1、1用效用函数与均衡的观点分析彩票的设奖问题摘要：本文引入经济学中的效用理论与市场均衡的思想，借助概率统计与随机过程等数学工具，对于问题一给出了两个模型，从不同的角度，逐层深入的分析了彩票设奖方案的合理性。对于问题二，首先分析各奖项概率之间联系，得出了 29 种方案均不宜将奖项设计为 8 个及 8 个以上的结论；然后考虑第 i 等奖单注金额期望 mi 与其风险 1/pi 的关系 ， 按心理曲线的对数规则，将问题一中求得的最合理方案的奖金额进行重新分配；最后提出了中末等奖彩民可以在 2 元钱奖金与价值 2 元彩票之间选择的想法，给出了一种更好的方案。问题一包括以下两个方面： 合理性的评价标准如何提
2、炼？我们的准则是要提高设奖方案对彩民的吸引力以实现彩票销售额的最大化。大吸引力主要体现在；最高奖金额（x 1） 、中奖面（ x2） 、高等奖占总奖金额的比例（x 3） 、单注期望回报（x 4）这 4 个标准上。文中我们分别给出了提炼出这 4个标准的根据以及相应的量化算法，以便处理。 多个评价标准如何综合处理？模型：基于经济学中效用理论的思想，我们知道，作为综合指标的一个工具的效用函数与人们通常的直觉是相符合的，这里的效用可以解释为综合指标对彩民的吸引力。通过对效用函数应有基本性质的考虑，并结合本问题的具体情况，我们先从彩民的偏好倾向（前 3 个标准）给出一个效用函数：321321),( xAx
3、f.ts 1,0321然后采用“无差异曲线法”确定系数。效用函数确定后就可以对 29 种方案进行量化评价，除去奇点（最不合常理的方案 23）后，得到方案的合理性排序为（26 22 4 18 3 20 24 2 16 21 25 28 9 19 17 8 15 27 11 14 29 13 12 7 5 1 6 10） 。不同彩民的不同博采心理会使他们对各个标准的偏好会不同，此时采用“序结构分析法” ，分别对其中一个指标进行控制，考虑另外两个指标综合所形成的效用，在二维平面种画出了 3 张无差异曲线簇与方案点所取位置的关系图（见附录三） ，适合具有不同心理的彩民偏好取向。模型：考虑滚存对单注期望
4、回报的影响以及供求的平衡关系，可以建立更精确的模型。市场总是趋于供求平衡的稳定状态，在该状态的销售额越大，则该方案越优。研究某一发行方案，首先求出其供给函数（是奖金和奖项设置方案的函数） 。然 后求出需求函数，两函数的交点就是市场的平衡点。彩票作为特殊商品，其供求量不受价格影响，而受单注彩票的期望价值的影响。研究彩票的单注期望价值便可估计其供、求函数，进而求出平衡态的销售量。同时也可控制单注期望价值，以达到销售量最大。2关键字：彩票 效用函数 无差异曲线 序结构分析 均衡用效用函数与均衡的观点分析彩票的设奖问题问题的提出与分析所谓方案的合理性是指：实现彩票销售量的最大化。要使销售量大，就要尽量
5、吸引更多的彩民购买彩票，或者原有的彩民投入更多的资金博采。这就迫使我们首先就从对彩民的吸引力这个角度来看待该问题：无论是彩票的发行者还是购买者都希望吸引力越大越好。也就是说，发行者希望实现销售收入的最大化，则必须提高彩民的购买欲，所以发行者设奖方案必须有能够刺激（吸引）彩民的高中奖率，中大奖率以及高等奖金金额，而这三点也就是我们对吸引力的诠释。奖项出现的可能性：即包括中奖或不中奖，中大奖与中小奖的可能性，而这些都取决于所设奖项的概率，概率越高，可能性越大。奖项的设置：很明显，奖项设的越多，中奖率越高，但是反之，奖项的设置越少，高奖占的比例则越多。奖金额的设置：最高奖的奖额最为关键，奖额越大，越
