1、高中文科数学基础知识一、集合与简易逻辑1元素与集合的关系： 。)(Aa或2集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。如若 ，则 。2,1a01a且3集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的属性，如若 A=椭圆，B=直线，则 ，又若BA， ，则 可)0(1|),(2bayxA0|),(CyxBBA能有 0 个或 1 个或 2 个元素，再如 ，23log|2yxA， , 表示函数的定义)3(log|xyB )(|),(xC域， 表示函数的值域， 表示函数图象上的点集。注意：若 ， ，则 。RA,1| RyB,1| BA4常见数集：R 表示实数集
2、；N 表示自然数集； 表示正整数集；Q 表示有理数)(*N或集；Z 表示整数集。5空集是任何集合的子集，记作： ，空集是任何非空集合的真子集；记作：A ，任何一个集合是它本身的子集，记作： 。A6包含关系： （ 为全集） 。BBUCBA注意：当 或 时，要注意考虑 与 的情况。A7要证明集合 A=B，则须证明： 。A且8集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；12,na 2n12n 12n非空的真子集有 个。9判断命题的真假要以真值表（ 与非 ：真假相对； ：一真必真； ：一pqp或 qp且假必假）为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，当一个命题的真
3、假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。10命题的否定：条件不变，否定结论。否命题：条件与结论均否定。其中常见的否定词有：词语 是 一定 都是 大于 小于 且 任意 至多1 个 唯一词语的否定 不是不一定不都是小于或等于大于或等于 或 存在至少两个 不唯一11.若 ，那么我们说， 是 的充分条件， 是 的必要条件。 （或 的必要条件是 ，qppqqppq的充分条件是 。 ）12.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法： 。（2）利用集合间的包含关系判断，若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。（3）等价法：即利用等价关系判断，对于
4、条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法。二、函数1. 以 为自变量的函数 是集合 A 到集合 B 的一种对应，其中 A 和 B 都是非空的数x=y)(xf集，对于 A 中的每一个 ，B 中都有唯一确定的 和它对应。自变量 取值的集合 A 就yx是函数 的定义域，和 对应的 的值就是函数值，函数值的集合 C 就是函数的=y)(f值域( )。C注：集合 中有 个元素，集合 B 中有 个元素，则 到 的映射有 个，而 到nmABnmB的映射有 个。Am2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要
5、掌握：配方法，观察法，换元法（整体换元、三角换元） ，单调性法，反函数法，判别式法，三角函数的有界性，基本不等式法，利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合的形式。3. 若 有反函数 ，则 是 的反函数。=y)(xf)(xfy-1=y)(xf)(xfy-1反函数 的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域。-1函数 和它的反函数 的图象关于 对称。=y)(xf )(xfy-1=xy（若 ,则 即若点 在 的图象上，则点 必在反函baaf)(1,b)(f ),(ab数的图象上）注意： 是 的反函数吗？（不是， 和 1 )1(xfy)1(xfy )1(xfy互为反函数。 ）)f与它的反函数
6、 的交点必在直线 上吗？（若 为增函数 2 (xy)(1xfyxy)(xf则一定，否则无法判断）如函数 与 的交点为 ，交616log1,24点不在直线 上。yx4. 设 那么2121,bax上是增函数；1212()()0ffx12()0(),fxffxab在上是减函数。1212()()xff12()(),fffx在设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果xfy0)(fxf，则 为减函数。0)(f)(5. 定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件。 （奇偶性的两个条件：一是xf定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，)(xff奇函数： ） 。例如：
7、 是奇函数， 是非奇非偶。)()(xffxytan31tanxy（定义域不关于原点对称） 。奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 （ 不在函数的定义域内，0)(f0)(f则无此性质） 。注意： 奇函数关于原点对称，偶函数关于 轴对称； 奇函数关于原点对称的区间单 1 y 2调性相同，偶函数关于原点对称的区间单调性相反，简称：奇同偶反。6. 函数 的图象的对称性()yfx(1)函数 的图象关于直线 对称 。xa()()fxfa(2)(fxf(2)函数 的图象关于点 对称 。)(xfy)0,(a)2()xaf)()(xaff(3)函数 满足 ，则 的图象关于直线 对称。xbffy2b(4)若函
8、数 对定义域中任意 均有 ，则函数)(xfy 0)()(cxbfaf的图象关于点 成中心对称图形。(,)2abc7. 两个函数图象的对称性（1）函数 与函数 的图象关于直线 轴对称。()yfx()yfxy（2）函数 与函数 的图象关于直线 轴对称。x（3）函数 与函数 的图象关于原点对称。()yfx)(xfy（4）函数 和 的图象关于直线 对称。1xy（5）函数 和 的图象关于直线 对称。)(xfy)(xf （6）函数 与函数 的图象关于直线 对称。aby2abx注意对比：函数 满足 ，则 的图象关于直线)(xf )()(fxaf)(fy对称。2b（7）函数 与函数 的图象关于直线 对称。)(
