1、经济与应用数学概率论与数理统计 马统一,08级电信、工管 (六) 概率论与数理统计复习(第1-3章),第一章随机事件与概率,一、随机事件（一）基本概念1、随机现象： 在一定条件下结果不确定的现象。2、随机试验：满足三个条件的试验。（ P2）3、样本空间、样本点（P3）4、随机事件（1）基本事件（即样本点 ）（2）复合事件：含两个以上样本点的随机事件（二）事件的关系及运算1、五种基本关系（1）包含 （2）相等（3）互斥（不相容） 即满足：AB= （可推广）（4）对立，满足： AB= AB= 对立事件必为互斥事件，反之不然。,（5）独立，若P（AB）=P（A）P（B）则称A与B独立。独立与不相容是
2、两个不同的概念，不能混淆。独立的性质：第23页定理1、定理2、32、三种运算关系：并，交，差 要求：（1）对一个具体试验要弄清试验方式，什么是一次 试验？试验的要求是什么？一次试验结果指什么？会写出试验的样本空间；（2）会表示事件；（3）会正确运用事件的关系并进行运算。 例1：随机投掷两颗骰子 ，观察骰子 的点数。（1）写出试验的样本空间；（2）写出事件A=“点数之和为奇数”二、事件的概率（一）概率的定义（3种定义）1、统计的定义,2、古典定义（ P7，定义1.2.1, 含几何概率，定义1.2.2， P10）3、公理化定义（定义1.2.4，P14）（二）概率的性质（ P15）1、0P(A) 1
3、2、P()=1, P()=0 3、若A1, ,An,，两两互斥，则:4、5、单调性若 ，则P(A) P(B) ,且P(B-A)=P(B)-P(A)6、加法定理对任意两事件A,B,有：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)（可 推广）,7、乘法公式P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2) P(AnA1A2 An-1)特别：若A1, ,An独立，则P(A1An)=P(A1)P(A2) P(An) 三、概率的计算（一）古典概型一般计算步骤：1、判断试验为古典试验，即满足：（1）试验结果为有限个；（2）每个可能结果的发生是等可能的2、分析样本空间的构成3、考察所说事件A的构
4、成,4、由公式 进行计算（二）几何概型所求概率为：P（A）=A所包含的区域度量 / 样本空间的度量（三）条件概率及其全概率公式1、条件概率：若P(B) 0，则2、全概率公式如果B1,Bn为一完备事件组，即满足：（1） B1,Bn两两不相容i=1, ,n；,（2） 则对任意事件A，有：(其中P(Bi) 0)特别，事件A与A的对立事件 构成完备事件组。对任意 事件B，有：3、贝叶斯公式（逆概率公式）如果B1,Bn为一完备事件组， P(Bi) 0 ，i=1, 2，,n 则对任一不为零的事件A，有：,（四）独立试验序列概型1、事件的独立性：若P(AB)=P(A)P(B)（或P(AB)=P(A)），则称
5、事件A 与B独立。2、独立试验序列概型；设E1、E2是互不影响的两个试 验，而A1、A2分别是E1和E2的一个事件，则A1与A2两是相互 独立的。称E1、E2是两个独立试验序列。（可推广）3、n重贝努里概型（1）贝努里试验：如果一个试验满足：只有两个可能结果，A=”成功“，B=”失败“P(A)=p,P(B)=q p=q=1 (0p1), 则称此试验为一个贝努里试验,（2）n重贝努里试验（贝努里概型）将一个贝努里试验独立地、重复做n次的试验模型，称 贝努里概型，亦称n重贝努里试验。在n重贝努里试验中， 令： BK=“事件A在n次试验中发生K次”,则:K=0,1, ,n上式称二项分布，记为B（n,
6、p）（五）普阿松概型1、普阿松公式：它表示观察对象随时间进程在单位时间内出现次数 的概率。上面公式称普阿松分布，记为P（ ）,2、与二项分布B（n,p）的关系：在n重贝努里试验中，当n较大（ n30），而P较小 时，有下面计算公式：其中 = n P例2：在例1的试验中，求：（1）A=“点数和为奇数的概率”；（2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件，求下列事件的概率：（1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880）（2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）,例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随机地抽取 1只测试，直
