1、1高考达标检测（十一）导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点一、选择题1若 ( sin x acos x)dx2，则实数 a 等于( )A1 B1C2 D2解析：选 A 由题意知(cos x asin x)Error!1a2，a1.2(2017衡水调研)曲线 y1 在点(1，1)处的切线方程为( )2x 2A y2 x1 B y2 x1C y2 x3 D y2 x2解析：选 A y1 ，2x 2 xx 2y ，y x1 2，x 2 x x 2 2 2 x 2 2 |曲线在点(1，1)处的切线斜率为 2，所求切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.3(2017济南一模)已知曲线 f
2、(x) ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( )A e B eC. D1e 1e解析：选 C 法一：f(x) ln x，x(0，)，f(x) .1x设切点 P(x0， ln x0)，则切线的斜率为 kf(x 0) k OP .1x0 ln x0x0 ln x01，x 0 e，k .1x0 1e法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出 y ln x 及曲线y ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选 C.24已知 f(x) ln x，g(x) x2mx (m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都12 72相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)
3、，则 m 的值为( )A1 B3C4 D2解析：选 D f(x) ，1x直线 l 的斜率为 kf(1)1.又 f(1)0，直线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x 0，y 0)，则有 x0m1，y 0x 01，又因为 y0 x mx 0 (m0)，1220 72解得 m2，故选 D.5(2017南昌二中模拟)设点 P 是曲线 yx 3 x 上的任意一点，P 点处切线倾323斜角 的取值范围为( )A. B.0， 2) 56， ) 23， )C. B.0， 2) 23， ) ( 2， 56解析：选 C 因为 y3x 2 ，故切线斜率 k ，所以切线倾斜
4、角 的3 3 3取值范围是 .0， 2) 23， )6已知曲线 y ，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为( )1ex 1Ax4y20 Bx4y20C4x2y10 D4x2y10解析：选 A y ，因为 ex0，所以 ex ex 1 2 1ex 1ex 2ex 2 2(当且仅当 ex ，即 x0 时取等号)，则 ex 24，故1ex ex1ex 1ex 1exy 当(x0 时取等号)当 x0 时，曲线的切线斜率取得最大值，此时 1ex 1ex 2 14切点的坐标为 ，切线的方程为 y (x0)，即 x4y20.故选 A.(0，12) 12 143二、填空题7(2017山西模拟)已知函数 f
5、(x)Error!则 2f(x) dx_.2解析：f(x)Error! 22 Error! 6.14 (12x2 2x)答案： 68曲线 y log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_解析：y ，k ，1xln 2 1ln 2切线方程为 y (x1)，1ln 2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln 2 12ln 2 12答案： log2e129(2016东营一模)函数 f(x)x ln x 在点 P(x0，f(x 0)处的切线与直线 xy0 垂直，则切点 P(x0，f(x 0)的坐标为_解析：f(x)x ln x，f(x) ln x1，由题意得 f(x 0)(1
6、)1，即 f(x 0)1 ln x011 ln x00 x01，f(x 0)1 ln 10，P(1,0)答案：(1,0)三、解答题10已知函数 f(x) x32x 23x(xR)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得 f( x) x24 x3，则 f( x)( x2) 211，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是1，)4(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由题意，及(1)可知，Error!解得1 k0 或 k1，故由1 x24
7、x30 或 x24 x31，得 x(，2 (1,3)2 ，)2 211已知函数 f(x) x34 x25 x4.(1)求曲线 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解：(1) f( x)3 x28 x5， f(2)1，又 f(2)2，曲线在点(2， f(2)处的切线方程为 y2 x2，即 x y40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0， x 4 x 5 x04)，30 20 f( x0)3 x 8 x05，20切线方程为 y(2)(3 x 8 x05)( x2)，20又切线过点 P(x0， x 4 x 5 x04
8、)，30 20 x 4 x 5 x02(3 x 8 x05)( x02)，30 20 20整理得( x02) 2(x01)0，解得 x02 或 1，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 x y40，或 y20.12(2017洛阳模拟)已知函数 f(x)ln x ，曲线 y f(x)在点a x 1x 1处的切线平行于直线 y10 x1.(12， f(12)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设直线 l 为函数 g(x)ln x 的图象上任意一点 A(x0， y0)处的切线，在区间(1，)上是否存在 x0，使得直线 l 与曲线 h(x)e x也相切？若存在，满足条件的 x0有几个？解
9、：(1)函数 f(x)ln x ，a x 1x 1 f( x) ，1x 2a x 1 2曲线 y f(x)在点 处的切线平行于直线 y10 x1，(12， f(12) f 28 a10，(12) a1，5 f( x) .x2 1x x 1 2 x0 且 x1， f( x)0，函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，)(2)存在且唯一，证明如下： g(x)ln x，切线 l 的方程为 yln x0 (x x0)，1x0即 y xln x01， 1x0设直线 l 与曲线 h(x)e x相切于点( x1，e x1)， h( x)e x，e x1 ， x1ln x0，1x0直线 l 的方程也可以写成 y (xln x0)，1x0 1x0即 y x ， 1x0 ln x0x0 1x0由得 ln x01 ，ln x0x0 1x0ln x0 .x0 1x0 1下证：在区间(1，)上 x0存在且唯一由(1)可知，f(x)ln x 在区间(1，)上单调递增，x 1x 1又 f(e) 0， f(e2) 0，2e 1 e2 3e2 1结合零点存在性定理，说明方程 f(x)0 必在区间(e，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 x0.
