1、1.8 函数 y=Asin（x+）的图像典题精讲1.由函数 ysinx 的图像经过怎样的变换得到函数 ysin(x)（0）的图像？剖析：由 ysinx 的图像变换出 ysin(x)的图像一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将 ysinx 的图像向左(0)或向右（0）平移个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 1倍（纵坐标不变） ，得 ysin(x)的图像.途径二：先周期变换，再相位变换先将 ysinx 的图像上各点的横坐标变为原来的 1倍（纵坐标不变） ；再将得到的图像沿x 轴向左(0)或向右（0）平移 |个单位，便得 ysin(x)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为
2、什么沿 x 轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数 y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数 y=f(x+)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将 y=f(x)的图像向左(0)或向右（0）平移个单位，得函数 y=f(x+)的图像；再将函数 y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍，得 y=f(x+）的图像.若按途径二有：先将 y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍，得函数 y=f(x)的图像；再将函数 y=f(x)的图像上各点沿 x 轴向左(0)或向右（0）平移 |个单位，得 y=f(x+）的图像.若将 y=f(x)的
3、图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍(0)，得函数y=f(x)的图像；再将函数 y=f(x)的图像上各点沿 x 轴向左(0)或向右（0）平移|个单位，得到 y=f(x+)的图像，即函数 y=f(x+)的图像，而不是函数y=f(x+)的图像.例如：由函数 ysinx 的图像经过怎样的变换得到函数 ysin(2x 3)的图像？方法 1：（先相位变换，再周期变换）先将 ysinx 的图像向左平移 个单位得函数ysin(x 3)；再将函数 ysin(x 3)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得 ysin(2x )的图像.方法 2：（先周期变换，再相位变换）先将 f(x)=sinx
4、的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍，得函数 f(x)=sin2x 的图像；再将函数 f(2x)=sin2x 的图像上各点沿 x轴向左平移 6个单位，得 f2(x+ 6)=sin2(x+ 6)的图像，即函数 y=sin(2x+ 3)的图像.在方法 2 中，得到函数 f(2x)=sin2x 的图像后，如果把 f(2x)=sin2x 图像沿 x 轴向左平移3个单位，得 f2（x+ 3)=sin2(x+ 3)的图像，即函数 y=sin(2x+ 32)的图像，而不是函数 ysin(2x )的图像.由以上可见，利用变换法作 yAsin(x)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避
5、免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.例如：(2006 江苏高考卷，4)为了得到函数 y=2sin( 3x+ 6),xR 的图像，只需把函数y=2sinx,xR 的图像上所有的点（ ）A.向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1倍（纵坐标不变）B.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3倍（纵坐标不变）C.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）D.向右平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）思路解析：先将 y=2sinx,xR 的图像向左平移 6个单位长度，得到函数 y
6、=2sin(x+ 6),xR 的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin( 3x+ 6),xR 的图像.答案：C2.如何求型如 y=Asin(x+)+b(0)函数的单调递增区间?以 y=2sin( 3-2x)+1 为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数 y=f(u)与 u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=fg(x)是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数 y=2sin( 3-2x)+1 的定义域是 R.函数 y=2sin( -2x)+1 是复合函数，y=f(u)2u+1，u=sin( 3-2x).则要求函数 y=2sin(-2x
7、)+1 的单调递增区间，需求 u=sin( 3-2x)的单调递增区间.函数 u=sin( 3-2x)又是复合函数，u=sint，t= -2x.则要求函数 u=sin( -2x)的单调递增区间，需求函数 u=sint 的单调递减区间.则正确的解法是：令 2k+ 2 3-2x2k+ 2(kZ)，2k+ 2- 3-2x2k+ - (kZ). 26726kxk.7x ,即-k- 12x-k- 12.函数的单调递增区间是-k- 7,-k- 12 （kZ）.由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性.综上所得,在求函数 y
8、=Asin(x+)+b 的单调区间时，一定注意其中的参数 A 和 的符号，特别是当 A 和 是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔.典题精讲例 1 已知函数 y=3sin（ 21x- 4） ，（1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得到的；（3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.思路分析：五点法画函数 y=3sin（ 21x- 4）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的
9、点，找出它们的方法是利用整体思想，由 x+0， ， 3，2 来确定对应 x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表 2x- 40 2 232x 2325729y 0 3 0 -3 0描点：在直角坐标系中描出下列各点（ ，0） ， （ ，3） ， （ ，0） ， （ ，-1） ， （29，0） ；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图 1-7-1 所示.图 1-7-1这样就得到了函数 y=3sin（ 21x- 4）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4k（kZ） ，得到函数 y=3sin（ x- ）的图像.（2）方法一：
10、（相位变换在周期变换的前面）把 y=sinx 的图像上所有的点向右平移 4个单位，得到 y=sin（x- 21）的图像；把 y=sin（x- 4）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到y=sin（ 2x- ）的图像；将 y=sin（ 1x- ）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍（横坐标不变） ，就得到 y=3sin（ x- 4）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）把 y=sinx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到y=sin（ 21x）的图像；把 y=sin（ x）的图像上所有的点向右平移 个单位，得到 y=sin 21（