7、到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率：（1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105）（2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同”的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个，共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率：（1）A=“两次都取到新球”；（2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”；（3）C=“至少有一次取到新球”。,例7：一盒中装有4只坏晶体管和6只好晶体管，在其中取二次，每次取一只作不放回抽样， 求下列事件的概
8、率：（1）A=“发现第一只好的，第二只也是好的”；（2）B=“两只都是好的”；（3）C=“两只都是坏的”；（4）D=“发现第二只是好的”。 例8：设每人生于一年中任意一个月都是等可能的，求下列事件的概率：（1）A=“12个人的生日在12 个不同月份”（ 0.000054）（2）B=“6个人的生日恰在两个月中”； （ 0.00137）（3）C=“4个人中至少有2个人的生日在同一个月”。（ 0.4270）,例9：把9个球放进4个口袋，设每个球落在任一口袋内的机会都相等，试求下列事件的概率：（1）A=“无球进入第一个口袋”； （ 0.075）（2）B=“恰有一个球进入第一个口袋”； （ 0.225）
9、（3）C =“至少有两个球进入第一个口袋”。例10：在编号为1，2，n的n张赠券中，采用不放回方式抽签。试求A=“在第k次（1 k n）抽签时抽 到1号签”的概率。 例11：加工某一零件需经两道工序，设第一道、第二道工序的次品率分别为0.02和0.05，如果两道工序互不影 响，求A=“加工出合格品”的概率 例12：某地区一工商银行的贷款范围内有甲、乙两家同类企业，设一年内甲申请贷款的概率为0.15，乙申请贷款的概率为0.2，在甲不向银行申请贷款的条件下，乙向银行申请贷款的概率为0.23，求在乙不向银行申请贷款的条件下，甲向银行申请贷款的概率。（0181875）,例13：设10件产品中有4件不合
10、格品，从中任取两件，已知在所取的两件产品中至少有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（1/5） 例14：制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，每道工序的废品率分别为0.1，0.2，0.3；第二种工艺有二道工序，每道工序的废品率都是0.3 。如果用第一种工艺，在合格零件中，一极品率为0.9；而用第二种工艺，合格品中的一极品率只有0.8。试问哪一种工艺得到一级品的概率最大？ 例15：有两个盒子，第一盒装有2个红球，1个黑球，第二 盒装有2个红球，2个黑球，今从这两个盒子中各任取一 球放在一起，再从中任取一球，问：（1）A=“此球是红球”的概率（2）B=“若发现此球是红球，则该球
11、是从第一盒中取得”的概率。,例16：有甲、乙、丙三人向一飞机射击，三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。若飞机被一人击中而坠毁的概率为0.2；若两人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁。求A=“飞机必坠毁”的概率。 例17：电灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯 泡在使用1000h后最多只有一个灯泡坏的概率（0104） 例18:设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比 为0.6，现为某事可行与否个别征求顾问意见，并按多 数人的意见作出决策，求A=“作出正确决策”的概率。 例19：设袋中有a只黑球、b只白球，采用放回抽样方式摸球，每次摸1球，求下列事
12、件的概率：A=“第k次才摸到黑球”；B=“直到第n次才摸到k只黑球”。,第二三章 及其概率分布,一、 的概念1、定义对于样本空间 上的每一可能结果 ，如果都唯一 对应着一个实数值X( )，则称X( )为一维 ；如 果对每一个 ，都同时对应着 个实数值 则称 为 维随机向量，简称 。2、 的特征：（1）随机性：的取值由随机试验的结果决定，在试验结果确定 之前，我们不知道它（它们）取何值，但预先可知道所有的,取值。（2）规律性：由于 的取值依赖于随机试验结果，而随机试验 结果的出现是有概率规律的，因而 的取值也有一定概 率规律。 二、 的分布函数：1、分布函数的概念：一维：设X是一个随机变量，对任
