1、广义分式规划的鞍点最优性准则第 27 卷第 1 期2004 年 2 月浙江师范大学(自然科学版)JOURNALOFZHEJIANGNORMALUNIVERSITY(Nat.Sci.)Vo1.27,NO.1Feb.2004文章编号:10015051 一(2004)Ol 一 000605广义分式规划的鞍点最优性准则王兴国(温州师范学院初等教育学院.浙江温州 325400)摘要:建立了一类广义分式规划的一个不完全 I.agrange 函数,并利用这一函数研究广义分式规划的鞍点最优性准则,在不变凸性假设下,获得了该类广义分式规划鞍点最优性的充分条件和必要条件.关键词:不完全 Lagrange 函数;不
2、变凸性;广义分式规划; 鞍点中图分类号:O221.2 文献标识码:A0 引言设 R“表示维欧氏空间,R 表示它的非负象限.文献 E1-考虑了规划:(P)min 厂();S.t.h,()O.=1,2,P.其中 f,h:R 一 R(一 1,2,p).对 J:1,2,P),M,设 N=JM,lMl,lN1 分别表示集合 M,N 中的元素个数,()是列向量(),h.(),h(),x 一xERlh()O,JN),那么()一(M(),h(). 文献1称由 L(x,M)一厂 ()+(M)hM()给出的函数 L:XR.一 R 为规划(P) 的不完全Lagrange 函数.文献1发现, 不完全 Lagrange
3、 函数 L(,AM)与规划(P)的 Lagrange 对偶规划有关,并指出 MondWeir 型对偶与不完全 Lagrange 函数 L(x,M)的联系和 Wolf 对偶与 Lagrange 函数L(x,)一厂()+Arh()的联系是一致的,并且在不变凸性假设下建立了规划(P)及以下规划:(FP)min(厂()/g(x);S.t.h()O,一 1,2,P.其中 f,g,h:R 一 R(一 1,2,p)在可行域内二次可微且 g()O.(GFP1)minmax(f()/g();Rl qS.t.h,()O,l,2,P.其中,g,h:R-R(i=1,2,q;一 1,2,p)在可行域内二次可微且 g()
4、O 的混合型对偶和相应的对偶原理.文献 E2在不变凸性假设下,利用不完全 Lagrange 函数 ,分别研究并获得了规划(P),(FP),(GFP1)的鞍点最优性准则.显然,(GFP1)中,1q,i 的个数是有限的,那么对无限情形又是如何呢?本文考虑广义分式规划收文日期:20021102;修订日期:20031023作者简介:王兴国(1968 一),男,浙江温岭人,副教授.研究方向:数学规划第 1 期王兴国:广义分式规划的鞍点最优性准则 7(GFP2)min;S.t.g(z)0.(1)其中 y 是 R 中的紧集,厂(?,?):RR 一 R 是可微函数且 f(x,.y)jo,h(?,?):RR一
5、R 是可微函数且 h(x,.y)O,g(?):R 一 R 是可微函数.文献33 已在(F,JD)一凸性假设下给出了广义分式规划(GFP2)的混合型对偶及相应的对偶原理.在不变凸性假设下,类似文献3中的证明,容易获得广义分式规划(GFP2) 的混合型对偶及相应的对偶原理.本文的主要目的在于,设法构造一个关于规划(GFP2)的不完全 Lagrange 函数,在不变凸性假设下建立广义分式规划(GFP2)的鞍点最优性准则.Y.iJ=/1,2,.,(z)一 .,lg,(z)一 o;y()一.y yl 暑一丢至碧;K 一(s,t,.y)NRLRl1s,2+1,一(1,t2,t)RL,.y 一(.y1,.y
6、2,.y)且t.一 1,.y.y(z),i 一 1,2,s.文献4中,Chandra 和 Kumar 得到了关于规划(GFP2) 的如下一个一阶必要条件:定理 1(必要条件) 设 z是(GFP2) 的最优解,g(z),JJ(z)线性独立,那么存在(S,t,.y)K, R,R,使得sP,f(x,.y)一 Vh(x,.y)+g(z) 一 o;(2)一 1J 一 1f(x.,.y)一 h(z,.y)一 0,i 一 1,2,S;(3),gJ(z)一 0;(4)R 阜 ,o,t.*一 0,.yY(x),i 一 1,2,s.其中)一 .考虑不变凸性的假设,本文需要引进如下定义:定义 15设 g:XR(XR
7、)是可微函数 ,则(1)若存在函数:XX,使函数 g 在 U(UX)处对任意 zX,均有g(z)一 g(“)(z,“)g(“),则称 g 在 U 处矿不变凸;(2)若存在函数:XXR,使函数 g 在 U(“X) 处对任意 zX,均有(z,“)g(“)Og(z) g(“),则称 g 在 U 处矿不变伪凸;(3)若存在函数:XX,使函数 g 在 U(uEX)处对任意 zX, 均有g(z)g(“)(z,“)g(“)0,则称 g 在 U 处矿不变拟凸.1 主要结果(5)考虑规划(GFP2),设 S 是它的可行域,N 一八 M,lMl 和 lN1 分别表示集合 M 和 N的元素个数.X 一zRlg(z)
8、0,J N;K 一(s, ,.y)NR2Rl1s,2+1,t 一(1,t2,)胜,一(.y1,此,.y)8 浙江师范大学(自然科学版)且t=1,Y y(),i 一 1,2,5.取 LG:XKR 一 R 为规划(GFP2)的不完全 Lagrange 函数,其中LG(一.定义 2 若对任意 zX,(s,t,) K,MR,存在(z,(s,t,Y),)XKR,使得LG(z,(s,t,),;tM)LG(,(s,t,歹),)LG(.(s,t, 歹),),则称点(,(s,t,歹),)为不完全 Lagrange 函数 LG 的鞍点.定理 2(必要条件) 设是(GFP2)的最优解,g,(z),JJ()线性独立,
