1 成立，当 x0 时， k x23 x 恒成立，又当 x3 3x2xx1 时， x23 x 取得最大值 2， k2，即正确；中， f1(x)Error!， f2(x)Error! ， f(x2) f(x1)Error!.当 x1,0时，1 x2 k(x1)， k1 x，
9、k2.当 x(0,1)时，1 k(x1)， k ， k1.1x 1当 x1,4时， x2 k(x1)， k ， k .x2x 1 165即 f(x) x2， x1,4是1,4上的“ k 阶收缩函数” ，则 k4.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)设函数 f(x)ln xln(2 x) ax(a0)(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(0,1上 的最大值为 ，求 a 的值12解析 函数 f(x)的定义域为(0,2)，f ( x) a，1x 12 x(1)当 a1 时， f ( x) ，当
10、x(0， )时， f ( x)0，当 x( ，2)时， x2 2x 2 x 2 2f ( x)0，2 2xx 2 x即 f(x)在(0,1上单调递增，故 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1) a，因此 a .1218(本题满分 12 分)(2014韶关市曲江一中月考)已知函数 f(x) ax3 cx d(a0)是R 上的奇函数，当 x1 时， f(x)取得极值2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意 x1、 x2(1,1)，不等式| f(x1) f(x2)|1 时， f ( x)0，函数 f(x)单调递增；函数 f(x)的递增区间是(
11、，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此， f(x)在 x1 处取得极大值，且极大值为 f(1)2.(3)由(2)知，函数 f(x)在区间1,1上单调递减，且 f(x)在区间1,1上的最大值为 M f(1)2.最小值为 m f(1)2.对任意 x1、 x2(1,1)，|f(x1) f(x2)|0)(1)当 a1 时，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)求 f(x)的单调区间；(3)若 f(x)0 在区间1，e上恒成立，求实数 a 的取值范围解析 (1) a1， f(x) x24 x2ln x， f ( x) (x0)，2x2 4x 2xf(1)3， f (1)0，所以
12、切线方程为 y3.(2)f ( x) (x0)，2x2 2 a 1 x 2ax 2 x 1 x ax令 f ( x)0 得 x1 a， x21，当 00，在 x( a,1)时， f ( x)1 时，在 x(0,1)或2 x 1 2xx( a，)时， f ( x)0，在 x(1， a)时， f ( x)b0)的左、右焦点x2a2 y2b2分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆于 P， Q 两点，且 PQ PF1.(1)若| PF1|2 ，| PF2|2 ，求椭圆的标准方程；2 2(2)若| PQ| |PF1|，且 0)(1)若 x0，使得不等式 f(x)6a24 a 成立，求实数 a 的取值
13、范围；(2)设函数 y f(x)图象上任意不同的两点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为C(x0， y0)，记直线 AB 的斜率为 k，证明： kf( x0)解析 (1) f(x)ln x ax2(12 a)x，其定义域为(0，)， f( x) 2 ax(12 a) ，1x x 1 2ax 1x a0， x0，2 ax10，所以当 00， f(x)在(0,1)上单调递增；当 x1 时， f( x)6 a24 a，解得 x10，要证明 kf( x0)，即证明 a(x2 x1)(12 a) a(x1 x2)(12 a)，lnx2x1x2 x1 2x1 x2只需证明 ，
14、lnx2x1x2 x1 2x1 x2即证明 ln ，x2x12 x2 x1x2 x12(x2x1 1)x2x1 1构造函数 g(x)ln x ，2 x 1x 1则 g( x) 0，1x 4 x 1 2 x 1 2x x 1 2所以 g(x)在1，)上是增函数，当 x1 时， g(x)g(1)0，又 1，所以 ln ，从而 kf( x0)成立x2x1 x2x12(x2x1 1)x2x1 1一、选择题1(2015锦州一中高二期中)曲线 y x33 x21 在点(1，1)处的切线方程为( )A y3 x4 B y3 x2C y4 x3 D y4 x5答案 B解析 点(1，1)在曲线上， y3 x26
15、 x， y| x1 3，即切线斜率为3.利用点斜式得，切线方程为 y13( x1)，即 y3 x2.故选 B.2(2014浙江杜桥中学期中)已知函数 f(x) x3 ax23 x9 在 x3 时取得极值，则 a( )A2 B3C4 D5答案 D解析 f ( x)3 x22 ax3，由条件知， x3 是方程 f ( x)0 的实数根， a5.3函数 y2 x33 x212 x5 在0,3上的最大值，最小值分别是( )A5，15 B5，4C4，15 D5，16答案 A解析 y6 x26 x120，得 x1(舍去)或 x2，故函数 y f(x)2 x33 x212 x5 在0,3上的最值可能是 x
