1、直线 平面 简单的几何体1.平面的性质：公理 1 如果一条直线有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。A l,B l， A ,B l 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，而且这些点都在同一条直线上（两平面相交，只有一条交线） 。如图PAB，PCD 所在平面有一个公共点 P，则把平面延展之后它们必定还有其他公共点，且在同一直线上。P ,l且 P l公理 3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面推论 1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论 2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。2.两
2、条直线的位置关系 平行、相交、异面，其中平行、相交称为共面直线（1）异面的判断方法 定义：没有公共点且不平行； 判断定理：面的交线和面内不过该交点的直线是异面直线。（2）两条直线垂直 共面垂直，异面垂直，都叫两直线垂直（3）空间平行直线 公理 4 平行于同一直线的两直线平行（即平行线的传递性） 。3.线面位置关系： abc A直 线 在 平 面 内 直 线 和 平 面 相 交 ， 记 为 =直 线 在 平 面 外 直 线 和 平 面 平 行 ,记 为4.直线和平面平行： 直线和平面没有公共点（1）判定定理（线线平行 线面平行）如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么面外的直线平行于平面
3、。am 且 am， ，则 aA。(2) 性质定理 （线面平行 线线平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。a，a ，=b，则 ab.5.两个平面平行：两个平面没有公共点（1）判定定理 （线面平行 面面平行）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 A BllP A B C D a b A c a m b a 面内的两条直线，那么这两个平面平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。m，m，则（2）性质定理 （面面平行 线线平行）两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它
4、们的交线平行；（面面平行 线面平行）两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面；夹在两个平行平面间的两条平行线段相等；如果两个平行平面中的一个和一条直线垂直，那么另一个也和这条直线垂直。直线称为两个平行平面的公垂线，它夹在两个平面间的部分，叫做两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长叫做平行平面间的距离。平行间的相互转化关系： 线线平行 线面平行 面面平行6.直线和平面垂直 一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就称为直线和平面垂直（常用于证明线线垂直，简记为 线面垂直 线线垂直）（1）判定定理（线线垂直 线面垂直）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这
5、条直线垂直于这个平面。（2）性质定理过一点和已知平面垂直的直线只有一条；过一点和已知直线垂直的平面只有一个（相互的唯一性） ； 两平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。反之，两条直线都垂直于同一个平面，则它们一定平行；直线和平面平行，那么直线上各点到平面的距离相等。都叫做这条直线和这个平面的距离。 线段垂直平分面上的点到线段两端点距离相等。（3）射影 过一点做平面的垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影。直线和平面不垂直相交，直线称为斜线，交点称为斜足。 斜线在平面内的射影：过斜线上不同于斜足的任一点作面的垂线，垂足斜足连线称为斜线在平面内的射影。射影性质斜线段相等，对应的射影也
6、相等，较长的斜线段对应的射影也较长射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长垂线段比任何一条斜线段都短（4）三垂线定理 在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。反之，平面内的直线和斜线垂直，那么它和斜线的射影垂直。面内的直线垂直斜线 面内线垂直射影 PO，a 则 aOA AaPAma b O P A a a b 7. 两个平面垂直 平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。（1）判定定理 （线面垂直 面面垂直）一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 a，a （2）性质定理 （面面垂直 线面垂直）两个平面互相垂直，那么在一个
7、平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。，=b ，a ，ab a8.空间直角坐标系空间向量坐标运算 123123abb（ ， ， ） ， （ ， ， ）（1） 1a(,)b（2） 23（3） 1aa（ ， ， ）（4） 23|ab|cos,b由此得到向量夹角公式 123221cos,|a+b+a（5） 312aabbA（6） 1230+ab09.角（1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（方向不同则互补） 。（2）最小角定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成角（即线面角）是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角。 三余弦公式 cos=c
