1、7.3 Romberg积分,设 是任意数, 是关于步长h逼近 的近似公式,它们的误差估计式为(1),7.3.1 Richardson外推法外推法是用精确度较低的近似公式组合成精确度较高的近似公式的一种方法.,这里, k1,k2,k3, 是一组常数.,我们希望找到一种简便的方法,用近似公式F(h)的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使(2)此时, 逼近 F* 的误差为O(h2)类似地,用 组合产生逼近F* 的误差 为 O(h3) 的近似公式等.下面我们给出一种具体的组合方法.,按(1)式,称 逼近 的误差为 .把h 的幂次称为误差的阶,例如, 称为二阶误差,把(1)式改写为(3) 用h/2代替(
2、3)式中的h,得(4) 用2乘(4)式再减去(3)式,消去含h的项,得(5) 令 ,且记,那么(5)式可写为(6) 这里, 逼近 的误差为再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为(7) 用4乘(7)式减去(6)式,消去含 的项,得(8) 同样记,(8)式可以写为(9) 这里 逼近 的误差为还是用h/2代替h代入(9)式后,类似上述过 程,可以得到误差为 的 一般地,对 ,有逼近 的误差为的递推公式(10) 也称为关于步长h的外推公式.表7-1列出了 时,按(10)式产生 的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号.,表7-1例1 设 带余项的差分公式为,(11) 导出具有误差为 的外推公式.
3、解 令用 h/2代替h,得(12) 为消去含 的项,用4乘(12)式减去 (11)式,得,从而有(13) 这里这时, 逼近 的误差为 .重复用h/2代替h并消去含 的项,得到逼近 的误差为 的 外推公式为,注意(14)式中第二项的分母为 而不 是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项 为关于 的幂次而不是关于h的幂次.7.3.2 Romberg求积方法Romberg求积方法是以复化梯形公式为基 础,应用Richardson外推法导出的数值求积方 法.回忆7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区,间a,b分为1,2,4等分的结果列入表7-2.表7-2k1 12 23 4,我们还可以进一步推
4、导出它们的递推关系.由可以化为类似地,有一般地,把区间a,b逐次分半k-1次 , 区间长度(步长)为 ,其中 .为,叙述方便起见,记 ,那么,(15) 或(16)从而有(17) 其中 .按外推法的思想,可以把(15)看成是关于,误差为 的一个近似公式.因此,复化梯形公 式的误差公式为(18) 为消去 项,再取 代替(18)式中的 , 得(19),用4乘(19)式再减去(18)式,得(20)记(21) 这是误差为 的外推公式.重复上述过程,将区间逐次分半k-1次后,可,以得到误差为 的外推公式(22) 当j=2时(23) 当K=2时,有这是n=2的复化Simpson公式的 .不难验证,对 一般的
5、k, ,这里, 是 的复化,Simpson公式.类似地,当j=3时,(24) 在实际计算中,经常直接应用(23)式和形式与(24) 式相类似的公式进行计算.所谓Romberg求积方法,就是由上述两部分 组成.第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复 化梯形求积公式(16)计算 ,第二部 分,用外推公式(22)计算,用Romberg求积方法计算 的计算值的 过程如下:首先,令k=1,区间长度 ,用梯形 求积公式计算 (表7-3中第一行);区间分半,令 K=2,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按 外推公式(22)式计算 (表7-3中第二行);再区 间分半,令k=3,区间长度 ,先按(16)
6、式计算 ,再按(22)式计算 (表7-3中第 三行)等等,逐次分半区间k次后的计算结果如表 7-3所示(见下页).,表7-3: . 表7-3中 的计算按行(k的序号)进行,每行第 1个元素 用复化梯形公式(16)计算,其他元 素 均按(22)式用 与 的组 合得到.在实际应用中,往往根据实际问题对计,算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数. 常用不等式(25) 作为达到精确度要求的判断准则,这里, 是给 定的一个小的正数. 例2 用Romberg求积方法计算(26) 的近似值,给定 解 首先令区间长度 ,用梯形求积公式计算,区间0,1分半,令区间长度 ,按16式 计算再按(23)式计算这时未达
7、到精确度要求.为此,再将区间分半,令区间长度 按(16)式计算,按j=2和j=3的外推公式(23)和(24),分别用 和 的组合得到 以及用 和 的组合 得到 ,即以及这时,已满足不等式(25)的要求. 作为积分(26)式 的近似,其误差为 .,下面给出用Romberg求积方法计算 近似值的计算步骤,用二维数组T的元素 存 放表7-3中的 . 输入:积分区间端点 令 ,计算 令 令 ,计算for j=2,3,k5.1 计算end for (j),if ,thengoto 8end if 7 令k=k+1, ,goto 4 8 输出 9 end,7.5 Gauss求积公式,7.5.1 引言 求积