9、wxafy)(wxbfywabx28. 曲线图象的对称问题：（1）曲线 关于直线 对称曲线为： 。0,f 0),2(yf（2）曲线 关于直线 对称曲线为： 。)(yx0cyx ),cxf（3）曲线 关于直线 对称曲线为： 。,f （4）曲线 关于点 对称曲线为： 。0)(),(baP0)2,(ybaf9. 若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；xfy baxf(若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图),( ),象。即： 函数 的图象按 平移后的图象的表达式是： 1 )(xfy),(kha；hk曲线 按 平移后的曲线的关系式是： 。 2 0),(yxf),(k 0
10、),(kyhxf10.分数指数幂 （ ，且 ） 。nma,nN1（ ，且 ） 。nma10,11.指数式与对数式的关系是： )1,0(logabaab 且12.对数的换底公式: 。推论 ， 。Nmallogmnaalogl abalog1l13.指数运算性质： ； ； 1 n 2 =)(mn； 3 =ab)( ,0,(Rnba对数运算性质： ； 1 MNlogNlogl； 2 =Nlogaaa； ， 。 3 nll 4 =alog10la。)1,0,(且14.指数函数和对数函数指数函数 对数函数)1,0(ayx且 )1,0(logaxya且图象 XYO1 1YXO性质(1)定义域：R(2)值域
11、： ),0(3)过定点： 1即当 时, .0=xy(4)当 时，a在 R 上是:单调递增函数；当 时，1在 R 上是：单调递减函数。(1)定义域： ),0(2)值域：R(3)过定点： ),1(即当 1 时， 0=xy(4)当 时，a在(0，+)上是：单调递增函数；当 时，0在(O，+)上是：单调递减函数。15.二次函数的解析式的三种形式一般式： 2()()fxabc顶点式： )0hka两根式（也称零点式）： 12()0fxxa16.几个函数的周期(约定 )：（1） ，则 的周期 。()xf(T（2） 或 ，或a)()xfaxf )(1)(xfxf,)0(xf或 ,则 的周期 。)(ff (fa
12、T2（3） ，则 的周期 。0)(1)(xfafxf )(xf3（4）若 是偶函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的y a)(xf|2a周期函数。（5）若 )奇函数，其图像又关于直线 对称，则 是周期为 的(xfx)(f|4周期函数。（6）若 的图象关于直线 , 对称，则函数 是周期)(fyaxb)()(xfy为 的周期函数。ba2（7）若 的图象关于 对称，同时关于点 对称， （ ） ，则函数)(xfyx)0,(ab是周期为 。|4a（8）若 的图象关于 对称，同时关于点 对称， （ ） ，则函数)(xfy)0,(a)0,(ba是周期为 。|2b17.设函数 ,记 ，则有：)(log
13、)(cxxfm ac42（1）若 的定义域为 ,则 ，且 。R0a（2）若 的值域为 ,则 ，且 。)(xf 注意：对函数 的定义域或值域为 的问题，要注意考虑)(log2cbxmR的情况。0a18.平均增长率的问题：如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总px产值 ，有 。y(1)xNp19.你知道函数 的单调区间吗？（该函数在 或ba)0,ab,(上单调递增；在 或 上单调递减）这可是一个应用广泛的函),b),a,(b数！20.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。21. 解
14、恒成立问题常用方法：分离参数法；数形结合法；交换主元法。你能清楚何时用何种方法吗？常见题型：若 在 上恒成立，则 ；若)(xfm,bamax)(f在 上恒成立，则 。若 在 上)(xf,bamin)(xf,b有解，则 ；若 在 上无解，则 。 （注：minf)(f,min)(xf为常数。 ） 在 上恒成立，是对于任意的 ，)(xg,ba,a必须大于 吗？应该怎样解？（不是。通常移项，使min)(xfma即可；若 的最值无法求出，则考虑数形结合，只0)()(minxgfxh)(xh需在 上 的图像始终在 的上方即可。 ）,bag三、数列1. 通项 与前 项和 的关系 ，后检验能否合成一个关系式。
15、nanS1nnSa)2(2. 由 求最大项 ；由 求最小项 。1nn1nna3. 两个基本变换： 1 )()()( 123121 nn aa 2( 2 1231nn 4. 证明数列 是等差数列的方法：na定义法： 或 1 )(1d)1(1ndan中项法： 2 2nn5. 等差数列的通项公式： ，变形dmnadan )()1( nam6. 三数成等差数列，可设为： ；四数成等差数列，可设为：,dada3,37. 前 n 项和公式： 1()2nns1()2ad21()nadn8. 在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法求解：nS(1)当 ,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。10a
16、01maS9. 等差数列的性质：若 ，则 ，特别 ，则 。 1 qpnmqpnpn2pnma2也成等差数列，且公差为： 。 2 mSS23,d设 是数列 的前 n 项和， 为等差数列的充要条件是 3 nana（ 为常数）其公差是 。b2, 2若 都是等差数列，前 项和分别为 ， ，且 ，则 4 ,nannST342n， ；（注：137TSb )174(531579898 ba， ，其中 为非 0 常数。 ）)2(nkn )34(nknk注意：形如 的类型，数列 从第二项起成等差数列。即通caS0na项为： 。bn2)2(110.证明数列 是等比数列的方法：a定义法： 或 ； 1 )2(1nq)
17、1(1nqa中项法： 。 2 12ann11.等比数列的通项公式： ，变形 。mnnnqa1 mna12.三数成等比数列，可设为： ， ， ；四数成等比数列，可设为： ， ， ，q 3qa。3aq13.前 n 项和公式：当 时， 1 q1naS当 时， 2 14.等比数列的性质：若 ，则 ，特别 ，则 ； 1 qpnmqpnma pnm22pnma也成等比数列，且公比为： 。 2 SS23,q15.若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，求 的前 n 项的和，用错nnbacnanbc位相减法求和。16.常用的求和方法有:倒序相加求和；错位相减求和；分组求和；裂项求和。17.常用裂项公式：； ； 1 nn1)( 2 )21()(1nn 3 )12()2( 4 mnmnC1 5 !1!nn18.由数列的递推公式求通项的类型：（1） （2）)(1fan )(1nfan（3） （ ） （4）qpnn11qpnn1（5） （6）1(0)ncadb nba1（7） （8）qpnn1 cknqpnn21（9） （10）1aa ra（11）前 项和 与 之间的等式关系求通项类型：nS