6、能刺激人们的购买欲望，鼓动人们的博采心理；对应的最低奖额是维持人们参加博采的持久性，再次购买彩票的重要因素，因此应尽可能的扩大中奖面（率） ，既要设大奖刺激人们的购买欲望，又要扩大最低奖项的中奖面，这是一对矛盾。现在的问题是： 如何从以上关联与矛盾的因素中分离出评价方案合理性的量化指标，并建立一个关于这些指标的评价函数。 根据模型得到最合理的一种方案，分析其内在因素的性质，并给出彩票发行者的角度，适当添加有利于发行者利益最大化的标准，改进已有的合理的方案，得到一种更好的方案。 通过综合分析所设计的方案受到各种指标的影响，给出其合理性原因及解释，供彩民参考。二模型的假设及符号说明在模型中仅考虑本
7、期销售量，不考虑上期滚存金额。所有方案的总奖金比例，为销售总额的 50。符号说明：N：奖卷销售量，单位/张S：销售金额，单位/元n： 奖项数目，单位/个3pi：买一张奖卷，获第 i 等奖的概率,i= 1,2,nqi：题中给出的 i 等奖总额占高等奖总额的比例，j =1,2,3mi：第 i 等奖单注金额的值（或期望值） ，单位/万元t： 返奖率，即总奖金比例占销售总额的百分比 V：每张彩票的单值期望回报：第 i 等奖总额占总奖金额的比例id：第 i 期销售总额F：第 i 期销售金额iQ：第 i 期滚存到下一期的金额R三模型的建立与求解评价标准的确定以及依据 彩票价值的体现在：它能满足人们“中奖”
8、 、 “试运气”的期望心理；它能满足人们参与博采娱乐，寻求“刺激”的需要；它的公益性。标准 1：单注高奖金额期望值 1x彩民购买股票所付出的货币与所得到的回报差异是很大的，所谓“博一博，单车变摩托”的广告词就是抓住了人们这一心理特点。据调查，在购买彩票的消费者中，44的人主要是出于以小博大，以小胜多的中大奖心理来购买彩票的 1，所以单注高奖金额对彩民是具有强烈的吸引力的，它是影响彩民购买欲望和购买行为的主要因素，它可以以较小的投入换取较大的收益。算法： （1）14141)()( pqmNpqxniinii 标准 2：中奖率 （中奖面）2很明显，中奖率是吸引彩民购买彩票的一个最重要因素之一，如果
9、某种设奖方案使得中奖面较窄，必然打击彩民的积极性。算法： 为第 等奖的中奖概率，由摇奖方式确定） （2）inipx(12标准 3：高等奖占总奖金额的比例 3x对于一个理性分析的彩民而言，他不会一味的追求最高奖额，毕竟，最高奖中奖率是极小的。但尽管如此，他们仍然希望，总奖金额中高奖额占的比例比较大。4算法： （3）niiniimpNpx4431标准 4：单注期望回报 4x对于一个普通的彩民来说，他希望参加博采所投入的期望回报应该尽量大，更直观的说：彩民买一注彩票所花的 2 块钱，如果没中则回报为零；如果中奖则回报从几元到几十万元不等，那么平均能得到多少回报呢？在返奖率为 50的情况下，不同的方案
10、中期望回报越接近于 1 块钱的就越好。算法：参考模型 （4）以上各算法中 的确定如下（以“ 乐透型”彩票为例）：ip选 型：MNCp1NM12NMC13NMp124NMCp215136p317选 型：11NMCp12NM13NMC124NMp125NMCp132617p对于所给出的 29 种方案，各等奖中奖概率矩阵见附录一，前 3 个评价标准按照相应算法的量化矩阵以及归一化矩阵见附录二。评价函数的确定从经济学的角度讲，效用函数作为综合指标的一个工具，与人们通常的直觉是相符合的。例如，一个企业经济效益如何衡量？有很多重要的指标，它们从不同的角度反映企业经营情况，经济效益就是综合评价这些指标的结果
11、。也就是从经济这个角度来衡量它的效用。与此类似，我们为了评价这些方案的合理性，也有以上多个指标，所以建立一个恰当的效用函数来综合这些指标，是我们需要解决的问题。这里的效用可以解释为综合指标对彩民的吸引力。在经济分析中，效用函数的来源：由人们的偏好倾向来给出相应的效用函数；5反映对各种投资的回报形成的效用函数（也就是在彩民看来，能够使他们购买彩票付出的价值得到较好的预期回报） 。下面我们从这两个来源分别建立模型、：模型效用函数的确定不只是研究对象之间序结构的性质（也就是偏好的序关系，在这个问题中具体表现为彩民的心理更趋向于哪个指标 ） ，还涉及所选321,x效用函数的性质要求，如凸性，可微性等。