16、取 0,2,3 时的函数值，而 f(0)5， f(2)15， f(3)4，故最大值为 5，最小值为15，故选 A.4. dx 等于( )421xA2ln2 B2ln2Cln2 Dln2答案 D解析 因为(ln x) ，1x所以 dxln x| ln4ln2ln2.421x 425已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数 f ( x)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A f(b)f(c)f(d) B f(b)f(a)f(e)C f(c)f(b)f(a) D f(c)f(e)f(d)答案 C解析 由图可知 f ( x)在(， c)和(e，)上取正值，在( c，e)上取负值，故 f(
17、x)在(， c)和(e，)上单调递增，在( c，e)上单调递减， a0 在 x(1,1)上恒成立， f(x)在(1,1)上是增函数，又 f(x)4 x3sin x， x(1,1)是奇函数，不等式f(1 a) f(1 a2)0，1x 12 e选 B.11已知三次函数 f(x) x3(4 m1) x2(15 m22 m7) x2 在 R 上是增函数，则 m13的取值范围是( )A m4 B41 时，1log a3，由于 y01，log a32 时 f ( x)0 恒成立(其中f ( x)是函数 f(x)的导函数)，且 f(4)0，则不等式( x2) f(x3)2 时， f ( x)0， f(x)在
18、(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4)0， f(0)0，04 时， f(x)0，由( x2) f(x3)0)，且 g(x) f(x)2 是奇函数(1)求 a、 c 的值；(2)若函数 f(x)有三个零点，求 b 的取值范围解析 (1) g(x) f(x)2 是奇函数， g( x) g(x)对 xR 成立， f( x)2 f(x)2 对 xR 成立， ax2 c20 对 xR 成立， a0 且 c2.(2)由(1)知 f(x) x33 bx2( b0)， f ( x)3 x23 b3( x )(x )，b b令 f ( x)0 得 x ，bx (， )b b ( ， )b b b
19、( ， )bf ( x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增依题意有Error! b1，故正数 b 的取值范围是(1，)18(2015太原市三模)已知函数 f(x)( x2 ax a)ex x2， aR.(1)若函数 f(x)在(0，)内单调递增，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 x0 处取得最小值，求 a 的取值范围解析 (1)由题意得 f( x) x(x2 a)ex2 xex ， xR，(x 22ex a) f(x)在(0，)内单调递增， f( x)0 在(0，)内恒成立 x2 a 在(0，)内恒成立，2ex又函数 g(x) x2 在(0，)上单调递增，2ex a g
20、(0)0， a 的取值范围是(，0；(2)由(1)得 f( x) xex ， xR，(x 22ex a)令 f( x)0，则 x0 或 x2 a0，即 x0 或 g(x) a，2ex g(x) x2 ，在(，)上单调递增，其值域为 R.2ex存在唯一 x0R，使得 g(x0) a，若 x00，当 x(，0)时， g(x)0；当 x(0， x0)时， g(x)0；当 x(0，)时， g(x)a， f(x)0； f(x)在 x0 处不取极值，这与题设矛盾；若 x0a， f( x)a， f( x)0； f(x)在 x0 处取得极小值；综上所述， x00 成立1a解析 (1)由题设知 g(x)ln x
21、 ，1x g( x) ，令 g( x)0，得 x1.x 1x2当 x(0,1)时， g( x)0，故(1，)是 g(x)的单调递增区间，因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g( )ln x x，1x设 h(x) g(x) g( )2ln x x ，则1x 1xh( x) . x 1 2x2当 x1 时， h(1)0，即 g(x) g( )1x当 x(0,1)(1，)时， h( x)h(1)0，即 g(x)g( )，1x当 x1 时， h(x)0 成立 g(a)10)， g(x) .x 2x 2(1)讨论函数 y f(x) g(x)
22、的单调性；(2)若不等式 f(x) g(x)1 在 x0，)时恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当 a1 时，证明： 0 得 x2 ，所以函数 y f(x) g(x)在 上是1a 1 21a 1， )单调递增函数，函数 y f(x) g(x)在 上是单调递减函数；0， 21a 1(2)当 a1 时，函数 y f(x) g(x)是0，)上的增函数所以 f(x) g(x) f(0) g(0)1，即不等式 f(x) g(x)1 在 x0，)时恒成立，当 0g(x)1 在 x(0，)时恒成立，即 ln(x1) ，所以 ln (kN *)，2xx 2 (1k 1) 21 2k即 ln(k1)ln k12k 112所以 (ln2ln1)，1312 (ln3ln2)，1512 (ln4ln3)，1712 ln(n1)ln n12n 112将上面各式相加得到， (ln2ln1)(ln3ln2)(ln4ln3)13 15 17 12n 112(ln( n1)ln n) ln(n1) f(n)12 12原不等式成立
