1、定积分及应用第一节 定积分的概念一、定积分的实际背景1. 曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.yOM PQNB xCAA曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值 了.如下图所示： 0x 1x 2x xnO xyy = f (x)曲边梯形面积的确定步骤：(1)分割 任取分点 ,把底边 a,
2、b分成 n 个小区间0121naxx推广为, ( . 1x2,)in小区间长度记为 来源:1(,2);iixn(2) 取近似 在每个小区间 上任取一点 竖起高线 ,则得小长条面积ixi()if的近似值为 ( );iA()iif,(3) 求和 把 n 个小矩形面积相加( 即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积 A 的近似值;12 1()()nniiifxfxfxfx (4)取极限 令小区间长度的最大值 趋于零 ,则和式 的极maiin 1()niifx限就是曲边梯形面积 A 的精确值，即 01l().iiifx2变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间间隔 上的连续函数，且()vt12
3、,T0，要计算这段时间内所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似：()vt(1 )分割 任取分点 ，把10212nTtt 分成 个小段，每小段长为12,Tn（ ）; 1iitt,(2)取近似 把每小段 上的运动视为匀速，任取时刻 ，作乘积it 1,iit，显然这小段时间所走路程 可近似表示为 （ ）;()ivtis()iv2n(3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总路程 s 的近似值，即 ;1()niisvt(4)取极限 当 时，上述总和的极限就是 的精确值，即max0iints.01lim()nisvt二、定积分的概念 定义 设函数 在 上有定义，任取分点()yfx,ab
4、,分 为 n 个小区间123ax 1nab1,iix.记(,)in, 11(,2),mxiii iinx再在每个小区间 上任取一点 ，作乘积 的和式：1,iix i()ifx1(),niif如果 时,上述极限存在（即，这个极限值与 的分割及点 的取法均无关）0,abi，则称此极限值为函数 在区间 上的定积分，记为()fx,ab01()dlim,nbiafxf其中称 为被积函数, 为被积式， 为积分变量， 为积分区间，f()dfx,ab分别称为积分下限和上限.,b定积分定义的说明：(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： .一般地，11220
5、0dxt. ()d()bbaafxft(2)定义中要求积分限 ，我们补充如下规定：b当 时， ,b()d0bafx当 时， .()dabfx(3)定积分的存在性：当 在 上连续或只有有限个第一类间断点时 , f,在 上的定积分存在（也称可积）.()fx,ab三、定积分的几何意义如果 ，则 , 此时 表示由曲线 ，()0fx()d0bafx()dbafx()yfx,xab及 轴所围成的曲边梯形的面积 A，即 .()dbafxAx O y a b A y=f(x) x O y a b -A y=f(x) 如果 0，则 ， 此时 表示由曲线 ，()fx()d0bafx ()dbafx()yfx及 轴
6、所围成的曲边梯形的面积 A 的负值，即 .,a A如果 在 上有正有负时，则 表示由曲线()fx,b()dbafx，直线 及 x 轴所围成的平面图形的面积位于 xya轴上方的面积减去位于 x 轴下方的面积，如右图所示，即123()d.bafxA四、定积分的性质性质 1 函数的代数和可逐项积分，即 .()d()()dbbbaaafxgfxgx性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即（ 为常数）. ()d()bbaakfxfk性质 3 （积分区间的分割性质） 若 ，则 acb.()()()dbcbaacffxfx注：对于 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如： ，, abc则 ,
7、()()()()()cbcbbaabacfxdfxfxfxdfx仍有 d.cc性质 4 （积分的比较性质） 在 上若 g(x)，则 .,f()dbafx()bagx性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 在 上的最大值与最小值，则 , .()mba()dbfx()ba证 因为 （题设） ，由性质 4 得 ，再将常fxdax()bafxdbaM数因子提出，并利用 ， 即可得证.dba性质 6 （积分中值定理） 如果 在 上连续，则至少存在一点 ，()fx,b,b使得 .()()bafxfb3 A ) ( xf y O a b x y 2 A 1 A 证 将性质 5 中不等式除以 ，得
