1、2007 年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组决赛试题解析1计算：3790.038+1590.00621+3.790.121=_。一级提示：直接计算肯定有困难，所以必然有巧妙的办法。二级提示：本题考查的是同学们巧算的意识和积不变性质的应用。题目分析：答案为 1.59。3790.038+1590.+3.790.121=3.790.088+1590.00621+3.790.121=3.79(0.038+0.121)+0.1596.21=3.790.159+0.1596.21=0.159(3.79+6.21)=0.15910=1.592用 7 个长 4 厘米，宽 3 厘米的长方形拼成一个大长方
2、形，在所有可能的拼法中。大长方形周长的最小值是_厘米。一级提示：共有哪几种不同的拼法？二级提示：怎样拼才能使大长方形周长最短？题目分析：答案为 38。要使所摆的大长方形的周长最小，应使 7 个小长方形有尽可能多的边重合。只有如下的 3 种摆法：图 1 的周长为(37+4)2=50 厘米；图 2 的周长为(47+3)2=62 厘米；图 3 的周长为(34+4+3)2=38 厘米。显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是 38 厘米。3有 22 个装乒乓球的盒子。如果不管怎么装都至少有 4 个盒子里的乒乓球数相同(不装算 0个)，那么装球最多的盒子中装_个乒乓球。一级提示：这道题目使用了什么原
3、理？二级提示：怎样使得装球最多的盒子题目分析：答案为 6。这是一道抽屉原理问题。应从最不利的情况入手。根据“不管怎么装都至少有 4 个盒子里的乒乓球数相同” ，考虑特殊情况：盒子里的乒乓球数尽量不相同，并尽量使球数相同盒子的数目都达到 3 个。设每个盒子最多装 x 个乒乓球，则每个盒子中放的球数有 O，l，2，x 共 x+1 种，要使至少有 4 个盒子中的乒乓球数相同，则 22=3(x+1)+1，解得 x=6。4取一张狭长的纸条，扭转半圈并把两端接在一起。形成如图所示的“缪比乌斯带”(缪比乌斯是一位著名的数学家)。请问：如果沿着这条带子的正中央剪开带子，纸带会变成什么样子呢？答_。(提示填：两
4、个分开的细纸环；两个细纸环，一个套住另一个；一个更大的细纸环或一条更长的纸条)一级提示：可以从纸环的一个地方出发，走一圈，看看能够走到哪里。二级提示：最好的办法其实还是剪一张纸，实际操作操作看。题目分析：答案为一个更大的细纸环。这是一道著名问题。动手操作容易得出答案。得到的将是一个更大的细纸环。数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。你想想，应该怎样粘这个纸圈？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成
5、只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国数学家缪比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿” ，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈!缪比乌斯回到
6、办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转 ，再将两端粘在一起，这样就做成了180只有一个面的纸圈儿。圆圈做成后，缪比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。缪比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。 ”上面说的游戏，只有把白纸条粘成“缪比乌斯圈” ，才能按要求完成。做几个简单的实验，就会发现“缪比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“缪比乌斯圈” ，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“缪比乌斯圈
7、” ，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。数学中有一个重要分支叫“拓扑学” ，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的， “缪比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的问题之一。5A、B、C、D、E 五人坐在一起聊天。小明想知道这五个人的年龄和。可五人都没有直接回答。E 说：“A、B、C、D 四个人的年龄和为 101岁。 ”D 说：“B、C、E 三个人的年龄和为 105 岁。“C 说：“A、B、D、E 四个人的年龄和为 115 岁。”B 说：“A、D、E 三个人的年龄为和
