1、1151、(1)设函数 ，求 f(x)的单调区间，并证明 f(x)在其单调02xafb()()区间上的单调性解： )(2)(xxf对称轴 4baf(x)在 递减，在 递增,(),2(a证明：设任意 ，且21,x, 21x)(1xff )(1abx)(2ab= 222ab)(12x1x40)(,0212 x，即)(1xff(1f)2xf故 f(x)在 递减,)4ba同理可证 f(x)在 递增,(151、(2)设函数 (2ba0),求 f(x)的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间)(xfba2上的单调性解： )(fxb2)(xaf(x)在 ）递增，在 递增,b,证明：设任意 ，且21,x()b
2、21)(1xff1a)2xa)(211bx，2ba0 ，21b 0(,01ba，即)(xf0f)(xf2f2故 f(x)在 递增 同理可证 f(x)在 递增,(b),(b152、已知 f(x)是定义在(0,)上的增函数，且 ，对 x,y0 都)(yfxyf成立，若 f(3)=1， （1）求 f(9)的值； （2）解不等式 f251f解： 在 中令 得)()(yfxyf3,9yx，故 39)3ff 2)(ff（2）不等式 就是)(x)515(fxf因为 f(x)是定义在(0,)上的增函数所以 且9(0)5(x即 解得 或)5x2612615x对称轴 42baf(x)在 递减，在 递增,(),2(
3、a153、设等比数列 的前 n 项的和是 ,求证： 证明：nanS2nS)(32nS设等比数列 的公比为 qnS32)(3nnS)(321nnaa )1(12nnq 112qan22n )(2n )(2212nn )(11nnS 11S nSqnS2，故n32n 2n)(32n3154、已知 ， ， ，比较 的大小078a.log109b.log9.01cabc,解： 1l7.0. 7.故 9.0c.log1b所以 ca155、甲、乙两船上午八点整同时从某港口出发,甲船以 25 海里/时的速度向正东航行,乙船以 15 海里/时的速度沿南偏西 30 的方向航行 ,问上午几点钟两船的距离是 70
4、海里.解： 两船分别到 A,B，则 AB=70 海里小 时 后设 tOA=25t 海里，OB= 15t 海里作 交 AO 的延长线于点 COABC在直角三角形 BOC 中 ，3090BCB=15t = ，OC=15t =cost2153sint215在直角三角形 ABC 中22ABC（ +25t)2+( )2=702 解得t15t3t答：上午 10 点钟两船的距离是 70 海里.156、若 （n 属于正整数） ，那么 的值是)204(11na na)1(2_(竟赛)解： )(2111nn211)04(nnan)(2 )(211nn nn)204(11O AB 25t 海里15t 海里南 70
5、海里30 C42041)(1n157、已知 在 范围内,求 的范围2x|240xm|解： 0，120|依题意 0 对 0，1恒成立xf4)(2x由于 在 0，1上递减mxf)(2 4)2(x所以 30)1()(min ff158、 , ,若 有 4 个子集，求Pxya(,)|aQxyx(,)|logPQ的范围a解：因 有 4 个子集Q故 有 2 个元素P方程组 有两组不同的解xyalog由图象知当 时符合条件 1a8642-2-4-6-8-10 -5 5 10015159、已知 ，求证：abcR,cabblglg解：因为 x=1 是方程 0 的根2)l(xax)l()l(c故 2)lg(ba4
6、c(lg)0)l(cb，故得原式104 acllllg160、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为每小时 10 公里时燃料费是每小时 6 元。而其他与速度无关的费用是每小时 96 元。问此轮船以何速度航行时，能使行使每公里的费用总和最小？解：设速度为 x 公里/小时，每小时的燃料费燃料费是 Q 元，每公里的费用总和为 元y则 Q= 因当 t=10 时 Q=63k故 6= ， ，Q=10503x=(Q+96) = ( +96) = yx31)3250(x)1650(2x5612493当且仅当 即 时上式取等号x0220答：此轮船以 公里/小时速度航行时，能使行使每公里的费
7、用总和最小6161、设 ， 是公比不相等的两个等比数列， ，nabnncab则证明：数列 不是等比数列。c设 ， 是公比分别为 （ 则 nabqp和 )22213111cpqab()() ba 0)(qp故 不是等比数列，因此数列 不是等比数列。123c, nc162、抗洪抢险中解放军战士穿的救生衣是用泡沫塑料(泡沫塑料的密度约为0.3 乘 10 的三次方千克没立方米)制成的,使用时必须使人的头部露出水面(该部分体积约占人体总体积的十分之一)才有效.如果救生衣的体积为 2.4 乘 10 的负 2 立方米,则使用该救生衣的解放军战士最大质量不得超过多少啊?设人体的平均密度为 1.06 乘 10
8、的三次方克立方米解：解放军战士质量为 m 千克则 x+ +23104.0 3106.9x32104.， 111.3x6.17.232163、f(1)=2002， f(1)+f(2)+f(n) = ，求 f(2002)(nf )(2nf分析：这是一个数列问题f(1)+f(2)+.+f(n)是前 n 项和 ，f(n)就是nSna解：当 n1 时f(1)+f(2)+.+f(n) =)(nf )(2nff(1)+f(2)+.+f(n-1) )1()(2f相减得 f(n) -)(2nf)(12nf7故 )(1(2nf)1(2nf，)(ff(2002) 2002)1(f2)(3f)201(f3542031
