1、 专题练习 转化思想在代数中的应用一、填空题1. 已知ABC中，A、B 、C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一 元 二 次 方 程 的 两 个 根 ， 判 断 的 形 状 。x ABC2480()答案：直角三角形2 22. cos已 知 为 三 角 形 一 个 内 角 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 轴 ，yxy则A=_度。答案：903. 已知ABC中，a、b、c分别是A 、B、C 的对边，若抛物线yxabxABC22()的 顶 点 在 轴 上 ， 判 断 的 形 状 。答案：直角三角形4. 在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐 标 为 ，
2、， 则 点 的 坐 标 为 。(tn)560答案： 23，5. 设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A （62d，7d）在第二象限，判断两圆位置关系_。答案：两圆相交6. a、b、c为ABC的三条边，满足条件点（ac ，a）与点（0，b）关于x轴对称，判断ABC的形状_。答案：等边三角形二、解答题7. 如图所示，AD为O的直径，一条直线l与O交于E、F 两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C ，连结CD 交O于G。（1）求证：ADBE=FGDF；（2）设AB=m，BC=n ，CD=p，求证：tanFAD、tanBAF是方程mxnp0的 两 个 实 数 根 。 三 角 函 数 值 作 为
3、 方 程 的 根 ， 视 为 三 角 函 数 值(用几何知识，视为方程根用方程知识）解：（1）提示：证明CF=BE，GFCADF；（2）提示：先证明RtDFCRtFAB得DF：FA=FC：AB=DC：FB tantanFADBFDAFCBAnmtantan FADBFDACFBADpm 、 是 方 程 的 两 个 实 数 根 。mxnp2081422 11. ()设 关 于 的 二 次 方 程 的 两 根 为 ， ， 若xaxx 32a， 试 求 的 值 。 非 对 称 式 转 化 为 对 称 式 )解：a3或a1提示： 241xa12由 ， 得 ， 平 方 ，321212112xxx()()
4、得 ，4362()()将式、代入后，解得a3，a1，检验适合。9. ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角，Rt ABC的面积和周长都为0842103222 1， 又 、 是 关 于 的 方 程 的 两 个 实 数 根 ， 且xxx xcos (ADC12391)()cos()(。 求 ： 的 值 ； 和 的 长 。 “三 角 函 数 值 ”的 有 关“代数式”作为方程的系数）解：（1）cs45提示：由 得 ，3210041(cos)cosa又 由 根 与 系 数 关 系 可 以 解 得 或 舍 ；()5（2）ADC123或提示：由 ，求 得 ，AC061322再 由 ， 解 得 或ADD
5、1705210. 如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4。（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标。（先转化为点的坐标，再求函数解析式）解：（1）yx3412提示：点B（2，2），点 E（0，2），点F（2，0）；（2）顶 点 坐 标 为 ，()35111. 如图所示，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=3 厘米，点P从点A开始沿AB边向B 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2厘米/秒的速度 移 动 ， 如 果 、 分 别 从 、 同 时 出 发 ， 几 秒 钟 后 、 间 的 距 离 等
6、于 厘PABQ42米？（把实际问题转化为几何问题）解：tPQcm2542秒 时 ，提示： 设 秒 钟 后由 勾 股 定 理 ， 得 ()()622tt解 得 ， ， 不 合 题 意 ， 舍 去ttB12543)22.在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线 的 开 口 向 上 ， 顶 点 在 直xOyyaxbcP线 上 ， 且 到 坐 标 原 点 距 离 为 ， 又 知 抛 物 线 与 轴 两 交 点 、 在yPxAB417(的左侧）的横坐标的平方和为10。（1）求此抛物线的解析式。*（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且QAP=90，求点Q的坐标。（利用“ 点坐标的绝对值等于线