11、x- ）=sin（- 4）的图像；将 y=sin（ 21x- 4）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍（横坐标不变） ，就得到 y=3sin（ x- ）的图像.（3）周期 T= = 21=4，振幅 A=3，初相是- 4.（4）令 x- = +k，解得 x= 23+2k，kZ，即函数的对称轴是直线 x= +2k(kZ).令 21x- 4=k，解得 x=2k+ ，kZ，即对称中心为（ 2+2k，0）(kZ).令- +2k 1x- 4 +2k，解得- +4kx 3+4k，kZ.即函数的单调递增区间为- 2+4k， 3+4k （kZ）.绿色通道：（1）对于函数 y=Asin（x+） ，应明确 A
12、、 决定“形变” ， 决定“位变” ，A 影响值域， 影响周期，A、 影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对 x 的变化，向左或向右平移 |个单位；(2)画 y=Asin（x+）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为 y=Asin(x+)的形式，再利用公式T= 2进行求周期，有时还利用图像法求周期；对于函数 y=Asin（x+）+B 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把x+ 看作一个整体，化归为正弦函数 y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解.变式训练 1(2006 福建高考卷，理 9)已知函数 f(x)=2sinx(0
13、)在区间- 3, 4上的最小值是-2，则 的最小值等于（ ）A. 32 B. 23 C.2 D.3思路解析：方法一：根据函数 f(x)=2sinx(0)图像的大致位置,得 4T 3,又T= ，所以有 23，即 .方法二：（代入验证法）当 2时，f(x)=2sin(32x)，画图像得在区间- 3, 4上的最小值是 f(- 3)=2sin( 9)-2，故排除A；当 时，f(x)=2sin( 2x)，画图像得在区间- , 4上的最小值是 f(- 3)=-2，故排除 C、D.答案：B变式训练 2(2005 天津高考卷，文 8)要得到函数 y= 2cosx 的图像，只需将函数y= 2sin(2x+ 4)
14、的图像上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 8个单位长度B.横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 4个单位长度C.横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度D.横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 8个单位长度思路解析：由于 y= cosx= (x+)，则将函数 y=2sin(2x+ 4)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y= 2sin（x+ )的图像；再将函数y= 2sin（x+ 4)的图像向左平行移动 4个单位长度得到函数 y= sin(x+
15、2),即函数y= cosx 的图像.答案：C变式训练 3(2005 全国高考卷，理 17)设函数 f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= 8.（1）求 ；（2）求函数 y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数 y=f(x)在区间0,上的图像.思路分析：正弦型函数 y=Asin(x+)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值.解：（1）x= 8是函数 y=f(x)的图像的对称轴，sin(2 +)=1. 4+=k+ 2,kZ.=k+ ,kZ.-0，-k+ 40. 5k 1.k=-1.=- 43.（2）由（1）知 y=sin(2x- 43).令 2k- 2x-
16、2k+ 2,kZ,k+ 8xk+ 5,kZ,即函数 y=sin(2x- 43)的单调递增区间是k+ 8,k+ 5(kZ).（3）由 y=sin(2x- )知：x 0 83857y 2-1 0 1 0 2故函数 y=f(x)在区间0,上的图像如图 1-7-2 所示.图 1-7-2例 2(2005 福建高考卷，理 6)函数 y=sin(x+)(xR,0,02)的部分图像如图 1-7-3，则（ ）图 1-7-3A.= 2,= 4 B.= 3,= 6 C.= 4,= D.= 4,= 5思路解析：由图像得 T=4(3-1)，T=8.= T2= .点(1,1)在函数图像上，则有1=sin( +)，02.
17、4+ 2.= 4.答案：C绿色通道：已知 f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图像,求其表达式，其步骤：(1)求 A：图像最上方的点的纵坐标为 A 的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为 A 的值.(2)求 ：一般由图像可知周期 T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由 T= 2求出 .(3)求 ：确定 时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标 x0,则令 x+=0(或 x+=)即可求出 .有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定 与 .若对 A、 的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求.变式训练已知函数 y=Asin(
18、x+） （A0,0,| 2)的图像的一个最高点为(2,2)，由这个最高点到相邻最低点的图像与 x 轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解析式.思路分析：抓住函数 y=Asin(x+）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2， 2） ，A= .又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与 x 轴的交点为(6,0)， 4T=6-2=4，即 T=16.= T2= 8.将 y= 2sin( 8x+)代入最高点坐标，得 2= sin( 82+).sin( 4+)=1.| ,= .函数的解析式为 y= sin( x+ 4).问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路 1：从定义上分析；思路
19、 2：从周期函数的图像上分析；思路 3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数 T，使得对任意实数 x，总有 f(x+T)=f(x)成立.例如：求函数 y=2sin( 2x- 6）的周期.解：f(x+4)=2sin 1(x+4)- =2sin( 2x+2- 6)=2sin( 2x- 6)=f(x),y=2sin(2x- 6)的周期是 4.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法.例如：求函数 y=|si
20、n2x|的周期.解：画函数 y=|sin2x|的图像，如图 1-7-4 所示.图 1-7-4函数 y=|sin2x|的图像每隔 2就重复出现，则函数 y=|sin2x|的周期是 2.利用图像法可得如下结论：(A0,0)函数 y=|Asin(x+）|的周期是 ；函数 y=|Acos(x+）|的周期是 ；函数 y=|Atan(x+）|的周期是 .（3）公式法：利用常见的公式（结论） ，求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：一般地，函数 y=Asin(x+)（其中 A、 为常数，A0，0）的周期 T=.如 y=2sin(2x+ 65)的周期 T= 2=.一般地，函数 y=Acos(x+)（其中 A、 为常数，A0，0）的周期 T= 2.如 y=-2cos(3x+ )周期 T= 3.一般地，函数 y=Atan(x+)（其中 A、 为常数，A0，0）的周期 T= .如 y=-2tan(4x+ 6)周期 T= 4.这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.