8、80 岁。 “A说：“A、C、D 三个人的年龄和为 66 岁。 ”请问：五人的年龄和是_岁。一级提示：这类问题比较基本的方法是列方程。二级提示：分别求出五个人的年龄，也许是一种可行的方法。不过题目问的是五人的年龄和，是否有更简单的办法？题目分析：答案为 143。这是一道应用题，考察的是同学们整体观察的能力。将 5 人说的话列成下表：A B C D E 年龄和1 1 1 1 1011 1 1 1051 1 1 1 1151 1 1 801 1 1 66从整体看问题：A 共用 4 次，B 共用 3 次，C共用 3 次，D 共用 4 次，E 共用 3 次。所以，将B、C、E 再补上一次，A、B、C、
9、D、E 就各用 4 次。所以五人的年龄和是(101+1052+115+80+66)4=143。6期末达标中，如果甲的语文成绩或数学成绩至少有一科比乙的成绩高，则称甲不亚于乙。在一个有 35 人的班中。如果某同学不亚于其余34 名同学，就称他(她)为优秀学生。那么，这 35人中的优秀学生最多可能有_名。一级提示：极端性原理的题目应当考虑极端情况。二级提示：怎样分配才能使优秀学生最多？题目分析：答案为 35。要使优秀学生最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较。取 35 人为这样一种特殊情况：他们中语文成绩与数学成绩都互不相等，并且语文成绩最高者数学成绩最低，语文成绩次高者数学成绩次低，这样
10、一来，语文成绩最好的学生(语文优于其它 34 人)自然是优秀学生，语文成绩第二的学生(优于其他 33 人)数学是倒数第二(优于 1 人)，他也是优秀学生。同理可说明 35 人可都是优秀学生。727 个同样大小的小正方体的各面上分别写着 1 到 27，用这 27 个小正方体拼成如图所示的大正方体。请根据如图所显示的数据以及下面所给出的条件：数 9、13 和 16 在同一条直线上；数 22 在 9 和 6 之间；17 紧挨着 5 和 13，但与 9 不相邻；14 紧挨着 24 和 27；数 20 在 14 的上面。推断，从六个方向都看不见的小正方体面上所写的数是_。一级提示：哪些小正方体位置特殊，
11、应该作为突破口？二级提示：既然题目这样出，说明答案是唯一的。题目分析：答案为 5。这是一道逻辑推理问题。我们可以从上之下逐层展开去分析。首先数 9、13 和 16 在同一条直线上；可知C、G 代表 13 和 9；再由数 22 在 9 和 6 之间；可知 G、H 代表 22和 9；所以 G 代表 9，C 代表 13，H 代表 22。由 14 紧挨着 24 和 27，可知 E 代表 14。再由数 20 在 14 的上面，可知 A 代表 20。最后由 17 紧挨着 5 和 13，但与 9 不相邻，可知 D 代表 17，E 代表 14，F 代表 23，B 代表5。所以从六个方向都看不见的小正方体面上所
12、写的数是 5。8在下面的算式中，a，b，c 分别代表 09 中的三个不同的数字，那么，数字 b 是_。ba一级提示：哪些数字是可以首先确定的？二级提示：列出乘法算式，也许有些事情可以一目了然。题目分析：答案为 0。这是一道数字谜问题。考察同学们的推理能力。首先列成竖式：从 ，及乘积为 来看，c=1，所cbaacb以 。1从竖式的十位上看， b 的个位数字是1ba0。(1)当 b0 时，从十位看， b 的个位数字必是 0，只能是 a=5，b 是偶数或 b=5。a 为偶数。若 a=5，b 是偶数。从 5=5 口口及乘15积 看，b700，由于不能进位，所以 7 加几也不能15等于 l。所以是无解的
13、。(2)当 b=0 时，从百位看， a 的个位数1ba字必是 9，十位数字必是 O，那么 a=3。此时=301。abc9小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 1，从上面看如图 2，那么这个几何体至少用了_块木块。一级提示：每个位置应该有几层？二级提示：哪些位置是没有必要放木块的？题目分析：答案为 23。这道题很多同学认为答案是 26 块。这是受思维定势的影响，认为图 2 中每一格都要至少放一块。其实，有些格不放，看起来也是这样的。如图，带阴影的 3 块不放时，小正方体块数最少，为 23 块。10如图，有 A、B、C、D 四块大小一样的正方形纸片，放在一个大正方
14、形纸盒中。它们之间互相叠合。已知露在外面的部分中，A 的面积为144 平方厘米，B 的面积是 96 平方厘米，D 的面积是 84 平方厘米。那么 C 露出部分的面积是_平方厘米。一级提示：各部分的长度和面积之间有什么样的关系？二级提示：如果直接观察困难，可以划分为若干部分。题目分析：答案为 46.25。这是一道计算面积的几何问题。首先向左移动正方形 B，使它有两边与大正方形的边重合，如下图 1 所示。此时正方形 B 与正方形 D 露出部分的面积相等，均为(96+84)2=90 平方厘米。由于正方形 A 与正方形 B 等长，正方形 C 与正方形 D 等长，所以图 1 中正方形 D 露出的面积为 90(14490)=56.25 平方厘米。再计算图 2 中正方形 B 中 E 这部分。H 部分的面积是 9084=6 平方厘米，E、F 两部分的面积和是 90，故 G、H 两部分的面积和是14490=54 平方厘米。E 部分的面积是 90546=10 平方厘米。故 c 露出部分的面积为 56.25-1O=46.25 平方厘米。