7、段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）解：（1） yx23提示：顶点P在直线y4x上，可 设 ， ， 则 有 ， 解 得 ，()()()44171222P（1，4）或（1，4）。抛物线开口向上，又与x轴有交点，（1，4）不合题意舍去。设 与 轴 交 于 点 ， 、 ，yaaxaxAxB() ()()42402 12xaxa121212401消 、 ， 解 得 ；（2）Q()794，提示：如图所示，设抛物线上点Q （m，n），过Q 作QPx轴于点M。Amn()12，QP()42，5QAP=90，由勾股定理，得()()n1252m4，整 理 ， 得 ，0又23解 得
8、 舍 或nmn120794()3352.()()已 知 抛 物 线 的 顶 点 在 双 曲 线 上 ，yxxDyx直 线 经 过 点 和 点 ， ， 且 使 随 的 增 大 而 减 小 ， ， 满 足 方 程 组kxcDCabyabab ab2205， 求 这 条 直 线 的 解 析 式 。 、 具 有 两 重 性 ， 视 为 点 的 坐 标 用(函数知识，视为方程的根用方程知识）。解：yxyx613413或提示：抛 物 线 的 顶 点 的 坐 标 为 ，mmDm()() (92133052mDyx)， 由 于 点 在 双 曲 线 上 ，得 ，3103512m整 理 ， 得 ，240解 得 ，
9、 ，16 ， ， ，D25315()()又 由 方 程 组 解 得 和 ，abab21201 ， ， ， ，C12()()其中C 1（2，1）不符合题意，舍去。 直 线 的 解 析 式 为 ；Dyx431直 线 的 解 析 式 为 。26一、选择题（每小题4分，共20分）1. 在下列二次根式42232ababab， ， ， ，中，最简二次根式有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 为适应经济的发展，提高铁路运输能力，铁道部决定提高列车运行的速度，甲、乙两城市相距300千米，客车的行车速度每小时比原来增加了40千米，因此，从甲市到乙市运行的时间缩短了1小时30分，若设客车原来
10、的速度为每小时x千米，则依题意列出的方程是（ ）A. 30415.B. 30415x.C. x.D. .3. 对二次函数yx321进行配方，其结果及顶点坐标是（ ）A. 14()()， ，B. yx1312()()， ，C. yx32， ，D. ， ，4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. 平行四边形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 等边三角形5. 已知两圆的半径分别为2cm、5cm，两圆有且只有三条公切线，则它们的圆心距一定（ ）A. 大于3cm且小于 7cm B. 大于7cm C. 等于3cm D. 等于7cm二、填空题（每空4分，共40分）1. 分解因式 yx2
11、1_。2. 用换元法解方程 xxy22 253553时 ， 设 ，原方程化为关于y的一元二次方程是_。3. 已知ABC中，DE交AB于D，交AC于E，且DE BC ， SADEBCE 四 边 形： =1：3，则DE ：BC=_，若AB=8，则DB=_ 。4. 函数yxx2432的自变量取值范围是_。5. ABC中，C=90，cosB1，tanB=_。6. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，而且第三象限的一支经过（2，1）点，则反比例函数的解析式是_。当 y31时，x=_。7. 一组数据：10，8，16，34，8，14中的众数、中位数、平均数依次是_。8. 圆锥的母线长为10cm，高为8cm，
12、则它的侧面积是_。（结果保留4个有效数字，取3.142）三、解答题（每小题8分，共24分）1. 计算：|costan()12306102. 解方程组22xy，3. 先化简再求值： x227463。（其中 x2）四、解答题（每小题8分，共16分）1. 已知：如图所示，正方形ABCD，E为CD上一点，过B点作BF BE于B，求证：1=2。2. 已知：如图所示，RtABC中，C=90，ABC=60 ，DC=11，D点到AB的距离为2，求BD的长。五、（第1题8分，第2题10分，共18分）1. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克，批发价为每千克2.5元，学校采购员带现金2000元，到该批发市
13、场采购苹果，以批发价买进，如果采购的苹果为x（千克），付款后剩余现金为y（元）。（1）写出y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，画出函数图象；（2）若采购员至少留出500元去采购其他物品，则它最多能购买苹果多少千克？2. 如图所示，O中，弦AC、BD交于E， BDA2。（1）求证： ABC2；（2）延长EB到F，使EF=CF ，试判断CF与O 的位置关系，并说明理由。六、（本题10分）已知关于x的方程 mxx2310()的两实根的乘积等于1。（1）求证：关于x的方程 ()()kmk20 ()k3 方程有实数根；（2）当方程的两根的平方和等于两根积的2倍时，它的两个根恰为ABC的两边长