9、且对 z 所确定的及任一给定的R,在 z 处不变伪凸,()TgN(?)在 z 处不变拟凸,那么(,(s,t,),)XKR_M 为不完全 Lagrange 函数L.的鞍点.证明由定理 1 知,(2) (5) 式成立 .对任意 zX, 由(4) 式得()gr()0=()gN(z),因()TgN(?)在 z 处不变拟凸,所以叩(,)()g(z.)0.(6)由(2)式和(6)式得T(z,z)ti*-Vf(x) 一 73*Vh(x)+;/g(z)0.(7)由(3)式和(4)式得*一:一:.(8)h(z,Yr)()rh(,了)(*)rh(*,.).将(8)式代人(7)式得(z,z)()rf(x,歹)+()
10、gM(z)一丛(z,)(t)h(,Y)0.由上式得(z)o.(t)h(?Y)而号在处不变伪凸,所以(.)f(x,Y)+()g(驯,()f(x,)+()rg(z)()h(,Y.)(t)rh(z,.)即LG(z,(s,t,Y),)LG(,(s,t, 歹),).(9)由 z 是(GFP2)的最优解和(3)式得所以,对任意(s,t,)K,均有h(z,Y),.)厂(z,v):up第 1 期王兴国:广义分式规划的鞍点最优性准则 9于是一,h(z,),);,),Y).由 M,R!及(1)式和(4) 式知(M)TgM(z) 0,()gM(z)一 0.结合(10)式和 (11)式可得(10)(11)()rf(x
11、,歹)+()TgM(z),tTf(x,)+(M)gM(z)一.于是LG(z,(s,t,),M)LG(z,(s,t,),).(12)由(9)式和(12)式得LG(,(s,t,),)LG(z,(s,t,),)LG(,(s,t,),),即点(.,(s,t,),)为不完全 Lagrange 函数 L6 的鞍点.定理 3(充分条件) 设(,(s,t,),)为不完全 Lagrange 函数 Lc 的鞍点,那么()gf()=0 且是(GFP2) 的一个最优解 .证明由 LG(.,s,t,M)LG(z.,s,t,) 得(.)h(z,)trf(x,)+(M)gM()tTh(,)由(s,t,) K 的任意性,可在
12、上式中令 tr 一(), 一,则可得(M)gM(z)()gM().由f R. 的任意性可知,()gM(z)一 0,且 gM(z)0,从而S.又LG(,5,t,)LG(z,s,t,),即()f(x,歹)+()rg(z)()h(z,)所以(.)Tf(x, 歹 )+()Tg(z)(.)h(z,)而 SX,所以()f(x,)+()g(z)(t)h(,)蔷: ,zX.,/一一“-?(t)h(z,v)!: 一,z S.(13)(t)h(z,v.)?假设不是(GFP2)的最优解,则存在(GFP2)的可行解 z,使得对所有 i=1,2,s,均有:!h(z,)于是(z,)h(,).,;浙江师范大学(自然科学版)
13、2004 矩而!:!:竺 !:(t)h(,Y)(t)h(1,2,S;,Y)()gM(z)=0,()gM()0,所以(f)f(,Y)+()g()(t)h(,Y)与(13)式相矛盾 .于是,是(GFP2)的最优解.(t)f(,Y)+(t)h()g()参考文献:1BectorCR,ChandraS,Abha.OnMixedDualityinMathematicalProgrammingJ.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2001,259:346356.21BeetorCR,ChandraS,Abha.OnIncompleteLagrangeF
14、unctionandSaddlePointOptimalityCriteriainMathematicalProgrammingEJ.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2000,251:2 一 l:.3王兴国.广义分式规划的混合型对偶j. 浙江师范大学:自然科学版,2001,24(4):332336.4Chandras,KumarV.DualityinfractionalminimaxprogrammingJ.AustralMathSocSerA,1995,58:376386.53HasonMA.OnSufficiencyoftheKuh
15、nTuckerconditionJ.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,1981,80:545550.SaddlepointoptimalitycriteriaforgeneralizedfractionalprogrammingWANGXingguo(SchoolofElementaryEducation,WenzhouTeachersCollege,WenzhouZhejiang325400,China)Abstract:Inthispaper,anincompleteLagrangefunctionwasestablishedandu
16、sedtostudythesaddlepointoptimalitycriteriaforaclassofgeneralizedfractionalprogramming.Underinvexityassumptions,theoptimalitysufficientconditionandtheoptimalitynecessaryconditionwereobtainedforthisclassofgeneralizedfractionalprogramming.Keywords:incompletelagrangefunction;invexity;generalizedfractionalprogramming;saddlepoint(责任编辑陶立方)一
