1、2016-2017 学年内蒙古通辽市开鲁县蒙古族中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（题型注释）每小题 5 分，共计 60 分1 是第四象限角，cos= ，则 sin=（ ）A B C D2已知| |=1，| |=2，且 与 夹角为 60，则 等于（ ）A1 B3 C2 D43已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a4=18a5，则 S8=（ ）A18 B36 C54 D724下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x= 对称的是（ ）Ay=sin（2x+ ） By=sin（2x ） Cy=sin （ ） Dy=sin（ + ）5若 = ，则 tan2=（ ）A B C D
2、6数列a n的前 n 项和 Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（ ）Aa n=2n1 Ba n=2n+1 Ca n=4n1 Da n=4n+17若 ， 为锐角，且满足 cos= ，cos （ +）= ，则 sin 的值为（ ）A B C D8在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 a=2bcosC，则ABC 的形状是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D锐角三角形9已知向量 =（1，2） ， =（1，0） ， =（3，4） 若 为实数， （ + ） ，则 =（ ）A B C1 D210在ABC 中，内角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 c2=（
3、ab） 2+6，C= ，则ABC 的面积（ ）A3 B C D311如图，空间四边形 OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在 OA 上，且= ，点 N 为 BC 中点，则 等于（ ）A B C D12函数 f（x）=Asin （ x+） （A0， 0，0）的图象如图所示，则 f（ ）的值为（ ）A B0 C1 D二、填空题（每空 5 分，共计 20 分 ）13已知 tan=2，且 ，则 cos+sin= 14若非零向量 ， 满足| |=| |， （2 + ） =0，则 与 的夹角为 15已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=9，且 S1=1，则a n的公差是 ，S n的
4、最小值为 16在ABC 中，已知 sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知a n是一个等差数列，且 a2=1，a 5=5（）求a n的通项 an；（）求a n前 n 项和 Sn 的最大值18已知顶点在单位圆上的ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，且b2+c2=a2+bc（1）求角 A 的大小；（2）若 b2+c2=4，求ABC 的面积19已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为 ，求 b，
5、c20已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且 ，求 的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与 2 垂直，求 与 的夹角 21设函数 f（x）=2cos 2x+ sin2x1（1）求 f（x）的最大值及此时的 x 值（2）求 f（x）的单调减区间（3）若 x ， 时，求 f（x）的值域22在ABC 中，角 A，B ，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A3cos（B+C ）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5 ，求 sinBsinC 的值2016-2017 学年内蒙古通辽市开鲁县蒙古族中学高二（上）期中数学试卷（理
6、科）参考答案与试题解析一、选择题（题型注释）每小题 5 分，共计 60 分1 是第四象限角，cos= ，则 sin=（ ）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】根据同角的三角函数之间的关系 sin2+cos2=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号【解答】解： 是第四象限角，sin= ，故选 B2已知| |=1，| |=2，且 与 夹角为 60，则 等于（ ）A1 B3 C2 D4【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】将所求展开，利用已知得到数量积，可求【解答】解：因为| |=1，| |=2，且 与 夹角为 60，则= =412cos60=3；故选 B3已知等差数列a
7、 n的前 n 项和为 Sn，若 a4=18a5，则 S8=（ ）A18 B36 C54 D72【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得 a4+a5=18，由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18，S 8= = =72故选：D4下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x= 对称的是（ ）Ay=sin（2x+ ） By=sin（2x ） Cy=sin （ ） Dy=sin（ + ）【考点】正弦函数的图象【分析】将 x= 代入各个关系式，看看能否取到最值即可验证图象关于直线 x= 对称，分别求出最小
8、正周期验证即可【解答】解：A，对于函数 y=cos（2x+ ） ，令 x= ，求得 y= ，不是函数的最值，故函数 y 的图象不关于直线 x= 对称，故排除 AB，对于函数 y=sin（2x ） ，令 x= ，求得 y=1，是函数的最值，故图象关于直线 x=对称；且有 T= =，故满足条件；C，由 T= =4 可知，函数的最小正周期不为 ，故排除 CD，由 T= =4 可知，函数的最小正周期不为 ，故排除 D故选：B5若 = ，则 tan2=（ ）A B C D【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以 cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到
