1、数学建模方法及其应用,韩中庚 编著,微分方程的一般理论；,微分方程的平衡点及稳定性；,案例：战争的预测与评估问题；,主要内容,案例：SARS的传播问题。,第三章 微分方程方法,2,回顾历史 15世纪航海业发达，哥伦布，麦哲伦时代，没有指南针，促进天文观测不断发展。 哥白尼长期观测的基础上，提出圆轨道日心说。 1608年伽利略(Galileo)第一架望远镜的制成，引起了人们对天文学研究的高潮,一、微分方程的一般理论,开普勒通过长期观察和计算得出三大定律：,太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆; 行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数； 行星运动周期之平方与长轴之立方成正比。,一、微分方
2、程的一般理论,17、18世纪许多科学家致力于行星椭圆轨道的数学解释。 胡克、惠更斯等人取得一些成果，但结果不理想。,一、微分方程的一般理论,牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分； 认为行星的运动规律的背后一定有力学定律起作用 牛顿利用开普勒的观测与微积分工具推广得出万有引力。 1687年编入自然科学之数学原理,牛顿当时的推导过程是怎样的？,一、微分方程的一般理论,太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;,一、微分方程的一般理论,行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；,r,一、微分方程的一般理论,行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。,即使太阳系别的行星，也不改变。,一、微分方程的
3、一般理论,牛顿自己的结论：牛顿第二运动定律,一、微分方程的一般理论,问题：行星运动过程中，力大小的规律是如何的？,？,？,一、微分方程的一般理论,t 时刻行星的位置？,一、微分方程的一般理论,t 时刻行星的速度？,一、微分方程的一般理论,t 时刻行星的加速度？,？,一、微分方程的一般理论,第二定律： 行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；,一、微分方程的一般理论,第一定律： 椭圆轨道方程,引力大小,引力方向,第三定律： 行星运动周期之平方与长轴之立方成正比。,一周扫过的面积。,A：单位时间扫过的面积。,上述过程是已知轨道规律，得出万有引力公式 如何研究月亮轨道？ 如何控制嫦娥号？,第三章
4、微分方程方法,一 .微分方程的一般理论,微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。含有微分项的方程通称为微分方程。,24,一、微分方程的一般理论,1. 微分方程的一般形式,25,一、微分方程的一般理论,1. 微分方程的一般形式,26,一、微分方程的一般理论,1. 微分方程的一般形式,27,一、微分方程的一般理论,2. 微分方程解的存在唯一性,问题：正规方程组（2）的解在什么条件下存在，且唯一呢？,28,一、微分方程的一般理论,2. 微分方程解的存在唯一性,29,一、微分方程的一般理论,3. 微分方程的稳定性问题,微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该
5、过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？,30,2018年9月17日,一、微分方程的一般理论,3. 微分方程的稳定性问题,（1）有限区间的稳定性,（2）无限区间的稳定性,（3）渐近稳定性,（4）经常扰动下的稳定性,第三章 微分方程方法,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。,32,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,平
6、衡点的概念,33,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,平衡点的概念,问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？,34,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,平衡点的概念,35,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,2. 一阶方程的平衡点及稳定性,36,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,3.平面方程的平衡点及稳定性,37,二 .微分方程的平衡点及其稳定性,3.平面方程的平衡点及稳定性,微分方程案例,39,三 .战争的预测与评估问题,问题的提出,由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装
7、备现已成为决定战争胜负重要因素军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等,现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响,40,三 .战争的预测与评估问题,问题的提出,现在要求建立数学模型讨论的问题：(1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；(2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。,41,三 .战争的预测与评估问题,2. 模型的假设,42,三 .战争的预测与评估问题,3
8、. 模型的建立与求解,43,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,44,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,45,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,46,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,47,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.,48,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,49,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,兰彻斯特多兵种作战模型,50,三 .战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,小作业 正规战与游击战,
9、三 .战争的预测与评估问题,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry 射击率， py 命中率,平方律 模型,三 .战争的预测与评估问题,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry射击率 py 命中率,三 .战争的预测与评估问题,线性律 模型,三 .战争的预测与评估问题,混合战争模型?,甲方为游击部队，乙方为正规部队,利用以上建立的微分方程，建立混
10、合战争模型，定量分析各变量对战争结局的影响。 兰彻斯特方程还可以用来描述什么样的战争形态？,三 .战争的预测与评估问题,57,SARS(严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性,四 .SARS的传播问题,问题的提出,58,2018年9月17日,四 .SARS的传播问题,问题的提出,请你对SARS 的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提
11、供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计.,59,四 .SARS的传播问题,2问题的分析,描述传染病的传播过程.,分析受感染人数的变化规律.,预报传染病高潮到来的时刻.,预防传染病蔓延的手段.,不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.,背景 与 问题,传染病的极大危害(艾滋病、SARS、),基本方法,60,四 .SARS的传播问题,3模型的建立与求解,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人,则不能使病人数增加,建模,?,四 .SARS的传播问题,模型
12、2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 .,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病.,建模, 日 接触率,SI 模型,四 .SARS的传播问题,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.,四 .SARS的传播问题,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染
13、的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,四 .SARS的传播问题,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者.,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 .,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程.,四 .SARS的传播问题,先做数值计算, 再在相平面上研究解析解性质,四 .SARS的传播问题,SIR模型的数值解,i(t)从初值增长到最大; t, i0,s(t)单调减; t, s0.04,设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用MATLAB计算作图i(t
14、), s(t)及i(s),四 .SARS的传播问题,模型4,SIR模型的相轨线分析,相轨线 的定义域,四 .SARS的传播问题,在D内作相轨线 的图形，进行分析,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,四 .SARS的传播问题, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,四 .SARS的传播问题,降低日接触率,提高日治愈率,提高移出比例r0,以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标., , ,s0 (r0 ),四 .SARS的传播问题,传染病模型,模型1,模型2,模型3 (SIS),模型4 (SIR),模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律,预报高潮时刻, 预防蔓延手段.,模型4: 数值计算与理论分析相结合.,四 .SARS的传播问题,