13、意的实数R,称函数（1） 是X的分布函数。维：设 为 维 ，对称 元函数,（1） 是 的分布函数。注： 取值的规律称 的分布，分布函数是描 述 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质：一维：1、有界性：2、单调性；3、右连续性；4、二维：1、2、单调性（对 分别单调 ）,3、右连续性（对 分别由连续）4、5、对任意三、离散型 及其概率函数：（一）一维离散型 ：1、分布列：（1）分布列概念：设X可能取值 若有 （2） 称（2）为X的分布列（或分布律、概率分布、概率函数） 记作：,2、分布列性质：（1） （3）（2）注：公式（3）对确定X的概率分布中的未知参数很 有用。（二）二维离散型1、
14、联合分布列概念：设（X,Y)可能的取值为：,若有（2） 则称（2）是（X,Y)的联合分布列。注：概率 表示2、联合分布列性质：（1）（2） （3）3、边际概率分布：，（4）,注： 和 可通过列表形式的联合分布律通过对横 行概率值和列行概率值相加得到。4、条件分布列：； （5）四、连续型 以及概率分布（一）一维连续型 以及概率密度函数1、一维连续型 及密度函数概念：说X是一个 ，若存在一个非负可积函数,使对任意的 ，成立（6）则称X是连续型 ， 称X的概率密度函数，记作2、概率密度函数性质：（1）（2） （7）（3）当 是 的连续点时，,（二）二维连续型 及其概率分布1、二维连续型 及其联合密度
15、函数概念：设 为一 ，若存在非负二元可积函数 使对任意的 ，成立：（6） 则称 是二维连续型 ，其中 是 的联合概率密度函数，记为：2、联合密度函数性质：（1） 0；（2）,（3）当 是 的连续点时，（7）3、边际分布密度函数：（8）4、条件密度函数（9）,五、 的独立性1、 独立性概念：如果对于任何 元实数组 ， 维的联合分布函数 和其关于 个 分量的边际分布函数都存在，则：（10） 则称 个 是相互独立的。2、 独立的充要条件：（1）离散型：两个连续型 X和Y独立 的联合分布列 等于其边际分布列之积，即：,(2)连续型:两个连续型 X和Y独立 的联合密度 函数等于其边际密度函数之和，即：3
16、、常用结论：（1）若X和Y独立 ，则它们的函数 和 也 独立； （2） 个相互独立的正态分布的 的线性函数，仍服 从正态分布，即：若 相互独立，且 ， 则,六、 的数字特征，数学期望（一）离散型：1、一维：若X的概率函数 ， 满足则称 （11）是X的数学期望（又称均值）。以下结论均假定满足期望成立的条件。2、二维：设 的概率函数为（11）,（二）连续型：1、一维：设X的密度函数为 ，称（12） 为X的数学期望。2、二维：（12）（三）、 函数的数学期望：1、离散型：一维：设X是一维离散型 ，X的函数 的 期望存在，则 （13）,二维：设 是二维离散型 ， 的数学期望存在，则（13）2、连续型：
17、一维：设X的密度函数为 ， 的期望存 在，则（14）二维：设 的联合密度函数为 ， 的期望存在，则（14）,七、 函数的分布（一）一维：1、离散型：设X是离散型 ， 是X的一元函 数则Y也是离散型 ，若X的分布律为：则， 的分布律为：（1）当 互不相等时：（2）当 不是互不相等时，将那些相等的值分别 合并，并把相应的概率 相加。 典型例题：设X的分布律为,求： 的分布律。 解：列表则 的分布律为： 的的分布律为：,2、连续型设X的密度函数为 ， 为X的一元函数，（1）公式法：当 严格单调时，设其反函数为 则其中：（2）分布函数法：先求 再对 求导。,要求： 一、一维 熟练掌握随机变量的概念和分
18、布函数的性质；掌握离散随机变量的分布列的概念及其性质；掌握连续随机变量的概率密度及其性质；掌握常用的分布.具体要求为： 1、会根据问题写出一维离散型随机变量的分布律，会求数学期望和方差及简单的随机变量的函数和条件分布； 2、会利用一维离散型随机变量分布律的性质求相应系数，并计算相关概率； 3、会利用一维连续型随机变量的密度函数、分布函数的性质求相应系数； 4、会根据一维连续型随机变量的密度函数求分布函数，或根据一维连续型随机变量的分布函数求密度函数： 5、会根据一维连续型随机变量的密度函或分布函数求相关概率,6、会求一维连续型随机变量的数学期望和方差，掌握常用分布的期望与方差.会用公式法求随机
19、变量的函数及用分布函数法求简单的随机变量的函数的密度函数； 7、会利用数学期望和方差的性质计算相应的期望和方差。 二、二维.掌握二维随机变量及其分布函数、分布列、概率密度的概念及其相关计算；.熟练掌握随机变量的边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度的概念及其相关计算；理解并掌握随机变量的独立性的条件及性质.具体为：1、会根据问题写出二维离散型随机变量的联合分布律；2、会利用二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数的性质求相应的概率；,3、会利用二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数求边缘分布函数、边缘概率密度； 4、会用公式法求二维随机变量的函数（和的分布）、会运用随机变量函数分布的一般