9、关于 tan 的方程，求出方程的解得到 tan 的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 tan 的值代入即可求出值【解答】解： = = ，tan=3，则 tan2= = = 故选 B6数列a n的前 n 项和 Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（ ）Aa n=2n1 Ba n=2n+1 Ca n=4n1 Da n=4n+1【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【分析】首先根据 Sn=2n2+n 求出 a1 的值，然后利用 an=SnSn1 求出当 n2 时 an 的表达式，然后验证 a1 的值是否适合，最后写出 an 的通项公式即可【解答】解：S n=2n2+n
10、，a 1=212+1=3，当 n2 时，a n=SnSn1=2n2+n2（n1） 2+（n 1）=4n 1，把 n=1 代入上式可得 a1=3，即也符合，故通项公式为：a n=4n1，故选 C7若 ， 为锐角，且满足 cos= ，cos （+）= ，则 sin 的值为（ ）A B C D【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin、sin（+）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin=sin（ +） 的值【解答】解：， 为锐角，且满足 cos= ，cos （+）= ，sin= ，sin（+）= ，sin =sin（ +）=sin （ +）cos cos（
11、+）sin = = ，故选：B8在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 a=2bcosC，则ABC 的形状是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D锐角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】在ABC 中，由 a=2bcosC 利用余弦定理可得 a=2b ，化简可得 b2=c2，从而得出结论【解答】解：在ABC 中，a=2bcosC，由余弦定理可得 a=2b ，化简可得 b2=c2，b=c，故三角形为等腰三角形，故选 A9已知向量 =（1，2） ， =（1，0） ， =（3，4） 若 为实数， （ + ） ，则 =（ ）A B C1 D2【考点】平面向量共线（平行）
12、的坐标表示【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的 + 向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于 的方程，解方程即可【解答】解：向量 =（1， 2） ， =（1，0） ， =（3，4） =（1+，2）（ + ） ，4（1+）6=0，故选 B10在ABC 中，内角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 c2=（ab） 2+6，C= ，则ABC 的面积（ ）A3 B C D3【考点】余弦定理【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：c 2=（a b） 2+6，c 2=a22ab+b2+6，即 a2+b2c2=2ab6，C= ，
13、cos = = = ，解得 ab=6，则三角形的面积 S= absinC= = ，故选：C11如图，空间四边形 OABC 中， = ， = ， = ，点 M 在 OA 上，且= ，点 N 为 BC 中点，则 等于（ ）A B C D【考点】向量在几何中的应用【分析】 = = =【解答】解： = = =；又 ， ， ， 故选 B12函数 f（x）=Asin （ x+） （A0， 0，0）的图象如图所示，则 f（ ）的值为（ ）A B0 C1 D【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】利用 y=Asin（x+）的部分图象可确定振幅 A 及周期 T，继而可求得 =2，利用曲线经
14、过（ ，2） ，可求得 ，从而可得函数解析式，继而可求 f（ ）的值【解答】解：由图知，A=2， T= = ，T= =，解得 =2，又 2+=2k+ （kZ） ，=2k + （kZ） ，0，= ，f（x）=2sin（2x+ ） ，f（ ）=2sin = 故选：D二、填空题（每空 5 分，共计 20 分 ）13已知 tan=2，且 ，则 cos+sin= 【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由 tan 的值及 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 与 cos 的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：tan=2，且 ，cos= = ，sin = = ，cos+sin= + =
15、故答案为：14若非零向量 ， 满足| |=| |， （2 + ） =0，则 与 的夹角为 120 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的数量积的值，整理出两个向量之间的关系，得到两个向量的数量积 2 倍等于向量的模长的平方，写出求夹角的公式，得到结果【解答】解：设 与 的夹角为 ，非零向量 ， 满足| |=| |，（2 + ） =2 +| |2=2| | |cos+| |2=0，cos=0180=120，故答案为：12015已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=9，且 S1=1，则a n的公差是 1 ，S n的最小值为 45 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】由已
