1、1.7.1 定积分在几何中的应用课时演练促提升A 组1.如图,阴影部分的面积为( )A.9 B. C. D.解析:由求得两曲线交点为 A(-2,-4),B(1,-1).结合图形可知阴影部分的面积为S=-x2-(x-2)dx=(-x2-x+2)dx=.答案:B2.若 y=f(x)与 y=g(x)是 a,b上的两条光滑曲线的方程,则这两条曲线及直线 x=a,x=b 所围成的平面图形的面积为( )A.f(x)-g(x)dxB.g(x)-f(x)dxC.|f(x)-g(x)|dxD.解析:因为 f(x),g(x)两条曲线上下位置关系不确定,故选 C.答案:C3.已知函数 y=x2与 y=kx(k0)的
2、图象所围成的封闭区域的面积为,则 k=( )A.3 B.2 C.1 D.解析:由消去 y 得 x2-kx=0,所以 x=0 或 x=k,则所求区域的面积为S=(kx-x2)dx=,则 k3=27,解得 k=3.答案:A4.由曲线 y=x2,y=x3围成的封闭图形面积 S 为( )A. B. C. D.解析:作出曲线 y=x2,y=x3的草图,所求面积即为图中阴影部分的面积 .解方程组得曲线 y=x2,y=x3交点的横坐标为 x=0 及 x=1.因此,所求图形的面积为 S=(x2-x3)dx=.答案:A5.由曲线 y=x2+2 与 y=3x,x=0 所围成的平面图形的面积为( )A.4 B.3
3、C.2 D.1解析:如图,由 x2+2=3x,得 x=1,或 x=2,直线 y=3x 与抛物线 y=x2+2 的交点坐标为(1,3),(2,6),所求的面积为 S=(x2+2-3x)dx+(3x-x2-2)dx=1.答案:D6.曲线 y=ex,y=e-x及 x=1 所围成的图形的面积为 . 解析:作出图形,如图所示 .S=(ex-e-x)dx=(ex+e-x)=e+-(1+1)=e+-2.答案:e +-27.由正弦曲线 y=sin x,x和直线 x= 及 x 轴所围成的平面图形的面积等于 . 解析:如图,所围成的平面图形(阴影部分)的面积S=|sin x|dx=sin xdx-sin xdx=
4、-cos x+cos x=2+1=3.答案:38.计算由抛物线 y2=x 与直线 x-2y-3=0 所围成的平面图形的面积 .解法一:由得抛物线与直线的交点为 P(1,-1),Q(9,3)(如图所示),所以 S=-(-)dx+dx=2dx+dx=10.解法二:抛物线和直线方程可改写为 x=y2,x=2y+3,则 S=(2y+3-y2)dy=10.9.计算由曲线 y=x2+1,直线 x+y=3 以及两坐标轴所围成的图形的面积 S.解:画出两函数的图象,如图所示:由又直线 x+y=3 与 x 轴交于点(3,0),S= (x2+1)dx+(3-x)dx=+1+.B 组1.曲线 y=sin x(0 x
5、)与直线 y=围成的封闭图形的面积为( )A. B.2-C.2- D.解析:因为曲线 y=sin x(0 x)与直线 y=的交点的横坐标分别为 x=及 x=,所以所求图形的面积为 dx=.答案:D2.由 y=x2,y=,y=1 所围成的图形的面积为( )A. B. C.2 D.1解析:如图, y=1 与 y=x2交点 A(1,1),y=1 与 y=交点 B(2,1),由对称性可知面积 S=2.答案:A3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则 a 的值为 . 解析: f(x)=3x2
6、+2ax+bf(0)=bb=0,令 f(x)=0x=-a(asin x,在上,sin xcos x. 面积 S=(cos x-sin x)dx+(sin x-cos x)dx=2(sin x-cos x)dx=-2(sin x+cos x)=4.6.求曲线 y=x2和直线 x=0,x=1,y=t2,t(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值 .解:由定积分的性质与微积分基本定理,得 S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t(0 ,1),所以 S=4t2-2t,所以 t=或 t=0(舍去) .当 t 变化时, S,S 变
7、化情况如下表:tS- 0 +S极小值所以当 t=时, S 最小,且 Smin=.7.过原点的直线 l 与抛物线 y=x2-4x 所围成图形的面积为 36,求 l 的方程 .解:由题意可知直线的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y=kx,则由(1)当 k+40,即 k-4 时,面积 S=(kx-x2+4x)dx=k(k+4)2-(k+4)3+2(k+4)2=(k+4)3=36,k= 2,故直线 l 的方程为 y=2x.(2)当 k+40,即 k-4 时,S=(kx-x2+4x)dx=-=-(k+4)3=36,k=- 10, 直线 l 的方程为 y=-10x.综 上,所求直线 l 的方程为 y=2x 或 y=-10x.