8、公式(1) 当求积系数 、求积节点 都可以 自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少 次?下面的引理可以回答上述问题.,引理1 当求积系数 和求积节点 都可以自由选取时,n点的求积公式(1)的代数精 确度最高可以达到2n-1次.证 假设求积公式(1)具有m次代数精确度, 即对任意的m次代数多项式 求积公式(1)的精确成立.于是成立等式即若记 (2),则(2)式成为(3) 由于系数 的任意性,故使(3)式 成为恒等式的充要条件是(4)(4)式的待定系数有2n个,所以确定待定系数的,独立条件至多给出2n个,从而可知m至多为 2n-1. 定义1 n点的求积公式(1)具有2n-1次代数 精确度(或称为
9、具有最高的代数精确度)时,称 为Gauss型求积公式.Gauss型求积公式的求积节点 ,称为 Gauss点,它们可以通过求区间a,b上带权 的n次正交多项式 的n个根获得.所以先介 绍正交多项式及其性质.然后讨论Gauss型求 积公式的构造,等等.,7.5.2 正交多项式及其性质定义2 若(1) ,则称函数f(x)和g(x)在区间 a,b上正交.(2) ,则称函数f(x)和g(x)在区 间a,b上带权 正交.(3)代数多项式序列 (下标k为多项式 的次数, 表示k次多项式),在区间a,b上满足当m n当m=n 则称多项式序列 为区间a,b上带权,的正交多项式序列.定义3 若n次记多项式 中含
10、项的系 数为 ,则称 为 的首次系数; 时,称为首次系数为1的n次多项式. 正交多项式有如下性质:性质1 若 是区间a,b上带权 的正 交多项式序列,则它们线行无关.证 对任意的 ,若 ,在式子 两边同乘 ,并从a到b积分,由的正交性定义1中的(3)可知必有,.故正交多项式序列 线性无关. 由性质1可知,若 为a,b上带权 的 正交多项式序列,则序列 可以作为空间的一组基函数,即 中的任一元素 可由它们线性表出:其中 为组合系数.性质2 若 为a,b上带权 的正交多 项式序列,且 ,则,(1) (2)事实上,由性质1, .由 的正 交性定义容易证得(1).证(2)也是类似的.为方便起见,记 下
11、面,不加证明地给出正交多项式如下的性质:性质3 a,b上带权函数 的正交多项式序 列 相邻三项的递推关系为其中, ,为 的首项系数,即为性质4 a,b上带权函数 的正交多项式 序列 中任意相邻两个正交多项式 和的根相间.若记 , 的根分别为 , 则所谓 与 的根相同,即是指这两个正 交多项式的根有如下的关系.,性质5 (1) 区间a,b上带权函数 的正交 多项式序列 与 对应元素之间 只相差一个比例常数.(2)区间a,b上带权函数 首项系数为1的 正交多项式序列 唯一.常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多 项式、Hermite多项式、Chebyshev多项式以 及Jacobi多项式,
12、 Chebyshev多项式在5.2节已,详细讨论,这里主要介绍Legendre多项式 一、 Legendre多项式 隐式表达式显式表达式,当n为偶数时,当n为奇数时. Legendre多项式的主要性质有(1)n次Legendre多项式 的首项系数当x=1,当x=-1.(3)正交性为: 为区间-1,1上带权 函数 的正交多项式序列,且有,当m n当m=n(4) Legendre多项式相邻三项的递推关系 为二、 Legendre多项式 将隐式表达式,将隐式表达式中n阶导数用乘积导数的 Leibniz公式可得显式表达式Legendre多项式的主要性质有 (1)n次Legendre多项式 的首项系数
13、(2)正交性为: 为区间 上带权函 数 的正交多项式序列,且有,权函数 的正交多项式序列,且有(3) Hermite多项式相邻三项的递推关系为四、 Jacobi多项式Jacobi多项式是在区间-1,1上带权函数的正交多项式,其中,(3) Legendre多项式相邻三项的递推关系为三、 Hermite多项式表达式Hermite多项式的主要性质有 (1)n次Hermite多项式 的首项系数 (2)正交性为: 为区间 上带,有的书籍文献把Jacobi多项式记为 即n次Jacobi多项式表示为其中 或 .两种系数 推出两种Jacobi多项式.详细的情形请参阅文 献27.,7.5.3 Gauss型求积公
14、式由7.5.1中的引理1和定义1可知n点的求积 公式(1)若具有最高的代数精确度,或具有2n-1 次的代数精确度成为Gauss型求积公式.到底 求积公式(1)的求积节点 和求积系数 如何选取,才能使之成为Gauss型求积公式?定理7.5.1 求积公式(1)中的n个求积节点,取在区间a,b上带权函数 的n次正交 多项式 的n个根成为Gauss型求积公式.证 设 .a,b上带权函数 的,n次正交多项式 的n个根记为 ,记 的首项系数为 .由定义2有因此,(5) 其中 .在(5)式两边同乘 ,并从 a到b积分.由正交多项式的性质可知,含 项的积分为零,所以(6) 注意到当 作为插值节点时建立的n点插