16、知条件求出 S3=24，由此能求出公差 d=1从而求出 Sn= ，由此利用配方法能求出 的最小值【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=9，且 S1=1，S 3=3 +3=3（9）+3= 24，3（9 ）+ d=24，解得 d=1S n=9n+ = = （n ） 2 ，当 n=9 或 n=10 时，取最小值 S9=S10= =45故答案为：1，4516在ABC 中，已知 sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于 【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求 cosC 的值，结合 C 的范围即可得解【
17、解答】解：sinA：sinB：sinC=3：5：7，由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，C 为最大角，a= ，b= ，由余弦定理可得：cosC= = = ，C（0，） ，C= 故答案为： 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知a n是一个等差数列，且 a2=1，a 5=5（）求a n的通项 an；（）求a n前 n 项和 Sn 的最大值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【分析】 （1）用两个基本量 a1，d 表示 a2，a 5，再求出 a1，d代入通项公式，即得（2）将 Sn 的表达式写出，是关于 n 的二次函数，再由二次函数知识可解决之【解答】解：（）设
18、a n的公差为 d，由已知条件， ，解出 a1=3，d= 2，所以 an=a1+（n 1）d=2n+5（） =4（n2） 2所以 n=2 时，S n 取到最大值 418已知顶点在单位圆上的ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，且b2+c2=a2+bc（1）求角 A 的大小；（2）若 b2+c2=4，求ABC 的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）利用余弦定理以及特殊角的三角函数值，即可求出角 A 的值；（2）由正弦定理求出 a 的值，再根据题意求出 bc 的值，从而求出三角形的面积【解答】解：（1）ABC 中，b 2+c2=a2+bc，b 2+c2a2=bc，co
19、sA= = = ；又0A，A= ； （2） =2R，R 为ABC 外接圆的半径，a=2RsinA=21 = ；又b 2+c2=a2+bc 且 b2+c2=4，4= +bc，解得 bc=1； S ABC = = = 19已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为 ，求 b，c【考点】解三角形【分析】 （1）由正弦定理有： sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出 A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出 b、c【解答】解：（1）c= asinCccosA，由正弦定理有：sinAsinC
20、sinCcosAsinC=0，即 sinC（ sinAcosA1）=0，又，sinC0，所以 sinAcosA1=0，即 2sin（A ）=1，所以 A= ；（2）S ABC = bcsinA= ，所以 bc=4，a=2，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA，即 4=b2+c2bc，即有 ，解得 b=c=220已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且 ，求 的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与 2 垂直，求 与 的夹角 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角【分析】 （1）设 ，
21、由| |=2 ，且 ，知 ，由此能求出 的坐标（2）由 ，知 ，整理得 ，故，由此能求出 与 的夹角 【解答】解：（1）设 ，| |=2 ，且 ， ，解得 或 ，故 或 （2） ， ，即 ， ，整理得 ， ，又0，=21设函数 f（x）=2cos 2x+ sin2x1（1）求 f（x）的最大值及此时的 x 值（2）求 f（x）的单调减区间（3）若 x ， 时，求 f（x）的值域【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性【分析】f（x）=2cos 2x+ sin2x1=cos2x+ =（1）当 2x+ ，即 时，f（x）取得最大值；（2）由 ，得 ，即可求出 f（x）的单调减区间；（3）由 ，得
22、，即可求出 f（x）的值域【解答】解：f（x）=2cos 2x+ sin2x1=cos2x+ = ，（1）当 2x+ ，即 时，f（x） max=2；（2）由 ，得 ，f（x）的单调减区间为 ，k Z；（3） ，由 ，得 ， ，1 f （x）2则 f（x）的值域为1，222在ABC 中，角 A，B ，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A3cos（B+C ）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5 ，b=5 ，求 sinBsinC 的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式 即可得到 bc=20又 b=5，解得 c=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出 a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由 cos2A3cos（B+C）=1，得 2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA 1） （cosA+2）=0，解得 （舍去） 因为 0A，所以 （）由 S= = = ，得到 bc=20又 b=5，解得 c=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故 又由正弦定理得 2017 年 1 月 2 日