8、os 1cos 2，其中 称为斜线角即斜线和平面内任一直线所成角； 1线面角， 2是射线角即射影和面内直线所成角。（3）角的定义异面直线所成角：已知两条异面直线 a，b，过空间中任一点 O 作 ,abA， 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角。求异面直线角方法 一种是平移法，找出角。题目中如果给出了中点，往往通过中位线x y z B C A O 2 1 来找出平行线。另一种是向量法，不必平移，利用公式 cos= ab|求出的向量角或其补角就是异面直线所成角。斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角。求线面角的方法：求法 1，解由垂线斜线及其射影构成的直角三角
9、形；求法 2，三余弦公式 cos=cos 1cos 2；求法 3，向量法：线面角=| |，其中 是斜向量和法向量所成角。二面角 从同一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面。二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。求二面角大小的方法 直接法：用定义或者三垂线定理作出二面角的平面角，解三角形；向量法，两个面的法向量一进一出，则法向量角就是面面角；射影面积公式S=Scos 法，其中 S是射影面积，S 是原图形面积。法向量就是和平面垂
10、直的向量，法向量有无数个。法向量的求法：设出法向量坐标，找到面内的两个相交向量，由法向量和它们的数量积为 0 即可取出一个法向量。(关于向量法求角问题，可参见另一份专题资料，空间向量在立体几何中的应用)（4）角的范围：异面直线所成角范围：0 2两直线所成角范围： 0 线到线的角范围： 0两向量所成角范围： 0斜线与平面所成角的范围：0 2直线与平面所成角的范围：0 二面角的范围: 0 10.距离（1）点到平面的距离：点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离。（2）直线到平面的距离，如果直线和平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离。（3）平面到平面的距离，如果
11、两个平面平行，那么它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离。 （ 图 2 进 m 进 n1 出 n2 图 4 P A O n （4）两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离。求线面距离、面面距离都可归为求点面距离（5）点面距离求法等体积法，利用锥体的体积公式求解向量法，求出面的一个法向量，点面距离就是面的任何一个斜向量在法向量方向上的射影长。如图的角锐 可能是斜向量 AP和法向量 n所成角也可能是其补角，所以cos=|cos|=|点 P 到面 的距离就是|PO|PO|=|AP|cos=|AP| |Pn= |Pn|（6）异面直线间距离的向量求法为：设向量 与两异面直线 a、b 都垂直
12、，Ma，Pb,则两异面直线 a、b 间的距离 d 就是 M在向量 n方向的射影长。即 d=|nMP|11.多面体、正多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种结论：正四面体 ABCD 中，外接球的半径 OC，内切球半径 OH，则 R 外 ：R 内 =3：112.柱体及性质（1）概念 如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平
13、行，这样的多面体叫做柱体。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。（2）棱柱性质棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有侧棱都相等。直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。（3）平行六面体与长方体底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体。侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。四 棱 柱 平 行 六 面 体 直 平 行 六 面 体 长 方 体 正 四 棱
14、柱 正 方 体 性质 长方体的一条对角线长的平方等于同一个顶点上的三条棱长的平方和.即 l2=a2+b2+c213.锥体及性质（1）概念 如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫做棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（2）棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似。截面与底面面积比等于顶点到截面距离与原棱锥高的平方比。截得的小棱锥与原棱锥体积比等于顶点到截面距离与原棱锥高的立方比（即面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方） 。（3）正棱锥的性质正棱锥各侧棱相等，各侧面
15、都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它们叫做正棱锥的斜高，如下图的 PE） ；正棱锥的高、斜高及斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，如 RtPOE，正棱锥的高、侧棱及侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形，如 RtPOA。14.球（1）球的定义 到定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球。半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面称为球面，球面及其内部称为球。（2）球的性质用一个平面截球，所得截面是一个圆面平面过球心，所得圆叫做大圆，不过球心称为小圆。（3）球面距离 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这段弧长称为两点的球面距离。因为大圆圆心就是球心，故球面距离 l=球心角 球半径 R.(4)经度角、纬度角经度角是面面角，是一条经线和本初子午线及地轴构成的二面角的平面角。纬度角是线面角，是球面上一点和球心连线与赤道平面所成角。（5）球的表面积、体积公式表面积 S=4R 2体积 V= 43R 3结论：正方体的内切球直径等于正方体的棱长正方体的外接球直径等于正方体对角线长。