15、值,求积公式至少具有n-1次代数精确度,而 , 所以(7) 又由(5)式可知 , 即 (8) 综合(6),(7),(8)式可知,当 时,求积 公式(1)成立.,用n点Gauss求积公式(9) 之值近似积分值 有下面的误差估计.定理7.5.2 若 ,则Gauss型求 积公式(1)的误差估计 为其中证明略.在稍后讨论Gauss积分值数列的收敛性,等问题时,需要用到Gauss型求积公式的求积 系数 大于零的结论.这里用下面的定理 给出.定理7.5.3 Gauss型求积公式的求积系数大于零.证 令 ,这里 为区间a,b上带权函数 的n次正交多项式 的n个 根.显然,由于 ,所以对 求积公式(1)精确成
16、 立,即因为所以在7.2节,我们讨论了复化梯形求积公式和 复化Simpson求积公式的收敛性.那么Gauss,型求积公式被积函数 应当满足什么条件才 收敛呢? Gauss型求积公式的收敛性问题由下 面的定理给出.定理7.5.4 若 ,则Gauss型求 积公式所求积分值序列 收敛 于积分值 ,即证 因为 ,由Weierstrass定理 对任意的 ,存在 ,使得,(10) 对任意的 成立.由于公式(1)为Gauss型求积公式时具有 2n-1次代数精确度,取 N(m+1)/2,故当 nN时, 即m2N-12n-1时,有(11) 成立,于是由(11)式可知 .而由(10)式,有,和 ,从而因为 ,记,
17、故即,7.5.4 Gauss型求积公式的构造与应用定理7.5.1实际上给出了构造Gauss型求积 公式的一种方法.这种方法,当给定了积分区间 a,b和权函数 以后,构造n个点的Gauss型求 积公式,先求出区间a,b上带权函数 的n次 正交多项式 ,然后用多项式求根的方法求出的n个根 ,从而获得了求积节点为了求得求积系数 ,将n个求积节点代入方程组(4)中的前n个方程并加以求解, 即解线性代数方程组,求得求积系数 ,完成Gauss型求积公式的 构造.表7-5为Gauss-Legendre求积公式的求积 系数 和求积节点 的一个表.而表7-6和表 7-7则分别是Gauss-Legendre和Ga
18、uss-Hermit -te求积公式的求积系数 和求积节点 的一,个表.有些数值分析的书籍还给出了Gauss- Chebyshev求积公式的求积节点与求积系数. 表见P366.需要指出的是,不同求积公式的求积系数与 求积节点,积分区间和权函数是不同的.Gauss- Lagendre求积公式的积分区间为-1,1,权函数.而Gauss-Legendre求积公式的积分 区间为 ,权函数 .Gauss-Hermitte 求积公式的积分区间为 ,权函数 Gauss-Chebyshev求积公式的积分区间为-1,1,权函数这里需要指出的另一点是Gauss- Chebyshev求积公式的求积系数是相同的.例
19、如,n点的Gauss-Chebyshev求积公式,它的n个 求积系数 都是 ,即 .而n个 求积节点则为正是因为Gauss-Chebyshev求积公式的 求积系数相同,所以在实际计算时,乘法的次数 只需一次,节省了n-1次的乘法运算.,例1 求 使求积公式具有三次代数精确度.问题是构造区间0,1上带权函数 的两点Gauss型求积公式.解 方法1 容易计算出当 时 的积分值分别为 ,所求 公式具有3次代数精确度.故可得 为未知数的方程组为,(1)(2)(3)(4) 又因为 为Gauss型求积公式的求积节点, 所以它们是区间0,1上带权函数 且 首项系数为1的二次正交多项式 的两个根. 不妨记 ,
20、为此又因为 必须满足方程(2)(3)(4),所以,由可得关于p,q的方程组为解此方程组得,将所求p,q代入 ,求得其根为再将所求 代入方程(1)(2),联立解得为此,公式为所求具有3次代数精确度的求积公式.,方法2 求出区间0,1上带权函数 的二次正交多项式 ,并求出其根 ,获 得求积节点.再求方程组(12)前两个方程组成 的方程组获得求积系数 .由于 和 都是的线性无关组,所以考虑由 求得 所需的正交多项式.这种方法可以称作将它们 正交化.记,令 所以又令 这样即如此作出的 与 正交,也与 正交.由于 所以这样,同理可令并且容易验证, 与 正交.容易求得所以,第二种方法与第一种方法求出的 是
21、一样 的,后面的求解过程相同.这里略去.方法2是一种将一组线性无关函数组 正交化而得到正交多项式 的方法.高于2次 的正交多项式用这样的方法同样可以得到.这 样求正交多项式在实际应用时是方便的.这里需要附带说明的是,Gauss-Legendre ,Gauss-Chebyshev求积公式作数值求积精度 不够时,可以采取将积分区间a,b若干等分后, 将每一个子区间映射到区间-1,1上再用相同,节点数的求积公式进行数值求积的计算,通常 会得到精度较好的计算结果.Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收 敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现 等优点,并且在积分区间a,b有限时便于推广 到高维数值积分.不足之处是公式的构造比较 困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的 根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的 精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无 用.所以在具体应用Gauss求积公式计算数值 积分时,n取得都较小.,