1、第四章 2 实际问题的函数建模一、选择题1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次 ，其中电动车存车费是每辆一次 0.3 元，自行车存车费是每辆一次 0.2 元若自行车存车数为 x 辆次，存车总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( )A y0.1 x800(0 x4 000)B y0.1 x1 200(0 x4 000)C y0.1 x800(0 x4 000)D y0.1 x1 200(0 x4 000)答案 D解析 因为自行车 x 辆，电动车 4 000 x 辆， y0.2 x0.3(4 000 x)0.1 x1 200，故选 D.2用长度为 24m 的材
2、料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A3m B4mC6m D12m答案 A解析 如图所示，设隔墙长为 xm，则矩形长为 122 x(m)24 4x2 S 矩形 x(122 x)2 x212 x2( x3) 218.当 x3m 时，矩形的面积最大3据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%，如果按此速度，设 2000 年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为 m，则从 2000 年起，经过 x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式是( )A y0.95 mx50B y(10.05 )mx50C y0.95 50 xmD y
3、(10.05 50 x)m答案 A解析 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的 q%，则( q%)500.95， q%0.95 ，150即 x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为 y0.95 m.x504某林场计划第一年造林 10 000 亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林( )A14 400 亩 B172 800 亩C17 280 亩 D20 736 亩答案 C解析 因为年增长率为 20%，所以第四年造林为 10 000(120%) 317 280(亩)，故选 C.5某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表：x 1 2 3 y 1 2 5 下面的函数关系式中，能表达这种关
4、系的是( )A ylog 2(x1) B y2 x1C y2 x1 D y( x1) 21答案 D解析 代入数值检验，把 x2 代入可排除 A、B、C，把 x1,2,3 代入 D 选项，符合题意6某种动物繁殖数量 y(只)与繁殖时间 x(年)的关系为 y alog2(x1)，设这种动物第一年有 100 只，则第七年它们发展到( )A300 只 B400 只C500 只 D600 只答案 A解析 由题意知，当 x1 时， y100，即 100 alog22， a100. y100log 2(x1)当 x7 时， y100log 28300(只)二、填空题7为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有
5、一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密函数为 y ax2( x 为明文、 y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6” ，再发送，接受方通过解密得到明文“3” ，若接受方接到密文为“14” ，则原发的明文是_答案 4解析 依题意 y ax2 中，当 x3 时， y6，故 6 a32，解得 a2，所以加密函数为 y2 x2，因此当 y14 时，由 142 x2，解得 x4.8某汽车在同一时间内速度 v(km/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q0.0025 v20.175 v4.27，则车速为_km/h 时，汽车的耗油量最少答案 35解析
6、由 Q0.0025 v20.175 v4.270.0025( v270 v)4.270.0025( v35) 235 24.270.0025( v35) 21.2075. v35km/h 时，耗油量最少三、解答题9某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件(1)设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购 450 件服装时，该服装厂获得的
7、利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润实际出厂的单价成本)解析 (1)当 0 ， 8 0 且 a1)，由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：a2， y2 x，故正确当 x5 时， y2 53230，正确当 y4 时， x2，当 y12 时， xlog 212log22 ，从而可知浮萍从 4m2蔓延到 12m272用时超过 1.5 个月，错，显然错误把 y2,4,8 代入 y2 t分别得 t11， t22， t33，故正确因此选 D.2(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 ye kx b(e2.718为自然对数的底数， k， b 为常
8、数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是( )A16 小时 B20 小时C24 小时 D21 小时答案 C解析 由题意，Error!得Error!于是当 x33 时， ye 33k b(e 11k)3eb( )319224(小时)12二、填空题3里约热内卢为成功举办 2016 年奥运会，决定从 2012 年底到 2015 年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增 10%，则 2013 年底已更新现有总车辆数的百分比约为_(保留 3 位有效数字)答案 30.2%解析 设现有车辆总数为 a,2013 年底
9、更新了现有总车辆数的百分比为 x，则ax ax(110%) ax(110%) 2 a. x(11.11.1 2)1. x30.2%.4为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 y t a(a 为常数)，如图所示根据图中提供的信息，回答下列问题：(116)(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为_；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过
10、_小时后，学生才能回到教室答案 (1) yError!；(2)0.6.解析 由图像可知，当 0 t0，得 x(0， )2l 2 x4 2l 2S x2 xy x2 x 8 8 2l 2 x4 (x )2 ， x(0， )4 8 2l4 l22 4 2l 2当 x 时， Smax ，此时， y .2l4 l22 4 l4 x2答：窗户中的矩形高为 ，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大l4 7某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系模拟
11、函数可以选择二次函数或函数 y abx c(其中 a， b， c 为常数)，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由解析 设两个函数y1 f(x) px2 qx r(p0)；y2 g(x) abx c.依题意，有Error!解得Error! y1 f(x)0.05 x20.35 x0.7， f(4)1.3(万件)，依题意，也有Error!解得Error! y2 g(x)0.8(0.5) x1.4，g(4)0.8(0.5) 41.41.35(万件)经比较可知， g(4)1.35(万件)，比 f(4)1.3(万件)更接近于 4 月份的产量 1.37 万件选用 y2 g(x)0.8(0.5) x1.4 作为模拟函数较好