8、 M.来源:bam1()dbafx设 ,即 .由于 为 区间上的连续函数,所以,它1()dbafxMf能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）.因此在上至少有一点 ，使得 ，即,()f1()d,bafx).a例 估计定积分 的值.21edx解 先求 在-1,1上的最大值和最小值. 因为 2()exf,令 2()xf，得驻点 x=0 ，比较 在驻点及区间端点处的函数值 ()0fx ()fxe1, ,1()ef故最大值 M, 最小值 m = .由估值性质得， 2 .2e21dx第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数 在 上连续, ，于是积分 是一个定数，这种
9、()fxabx,ab()dxaf写法有一个不方便之处，就是 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 ，于是这个积分就写成了 .t ()dxaft当 x在 上变动时，对应于每一个 值,积分 就有一个确定的值，因,ab ()xaft此 是变上限 的一个函数，记作 = （ ）通常称函数 ()daftx()dxxb为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.x定理 1 如果函数 在区间 上连续，则变上限积分 = 在()fx,ab()x(daft上可导，且其导数是 （ ）.,abd()xaftfb推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数 = 即为其原函数.(dxat例 1
10、 计算 = 在 =0 , 处的导数.()x20sindtx2解 因为 = ,故20idti； .2()sin()sin42例 2 求下列函数的导数： (1) ；el()d(0)xat解 这里 是 的复合函数，其中中间变量 ，所以按复合函数求导法则，exu有 .ln(e)ln(ddxxuatx(2) .21si)(0)x解 .21indd2sin()x2sinsinxx二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 定理 2 设函数 在闭区间 上连续，又 是 的任一个原函数，则()fx,ab()Ffx有 .()dbafxFb证 由定理 1 知，变上限积分 也是 的一个原函数，于是知()(
11、)dxaft()fxy ) ( x f y x O x a b ) ( x , 为一常数, 即 .0()xFC 0()d()xaftFxC我们来确定常数 的值，为此，令 ，有 ，得0()aft.0()a因此有 .d()xftFxa再令 ，得所求积分为 .b()d()baftFa因此积分值与积分变量的记号无关，仍用 x 表示积分变量，即得 ,其中 .()d()bafxb()fx上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式 .为计算方便，该公式常采用下面的格式： .()d()()bbaafxFFa例 1 求定积分： (1) ； （2） ；（3） .21x31d()x12dx解 （1） .222
12、1d()x15()46（2） .33112()xd2312d()x312arcsinarcsinarcsi)0.982（3） 在 上写成分段函数的形式x,10,(),xf于是 .101210ddx2210x例 2 计算 .2cos10elimxtx解 因为 时, ,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里csx0是 的复合函数,其中 ,所以2cos1edxt cosux, 22 2coscos cos1e()inextx x于是有 . 2 2 2cos cos1 cos000edineilimllmext xxxx 1e2思考题1.若 ，2()sindxft()?fx2.在牛顿-莱布尼茨
13、公式中，要求被积函数 在积分区间 上连续. 问当 ()fx,ab()fx在 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算,ab其中 2()d,fx2,1,10(),0,2.xfx第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法例 1 求 .40dx解一 xt令 2d11()dt2(ln1)tC= lnxC于是 = .440 0d2(1)1x 2ln3上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去，这只要将原来变量 的上、下限按照所用的代换式 换成新变量 的()xtt相应上、下限即可.本题可用下面方法来解.解二 设 ，即 .来源:xt
14、2(0)t当 时, ;当 时， .04于是 .422 2000d1()d2(ln1)(ln3)1tttx解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量 回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的.以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作.一般地，定积分换元法可叙述如下：设 在 上连续,而 满足下列条件：()fxab()x（1） 在 上有连续导数； （2） ,且当 在 上变化时, 的值在 上变化，(),()t()xt,ab则有换元公式： .()d()dbafxftt上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积.应用中，我们强调指出：换元必须换限.（原）上限