12、效用函数的主要性质：凸性： 可解释为)()()()( 321321 xffxfxxf 指标组合后的效用是不会大于（小于）效用组合的。可微性：函数的可微性对问题的分析很有帮助，而我们要求效用函数可微，甚至二阶导数可微都是不苛刻的。例如，考虑财富对人们的效用，若用 x 表示财富的价值， 表示财富为)(xux 时的效用，于是人们不难接受这一类 的性质的描述：)(u 是连续,可微的函数(即财富的效用是连续变化的 ,不会突然跳跃,它的)u变化也是连续的) 。 ， 的一阶导数非负，表示 是一个增函数（财富越多，0x) )(x效用越大） 。 , 的二阶倒数是负的，表示 是一个减函数（财富增加时，)(u( u
13、相应增加的效用值在减少） 。从以上三条性质可以看出，财富的效用是一个上凸函数，著名的数学家伯努利在几百年前就认为财富 的效用应该用 来衡量，它是一个上凸函数。x)(xLn在我们这个问题中第（c ）点可解释为得大奖后心理上对小奖的期望就不会那么高了。基于这个思想，我们先从彩民的偏好倾向分析前 3 个标准，给出一个效用函数： （5）321321),( xAxf.ts 1,0321 A其中， 为量纲归一化后的第 个量化标准， 为模型参数，ixi 321,可以理解为偏好指数（即彩民更看重哪种标准） ， 为效用系数。321, A两边取对数：（6）321321)( LnxLnxAxLnf 从经验中得到，人
14、们心理曲线是对数曲线。以这一点看来，我们的模型也是合理的。6无差异曲线法确定参数 321,根据博采者的心理，假设一种方案的某一标准很不理想（比如：最高奖金额极低，或者中奖率极低，或者高奖占总奖金额比例极低） 。这三种情况对彩民的效用是无差异的，那就是彩民不会参与博采。于是在评价标准归一化矩阵（附录）中取三组方案 ， ， ，其中),(321llx),(321mx),(321nnx， ， ，为第 6、1、10 种min129,1ilxx min29,i i9,3in方案。此时效用是无差异的：（7）),(),(),( 321321321 nnmll xfxfxf因为效用函数本身的函数值毫无意义，也无
15、量纲，其作用在于效用大小的相对性比较，不妨设此时 。所以，参数的确定，就是求解线性方程组：Af其中1321 321 32nnn mmmlll LxxLxC 0ALnC据此我们定出 ，2.0,7.,4.032效用函数表达式： （ ） （8）41xAf A用（8）式比较 29 种方案的效用，得到效用比较直方图如下图 1 所示：图 1 对第23种方案的分析首先，从上图中都可以直观的看出第23种方案的特殊性，它的效用远高于7其他方案，那么我们是否可以依此而断定第23种方案就是最合理的呢？若重新考虑它的奖项设置、奖金金额以及摇奖方式，我们发现虽然一等奖奖金期望值相当高（480万元左右） ，这对彩民来说是
16、一种很大的吸引，但是除去一等奖之后再无大奖（二等奖只有2000元） ，所以对于一个理性分析或具有一定经验的彩民而言，他很容易发现身边中大奖的人很少，从而也就降低他们购买彩票的积极性。将这种方案看成所以方案中的一个奇点，它是需要特殊考虑的。从这一点我们看出效用函数的局限性，它对奇点是无能为力的。结论剔除对奇异点的考虑，我们得到29种方案合理性排序如下：26 22 18 4 3 20 24 2 16 21 25 28 9 19 17 8 15 27 11 14 29 13 12 23 7 5 1 6 102序结构法分析模型不同彩民有着不同的博采心理，他对 (最高奖金额、中奖率、高奖321,x金额占