9、 203164、 要使函数 在 上 y0 恒成立，求 a 的取值范围。ayx4211(,解： yx设 ，则xt221at,(0t(,在 上 y0 恒成立就是1,(x在 上 y0 恒成立，即02t(,012attat12的最大值t2 4321165、被 2 整除余 1,被 5 整除余 2,被 7 整除余 3,被 9 整除余 4 的正整数组成的集合是什么?（竟寒）解：利用中国剩余定理，找被 5、7、9 整除,被 2 整除余 1 的数，579=315找被 2、7、9 整除，被 5 除余 1 的数，279=1268找被 2、5、9 整除，被 7 除余 1 的数， 259(-1)=-90找被 2、5、7
10、 整除，被 9 除余 1 的数， 2574=280于是所求的集合是 203842579147616305x3+kkZkZx| ,|166、已知 ，其中 ，当23xxxnaf ()()lg aRnN,时，f(x)在（-，1）上有意义，求 a 的取值范围。(难题)2n解： ，对 x （-，1恒成立310xxxn() a nnxxxx)()(2)1(在 x （-，1上递13 故当 x=1 时 取最小值xxx )()()( 2121321nnna在 时恒成立，于是21a12167、在三角形 ABC 中，若 ，则此三角形为直角三角形。若2cb( n2,且 )。问此三角形为何种三角形？(趣题) nncab
11、N解：因为 （ ） ，nc21)(nca1,cba递减xxf)()(则由 得 因 ，2nf则 ffn()(ncb)2(f2)(c故 ， ，三角形 ABC 为锐角三角形1)(cba22cba9168、特征方程在数列方程、差分方程、微分方程中的对照(大学数学)例 1、解齐次数列方程 06512nnaa解：特征方程为 得特征根023,21故方程的通解为 （ c与 是两个任意常数）nnnC321例 2、解齐次差分方程 65yE解：特征方程为 得特征根023,21通解为 （ c与 是两个任意常数）nnCy3)(21例 3、解齐次微分方程 065/yy解：特征方程为 得特征根23,21故方程的通解为 （
12、c与 是两个任意常数）xxeCy321169、被 2 整除余 1,被 5 整除余 2,被 7 整除余 3,被 9 整除余 4 的正整数组成的集合是什么?(竟寒)解（用一个土方法）9 除余 4 最小正整数为 4，4+若干个 9 结果仍被 9 除余 44 被 7 整除余 4，9 被 7 整除余 2，4+9 331 被 9 整除余 4，且被 7 除余 331+若干个 63 结果仍被 9 除余 4，且被 7 除余 331 被 5 整除余 1，63 被 5 整除余 331+63 2 157 被 9 整除余 4，被 7 除余 3，且被 5 除余 2显然 157 被 2 除余 1故所求集合为 ,63057|
13、zkx170、参加数学课 22 人，物理 18 人，化学式 16 人，至少参加一种的有 36 人，则三门都参加至多有多少人? (竟寒)解；设参加两种的分别有 x 人、y 人、z 人,三种都参加的 t 人则由容斥原理得 3622+18+16-x-y-z+t10x+y+z20+txt,yt,zt ，x+y+z3t，20+t3t，t10 三项都参加的至多 10 人171、给出函数 2414xffxxf()()(,()_则则解： )21(f4f9f2269172、 13fx5fxf(),()则解：连立 3(1/x)+5f(x)=2/x+1将 x 换为 1/x，那就相当于括号里的 x 于 2x+1 中的
14、 x 是相等的吗？f(3x-2)的定义域是0,1是，求 f(x) f(3x-2)与 f(x)中的 x 不相等3(1/x)+5f(x) x 相等怎样判断括号里的 x 是否一样呢？+答：（1）函数关系讲的是函数 y 与自变量 x 的关系，yx 2，y=3x+12, s=3t+5 都是函数关系注意在数学中不管什么函数习惯上自变量都是用字母 x 表示，函数都是用字母 y 表示,。能不能说函数 yx 2 与函数 y(x+1) 2 中的 x 是相同的呢？在函数 yx 2 中自变量 x 也可以自由取值，在函数 y(x+1) 2 中自变量 x 也可以自由取值，这两个函数的 x 的取值有各自的自由。（2）f 是
15、一个作用方法，比方说一个数在 f 的作用下，变成了这个数的平方，那么 f(3)=329，f(4)=4 216，f(x)=x 2，f(t)=t 2。在 f(3)=329 中，f 是作用方法，3 叫 f 的作用对象，9 叫做 3 被 f 后的结果。从上面的式子容易知道，同一个 f 对不同的数的作用方法是相同的，作用的结果就不一定相同了。（3）我们可以用作用方法 f 来表示函数关系。如果作用方法 f，是把一个数变成这个数的 2 倍、那么 f（x）2x，函数关系 y2x 就可以写成，y=f（x）,或者写成 f（x）2x（4）关系 f(x)=5x+9 就是函数关系 y=5x+9 关系 f(x)=5x-9
16、 就是函数关系 y=5x-9（5）如果作用方法 f，是把一个数变成这个数的 2 倍、关系 y=f(x) 就是函数关系 y=2x关系 y=f(x+2) 就是函数关系 y=2(x+2)可见函数 y=f(x)与函数 y=f(x+2)是两个不同的函数，在这两个关系中的f，是相同的运算，在函数 y=f(x)中自变量 x 可以自由取值，在函数 y=f(x+2)中自变量 x 也可以自由取值，这两个函数的 x 的取值有各自的自由。但是这两个函数的 x 的取值范围都受到 f 的限制，因此就有一定的联系。（6）如果 f 的作用范围是5，7，则函数 y=f(x)中自变量 x 的范围也只能为5，7，因而函数 y=f(x)的定义域就是5，7。
