1、111 正弦定理（一）教学目标1知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正 弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3情 态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量 的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及
2、其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。来源:（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： ，接着就一般sinisinabcABC斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识 的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想创设情景如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C
3、B探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , AsinaAcibBsin1cC则 b ciiic从而在直角三角形 ABC 中， C a Bsinisinac(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否 仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， Cs
4、iniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c B来源:siniAsin(图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A 作 ， CjC由向量的加法可得 B则 A B()jj jAjCjB j00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBibcBC从而 siisi类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsincC理
5、解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；iaikick（2） 等价于 ， ，sinibABsincCsiinabsiincbBsiaAincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；6.根据正弦定理，；
6、0sin4.9si.8.1()32aBbcmA根据正弦定理， 0si.si6.74.()nCc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边AB2a8b04A01长精确到 1cm） 。解：根据正弦定理，来源:来源:0sin8i4i .92ba因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(41)24A0sin2i3.aCcc评述：应注 意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。随堂练习第 5 页练习第 1（1） 、2（1）题。例
7、 3已知 ABC 中， A ， ,求063asinisinabcABC分析：可通过设一参数 k(k0)使 ,iiik证明出 siniabABsincCisiibcB解：设 ii(o)ik则有 ， ，kkic从而 = =sinisinabcisniiACk又 ，所以 =2sinaA032i6ksinisinabcABC评述：在 ABC 中，等式iii0isiinabckABC恒成立。补充练习已知 ABC 中， ，求si:isi1:23:（答案：1： 2：3 ）课堂小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；来源:siniabABsincC0isiniabckABC或 ， ，sinakbkk(0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（五）评价设计课后思考 题：（见例 3）在 ABC 中， ，这个 k 与 ABCsiniabAB(o)sinckC有什么关系？课时作业：第 10 页习题 1.1A 组第 1（1） 、2（1）题。