20、结论（定理351）求求二维随机变量的函数的密度函数； 5、理解并掌握随机变量的独立性的条件及性质.掌握相关系数的性质和常用分布的期望与方差.。 三、中心极限定理 ：会用中心极限定理 计算所给问题的概率，及处理相关问题。 四、掌握样本均值、方差的性质及其计算公式、正态总体下常用统计量的分布、三大抽样分布及其变形。会对所给式子的分布形式进行识别和进行正确的判断。 五、会在分布形式未知和分布形式已知两种情形下计算所给问题的矩估计、最大似然估计量或值。.,例1：已知离散型随机变量X只取-1，0，1， 共四个值相应的概率依次为 计算概率例2：同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，求两颗骰子出现的最大点数的
21、概率分布。 例3：盒内有三个黑球与六个白球，从盒内随机地摸取 一个球，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取得白球为止，记X为抽取次数，试在无放回与有放回两种摸球方式下，求（1）X的分布列；（2） X的分布函 数；（3）,例4：假设某厂一条自动生产线上生产的每台仪器，以概率0.80可以出厂，以概率0.20需进一步调试，经调试后，以概率0.75可以出厂，以概率0.25定为不合格品而 不能出厂。现该厂新生产了十台仪器（假设各台仪器的 生产过程相互独立），计算：(1) 十台仪器全部能出厂的概率;（1）十台中恰有两台不能出厂的概率；（2）十台中最多有一台不能出厂的概率；（3）十台中能够出厂的仪器期
22、望值。 例5：在区间（0，1）中随机地取两数，求下列事件的概率：（1）A=“两数之差的绝对值小于 ” ；（2）B=“两数之和小于0.8”；（3）C=“两数之积小于 1/9” ；,例6：随机变量X的密度函数为： 求：（1）常数C；（2）X的分布函数；（3）X落在区间（- 3/2 ，1/2 ）内的概率。 例7： 设X是连续型随机变量，其分布函数定义如下：试确定常数 的值。,例8：学生完成一道作业的时间X是一 个随机变量 ，单位为小时，它的密度函数为： （1）确定常数c ；（2）写出X的分布函数；（3）在20分钟内完成一道作业的概率。 例9：设连续型随机变量X的分布函数为：求：（1）常数A ；（2）
23、写出X的密度函数；（3）求概率P（ ）,例10：设随机变量X的分布 函数为：F(x)=A+Barctanx -x+求：（1）系数A、B；（2） X落在（-1，1）内的概率；（3） X的概率密度 例11：设随机变量X的概率密度为：对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于 或等于1 的次数，求Y2的数学期望。 例12：设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布 ， Y服从区间 上的均匀分布，求,例13：设 随机变量 X在1，2上服从均匀分布，求下列 随机 变量的密度函数：（1） ； （2）例14：设X服从具有自由度 n 的 分布，其密度函数为：求 的密度函数。,例15：设轮船横向摇摆的随机振幅 X
24、 的概率密度为求：（1）系数A；（2）遇到 大于其振幅均值的概率；（3）X的方差,例19：设 ，对X的三次独立重复观察中，事件 出现的次数为随机变量Y，则,例21：设二维 （X,Y)的联合密度函数为试求（1）边际密度函数（2） 及,例22：已知离散型随机变量X的概率函数为下表:试计算：(1) EX； （2）E ； （3）E（ X-1）（4）EX-1；（5）例23：已知连续型随机变量X的分布函数为：,又已知 EX=2，试确定参数a,b,c 的值。 例24：某科考试成绩近似呈正态分布N（70，100），及格人数为100人，试计算： （1）不及格人数； （2）成绩在前20名的人数在考生中所占的比例； （3）第20名考生的成绩。 例25：设随机变量Y服从二项分布B（3，06）令：求 的联合分布律。 例26：盒内放有12个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，3个黑球。第一次随机地摸出两个球，观察后不放回，第二次随机地摸出三个球。记 表示第i,i=1,2,求：（1） 的联合分布 ；（2）在已知 = 时，关于 的条件分布。 例27：,