17、总金额的比例)三个指标的偏好不同，我们分别对标准 进行控)3,2(i制，考虑另外两个指标综合所形成的效用 。),),3121xfff分别令 （ ） ，在二维平面中画出无差异曲线簇与方案点所取位0i3,21i置的关系，它可以给不同类型的人所买彩票的类型提供参考：图中29个点表示29种方案，吸引力相同的彩票对应的点在图中同一曲线， x坐标和 y坐标各表示一种吸引力。偏好图以及对购买彩票者的建议见附录三模型在模型中，我们并没有考虑奖金的累计效应（滚存）的存在，但是事实上大奖由于中奖概率极低，其滚存的可能性是很大的。例如，当一等奖的中奖概率小于 210 时，有 100 万人购买彩票时滚存的可能性将大于
18、 81.8；显7然，这对彩民购买彩票是一个很重要的影响因素。模型就因此而存在一定的局限性。在模型中，我们将用均衡观点分析彩票市场的供给和需求趋势，考虑单注期望回报形成的效用，进一步研究增大销售量的可行方案。 1、彩票市场的供给分析（彩票的单值期望回报的求解）一般商品的供给和需求对商品的价格有影响，而对商品的价值无影响。与一般商品不同的是，彩票的价格是预先约定好的，影响彩票价格的供给和需求的不是彩票的价格，而是每张彩票的单注期望回报。求解单值期望回报的过程如下： 第 期彩票累计奖金的规模：i， 为返奖率，本问题中为 0.5， 为本期销售额, 为上期1iiiRtQFt iQ1iR滚存额。8 第 期
19、大奖滚存的可能性：i第 等奖滚存的可能性为 ，每注 2 元，所以 为销售量，2/)1(iQp2iQ为第 种奖的中奖概率，且由于三等奖以后奖项滚存的概率极低，因此不需ip要考虑三等奖以后奖项的滚存。设 为第 等奖奖金占总奖金金额的比例。利id用文氏图分析，总奖金的滚存概率为： )()(1)()(1 )(132/32312/3 32/1/ dpdp pMii ii QQ Qii 由于 ,为了计算方便化简上式的：1212)()( diii每张彩票的单值期望回报： )2/()(iii QFMV滚存金额： iiFR 下面讨论 随 的变化规律：VQ上述表达式是一个递推式，该式反映了 随 变化的规律，我们将
20、 的取ViV样密集，则可得到 的连续函数如图。)(图 2设如果没有滚存，则 ， 随 的变化曲线 如图，如)1(,0iii MtVRiViQ1S果有滚存，则 ， 随 的变化曲线 （或 ）如图。 曲线先升后降是iQ2S32因为当 很小时，每增加一个参与者提高了奖金的规模，奖金增加的规模大于iQ一个潜在的中奖者对滚存的“稀释”效应， 随 的增加而增加。当 达到一定的水平，再增加一个参与者一方面提高了 ，另一方面，上期的滚存对 的VV影响随着销售的增加而越来越小，因为滚存被“摊薄”在更多的参与者中了，随着 的增加而减少了。V9滚存就像对本期参与者的一个补助一样，因此有滚存的彩票比无滚存的彩票的 要高，
21、所以无滚存的彩票的供给曲线在有滚存的供给曲线的下方。 V2、彩票市场的需求分析我们假设投注者购买彩票是因为从中得到了乐趣，这种乐趣包括他们发财的梦想以及为社会公益事业做贡献而感到的快乐。我们可以把购买彩票预期产生的财务损失看作这种乐趣的有效价格 ，它就是人们购买彩票的价格与每)(p张彩票的单值期望回报的差。因此：彩票价格 VP同等价格下，购买彩票所得到的乐趣越大，对彩票的需求也越大。同等乐趣下，这种乐趣的有效价格越高，购买量就越少；有效价格越低，购买量就越高。而这种乐趣的有效价格与每张彩票的单值期望回报 是负相关的，所以V与人们对彩票的需求是正相关的， 越高，对彩票的需求越大， 越低，对VV彩
22、票的需求越小。我们假设需求量 ，显然 与不同地区的经济情况和时间因素关bkQk,系很大，我们只能经验选取该因子。以下分析中我们假设 K= ，为分析方便710可以设 。0b3、彩票市场的均衡分析从以上的供给图和需求函数可得市场的均衡图如下。图 3从图中可知，供给线与需求线的有两个交点，处于供给线下降方向的交点，我们称为最优平衡点。分析该点，如果销售量继续增大，则 减小，又使销售V量回落，如果销售量减小，则 增大，又使销售量增大。因此该点表示彩票的V稳定销售量。考察另外一个交点，由于该点的供给曲线和需求曲线都处于上升方向，因此该点是不稳定的平衡点，其销售量也较小，我们假设市场能脱离该10平衡点，并