15、对（新）上限， （原）下限对（新）下限.例 2 求 .ln20e1dx解 设 ，即 .xt22ln(1),dttx换积分限：当 时， ,0当 时， ,于是 ln2x1t.l 122000edd()dtt10(arctn)2例 3 求 .24ax解 设 ，则 .sectdsectand换积分限:当 时， ; 时， ,于是 xa02x3t=23440tndsectada 201sincodt. .23201si()t2130i28例 4 求 .20dsinxI解一 （换元法）令 ，所以，当 时，22dta,si,1ttx0x；当 时， ，于是 .0t2x1t1122000()tItt解二 （凑微分
16、法）22002dd(sinco)(tan1)cosxxI. 220 02ta(n1)tan1xx注意:求定积分一定要注意定积分的存在性 . 二、定积分的分部积分法来源:来源:设 , 在a,b上有连续导数，则有()uxv.ddbaau,该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例 5 求 .20cosdx解 2200(sin)x220sisindx2220 0d(co)coc44x.220sin例 6 求 .e1ldx解 .因为 时, ,这时e1e1 1elnllndx1exln0;x1
17、时, ,这时 .于是 ,分lll0l1e1 1eeldllndxx别用分部积分求右端两个积分得,1 11e ee2lndldlnxxx,e11ll最后得 .e12lndex第四节 定积分的应用一、 定积分应用的微元法 (1) 所求量（设为 ）与一个给定区间 有关，且在该区间上具有可加性 . 就是F,ab说， 是确定于 上的整体量，当把 分成许多小区间时，整体量等于各部分量F,ab之和，即 .1ni(2) 所求量 在区间 上的分布是不均匀的，也就是说， 的值与区间 ,abF的长不成正比.（否则的话， 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.,abF定积分应用的微元法： (一) 在区间 上任取
18、一个微小区间 ，然后写出在这个小区间上的部,ab,dx分量 的近似值，记为 (称为 的微元);Fd)fx（二） 将微元 在 上积分（无限累加） ，即得, ()d.baFfx微元法中微元的两点说明： (1) 作为 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关()dfxF于 的高阶无穷小. 即 .这样我们就知道了，称作微元的量 ()d()fxo，实际上是所求量的微分 ;()f(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 上，以“常代变”、 “匀代不匀”、 “直代曲” 的思路（局部线性化） ，,dx写出局部上所求量的近似值，即为微元 . d
19、()Ffx二、用定积分求平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线 及 轴所围图形，如下页左图，面积()0),yfxxabOx微元 ，面积 . d()Af (dbaAf（2） 由上、下两条曲线 及 所围成的图),()()yxgfx,xab形，面积微元 ，面积 . ()fxgdbaAg（3）由左右两条曲 线 及 所围成图形面积微元（注意，(),()yx,yc这时就应取横条矩形 ，即取 为积分变量） ，面积dAyd()dAy. ()dcAy例 1 求两条抛物线 所围成的图形的面积 .22,yx解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定
20、积分区间：解方程组 得交点（0，0）及（1，1）. 2,yx(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 均可，习惯上取竖条，dA即取 为积分变量， 变化范围为0，1 ，于是xx 2d(),x(3)将 表示成定积分，并计算A131220 0()d3.xx2. 极坐标下的面积计算 曲边扇形：是指由曲线 及两条射线 所围成的图形（如右下图）. ()r,取 为积分变量，其变化范围为 ，在微小区,间 上“ 以常代 变”，即以小 扇形面积 作,ddA为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为 21(),Ar将 在 上积分,便得曲边d扇形面积为O y x x x d x 1 (1,1) O x
21、()r21()d.Ar例 2 计算双纽线 所围成的图形的面积（如下图所示）.2cos(0)a解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再 4 倍即可，在第一象限 的变化范围为 ，于是0,42224001cosdsin.Aaa三、用定积分求体积例 6 设有底圆半径为 的圆柱，被一与圆柱面交成 R角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为 在 处垂直于 轴作立体的截面，得一22,xyRxx直角三角形，两条直角边分别为 及 ，即 及 ，其面积ytan2Rx2tanx为 ，从而得楔形体积为21()tanA2 20(tdtan()dR RVxx230tan)tR例 7 求由星形线 绕 x 轴旋转所成旋转体体2233(0)xya积（如图）.解 由方程 2233解出 ，于是所求体积为 2y()ax 2230d()daaVyxxO a y x 4O y x R R a 2a y O x a -a 424223330()w。w-w*k&s%5￥w。w-w*k&s%5￥u