14、，若ABC的三边都是整数，试判断它的形状。七、（本题10分）如图所示，已知BC是半圆O 的直径，ABC内接于O，以A为圆心，AB为半径作弧交O于F，交BC于G，交OF于H，ADBC于D ，AD、BF交于E ，CM切O 于C ，交BF的延长线于M，若FH=6，AE53，求FM 的长。八、（本题12分）如图所示，抛物线 ymxn281与x轴交于A 、B两点（点A在点B的左边），在第二象限内抛物线上的一点C，使 OCA OBC，且AC ：BC= 3：1，若直线AC交y轴于P。（1）当C恰为AP 中点时，求抛物线和直线AP的解析式；（2）若点M在抛物线的对称轴上，M与直线PA和y轴都相切，求点M的坐标
15、。试题答案一、选择题1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D二、填空题1. ()()yx12. 2503. 1：2，44. 35. 6. yx21，7. 8，12，158. 188.5cm2三、1. 解：原式143214314324322. xyxy1253， 或 ，3. 原式=x6225， 当 时 ， 原 式。四、1. 证明：设ABF=3，ABE=5，EBC= 43+5=90，（已知BFBE于B ），4+5=90（四边形ABCD是正方形），3=4，正方形ABCD，AB=BC，C=BAF=90。在RtABF 和RtCBE中， ， ，3490FABCABFCBE（AAS），1=
16、2。2. 解：过D点作DEAB于E，则 DE=2，在RtABC 中， ABC=60 ，A=30。在RtADE中，DE=2，AD=4，AE= 23，DC=11，AC=11+4=15，AB1532013 EBA8，在RtDEB中， DEB2228496()，BD=14。五、1. 解：（1） yx0510.， ，（2）最 大 26千克。答：最多购买600千克。2. 证明：（1）连结BC，ABD=C（ ABD），CAB公用，ABEABC，E， ABE2。（2）连结AO、CO，设OAC=1，OCA=2，A为 D中点，AODB，1+AED=90 AED=FEC，1+ FEC=90，又EF=CF ， FEC
17、=ECF，AO=OC， 1=2，1+FEC= 2+ ECF=90 ，FC与O相切。六、证明：由方程两实根乘积等于1，m ， ， ，0112经检验m=1是方程的根。当m=1时， x50， 符合题意。m=1时， 40， 。 舍 去 ， 。方程 ()()()kxk213， 。当k=2时，方程 为32，有实根。当 3且 时，方程为 ()()xk10。() )(2144212 2kk42。 0， ， ，方程有实根。（2）方程 xxk121221， ()，xkx12120，()， 0， ， 121112kkxk)， ，( ()()2， ，k=3，当k=3时， x12。ABC 三边均为整数，设第三边为n，则
18、 n， 04n。 Z， ， ， 3。当n=2时，ABC为等边三角形。当n=1或3时， ABC为等腰三角形，n=1时，是等腰锐角三角形。n=3时，是等腰钝角三角形。七、解：A为A的圆心，AB=AF ， ABF，AD BC，BC 为O直径。又ABC+ACB=90，ABD+BAD=90 ，BAD=ACB，AFB=BAD，AFB=ACB， FN，BAE=ABE，AE=BE。设 EBkDE53， ， BD=4k。过A作AQFH于Q，连结AO， AO垂直平分BF，易知ABE=AFB。OB=OF，OBF=OFB ， AFQ=ABD，ABDAFQ。AD=AQ ，BG=FH=6，AB=AG，又 ADBG ，BD
19、=DG=4k。BG=8k=6，k34。BAC=90，ADB=90，AD 2=BDDC。 ()8162DCk， ，BC=4k+16k=20k。MC是O切线， MC BC， BEDBMC。EBMk， 即 3420。MC=15k。在RtBMC 中， Bk225()。由切割线定理， CFMF， ，F9347。八、解：（1）设 ymxn281与x轴交于A、B两点，A（x 1，0）、B （x 2，0）。在RtAPO 中，C为AP中点，OCAPC12OCAOBC ， B3。设 Akk32， ， ， OPBOPk23， ， ， ， ， 。在ABC 中， CACA22900， ， 。xOm12 8()， kk3
20、48， 。A（6，0），B（2，0）， OP 230， ，P()。设AP 直线 yx3，A（6，0）代入。32 k yx， ， 直 线。（2）设抛物线的对称轴为M 1M2，由题意M 1到y轴距离 PMN111(为 AP 的垂足）。同理 PN2。yxba38434， 。M 1和M 2的横坐标均为4。设M 1M2与AP 交于Q点， P12124， OPkAk3， ，PAO=30，AQM 2=60。将Q点横坐标4代入直线AP方程：y343623()。 MNQ12，MQ12483。8303的 纵 坐 标 ，140()，。M 2点的纵坐标()832632的 相 反 数，M 2（4， ）。综上，抛物线：yxAPyx3432， 直 线 ：，M1240343()()， ， ，。y