23、且都达到最优平衡点。显然，最优平衡点的销售量越大，则该发行方案越好。观察图中的曲线可得，曲线 比 的最优平衡点的销售量更大，因而更优。2S1建立该平衡点的方程： kQV)(显然该方程的较大解（最优平衡点）越大，则销售量越大，方案越优。由于我们无法得到 的解析形式，因此只能借助计算机搜索其解。我们用该模)(型评价题目给出的 29 种方案，得到各奖的销售量排名如下所示：26 22 18 20 4 24 16 3 2 25 21 28 19 17 9 15 29 11 14 27 13 12 8 7 5 1 6 10分析改排名可得与模型基本一致，这是因为该模型标准与模型标准在很大程度上是一致的利用该
24、模型可设计较好的发行方案，问题转化为设计参数 在满足约idp,束的条件下使该方程的较大解最大：MaxQ.ts 10,10)(3321iiii dppV在本模型中认为是影响销量的次要因素，其设置可参照模型7654,p由于我们无法找到 的解析形式，因此该优化问题也只能用计算机搜索)(V解，通过分析前面的例子，可得当滚存概率较大时，最优平衡时的销量较大。因此我们可以先确定一个滚存概率较小的初始解，然后在其周围搜索最优解。问题二 、设计一种更好的方案彩票管理部门应该注意的一点从为实现彩票购买量最大化这一角度来看，彩票的发行者与购买者的期望是一致的，而对发行者而言除了最大限度的吸引彩民之外，还必须最大程
25、度的降低自己“亏本” （收益少于 50S）的风险，这是由于一等奖保底奖金造成的。下面对任意一种设奖方案给出发行者所承受的风险：随机向量 的每一分量 ：表示第 奖获奖数，服从二项分),(721ii布 ，概率为：),(NpBiiii vNivNii pCvP)1( n,21Nvi,10一等奖单注金额： 万元141niiqm一等奖60 万元 发行者将会承受投入高于 50销售额的风险：11是 的函数。6060)( 141qmNPmNf nii N由于 足够大（彩民的人数是以万计的） ，所以我们可以用二项分布的极限分布（正态）来处理， （ ） ， 。iN2,i)1(,2iiii pnp令 ，由正态随机变
26、量的线性组合仍服从正态分nmq4160布，即 。),(2N其中 ， 。nq4160 224212)60( nmq dxeNpN NpqmPf Nnnii 24114 )(.60)(对于 29 种方案，我们给出当 分别为 10000，100000，500000，1000000时 1 的直方图，如下图 4：图中纵坐标为安全系数。直线处安全系数为)(f0.95图 4 12彩票管理部门可以根据这一指标，可以剔除在同一发行量下几种风险较大的方案（如图中方案 5，6 等） ，还可以估计达到所需安全系数时的奖券销售量。更好方案的设计1、奖项数目的确定通过模型的分析，我们得到一个结论：奖项是影响中奖率的重要因
27、素，在相同的方案类型，如所给乐透型（N/M）中，奖项的设置越大，中奖面越大。为了提高中奖面，我们可以尽量多设置奖项，但是另一方面我们可以证明奖项数大于 7 是不合理的：首先；在 M 选 7 的方案中，如果按乐透型摇奖规律继续定八等奖，则， P8 P7 318Cp7314MNCp然而在八等奖金额必须小于七等奖金额的情况下，设 8 个奖项是不合理的。其次；更一般的 M 选 N 方案中，N 为奇数时：P i=Pi+1 i/2+(i+1)/2 =N i=N所以 N/M 方案最高可以设 N 等奖，同理 M 选 N+1 也有类似的情况。最后；从问题一的求解结果可以看出，设奖数目少于 7 的方案效用都低于设
28、奖数目为 7 的方案效用，因此可以确定奖项数为 7。2、返奖率 t 的确定国家有相关条例规定，彩票的返还奖金占销售总额的比例不能太低，如体育彩票不能低于 50%, 因此本文假设彩票的返还奖金占销售总额的比例仍为50%.3、各级奖金单注数额比率的确定定义第 i 等奖风险 ，iipr/1则第 i 等奖收益函数 mi= g(ri)从投资学的角度考虑，高风险的投资不但期望与风险成正比的收益，还要求额外的风险回报，作为投资者冒险的补偿。故收益函数导数 1)(irg考虑心理曲线为对数型，将收益函数变形为 lnmi=g2(lnri)， 利用一问求解时得到的较好的几个解，如第 26 个，第 22 个等方案的数
29、据，拟合曲线，发现用线性拟合要比二次及二次以上曲线拟合要好，结果是Lnmi=1.42*Lnri+b变形为： 42.1iicrm134、更好的方案综合 1、2、3 对的第一问中求得最合理方案 26 (7/36) 进行改进：奖项设置 7 个；各项奖金按以上提出的原则进行重新分配； 末等奖为 2 元钱或价值 2 元的“奖券”一张，可供选择， “奖券”可以参与下一次的抽奖。这样做的好处：对销售方而言付出的期望价值只有相当于一元钱，对彩民而言又获得了一次可能成为百万富翁的机会，从某种程度上说，达到了“双赢”的效果。得到如下方案：奖 项方 案一等奖比 例二等奖比 例三等奖比 例四等奖金 额五等奖金 额六等
30、奖金 额末等奖金 额7/36 80% 10% 10% 1000 50 20 2经计算，各项金额重新分配后得到的方案（末等奖金额用 2 元）的效益函数值比原来的效益函数值高了 5%左右，且计算得到 N取 100,000 时，安全系数已经达到了 99.3%.。问题三、给报纸写一篇短文幸运彩票分析奖 项方 案一等奖比 例二等奖比 例三等奖比 例四等奖金 额五等奖金 额六等奖金 额末等奖金 额7/36 80% 10% 10% 1000 50 20 2注：末等奖为 2 元钱或价值 2 元的“奖券”一张，可供选择， “奖券”可以参与下一次的抽奖。一、资金分配及结算：最高奖金额：343.4 万元，二等奖金额
31、：58.5 万元，三等奖金额：2.28 万元中奖率（面）：1.6%，高等奖金额占总奖金额比例：82.3二、相对其他发行彩票，本次幸运彩票特点如下：1、采用国际通用的 7/36 方案，公平公正。采用单式和复式相结合的方式，给您多中自由。2、回报率高，奖金返还率 50%。3、每注只需 2 元，由于采用一等奖滚动制，最高奖金额可高达 572.6 万元，第14一期一等奖金额就可高达 343.4 万元，因此只需 2 元就可能使您百万富翁的梦想成真。4、获奖种类多，总共有 7 种奖项，多买多中。5、获奖面广，中奖可能性大，更适合广大做长期投资的彩民。6、本次彩票发行金额的 50将上缴财政作为福利专用，您买
32、一张彩票，实际上就是为我国的福利事业做了一份贡献。两元钱对于您来说微不足道，但如果每个人都能出 2 元钱，将是一笔巨大的福利金，那些享受福利的人将会感谢您的帮助。而且您可能会因为自己善意的付出，而得到意想不到的收获，也许 500 万的财富就会降临到您的身上，何乐而不为呢？只要大家都出一份热心，福利事业的汪洋大海就永远不会干涸。正因为福利金来源于热心于福利事业的彩民，所以对于福利金的每一笔支出，国家都有非常严格的审计、监督和核查，以保 证发行福利彩票得到的福利金中的每一分钱都花在了与百姓日常生计息息相关的事业上。参考文献1中国经济景气检测中心.彩票飞扬看都市消费者心态N，国际商报,1994-4-6(6)2指标量化、序化的理论何方法，张尧庭著，科学出版社3数理经济学理论与应用，张金水著，清华大学出版社4中国体育科技，2000 年（第 36 卷）第 2 期5概率论与数理统计，刘次华等著，华中理工大学出版社6随机过程，刘次华等著，华中理工大学出版社
