1、章末检测一、填空题1由 11 2,132 2,1353 2,13574 2，得到 13(2n1) n 2 用的是_推理2在ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，则有 EFBC，这个问题的大前提为_3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为_4用数学归纳法证明：1 时，由 nk 到11 2 11 2 3 11 2 3 n 2nn 1nk1 左边需要添加的项是_5已知 f(x1) ，f(1)1(xN *)，猜想 f(x)的表达式为_2fxfx 26下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 页，则这个数列的一个通项公式为_7对“a，b，c 是不全相等的正数”
2、 ，给出下列判断：(ab) 2(bc) 2( ca) 20；ab 与 bc 及 ac 中至少有一个成立；ac，bc，ab 不能同时成立其中判断正确的个数为_8我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有_个两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱椎9数列a n满足 a1 ，a n1 1 ，则 a2 013_.12 1an10从 11 2,2343 2,345675 2 中，可得到一般规律为_11f(n) 1 (nN *)，经计算得 f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)3，f
3、(32) ，12 13 1n 32 52 72推测当 n2 时，有_12如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第 n 个图有 an个“树枝” ，则an1 与 an(nN *)之间的关系是_13在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 ，把这个结论AEEB ACBC类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图所示) ，面 DEC 平分二面角 ACDB 且与AB 相交于 E，则得到的类比的结论是_二、解答题14把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第
4、三条直线，则这两条直线互相平行151， ，2 能否为同一等差数列中的三项？说明理由316设 a，b 为实数，求证： (ab)a2 b22217设 a，b，c 为一个三角形的三边，s (abc)，且 s22ab，试证：s (n2)2 n212a n1 2a n113. AEEB S ACDS BCD14解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的：证明如下：设 ，且 a，则必有 b，若 与 不相交，则必有 ，又 ， ，与 a 矛盾，必有 b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交15解 假
5、设 1， ，2 能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为3d，则1 md,2 nd，3 3m，n 为两个正整数，消去 d 得 m( 1)n.3m 为有理数，( 1)n 为无理数，3m( 1) n.3假设不成立即 1， ，2 不可能为同一等差数列中的三项316证明 当 ab0 时， 0，a2 b2 (ab)成立a2 b222当 ab0 时，用分析法证明如下：要证 (ab)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2b 2 (a2b 22ab)，即证 a2b 22ab.12a 2b 22ab 对一切实数恒成立， (ab)成立a2 b222综上所述，对任意实数
6、 a，b 不等式都成立17证明 要证 s2a，由于 s22ab，所以只需证 s ，即证 bs.s2b因为 s (abc)，所以只需证 2babc，即证 ba c.12由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立于是原命题成立18解 (1)令 n2，a 1 ，S 2 a2，16 22 12即 a1a 23a 2.a 2 .112令 n3，得 S3 a3，33 12即 a1a 2a 36a 3，a 3 .120令 n4，得 S4 a4，44 12即 a1a 2a 3a 410a 4，a 4 .130(2)猜想 an ，下面用数学归纳法给出证明1n 1n 2当 n1 时，a 1 ，结论成立1
7、6 11 11 2假设当 nk 时，结论成立，即 ak ，1k 1k 2则当 nk1 时，Sk ak ，kk 12 kk 12 1k 1k 2 k2k 2Sk1 ak1 ，k 1k 22即 Ska k1 ak 1.k 1k 22 a k1 ak1 .k2k 2 k 1k 22a k1 k2k 2k 1k 22 1 kkk 3k 2 .1k 2k 3当 nk1 时结论成立由可知，对一切 nN *都有 an .1n 1n 219解 当 n2 时，由 f(1)g(2) f(2)1 ，得 g(2) 2，f1f2 1 11 12 1当 n3 时，由 f(1)f(2) g(3) f(3)1，得 g(3) 3，f1 f2f3 11 1 121 12 13 1猜想 g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当 n2 时，等式 f(1)f(2) f (n1) n f(n)1 恒成立当 n2 时，由上面计算可知，等式成立假设 nk(kN *且 k2)时，等式成立，即 f(1)f(2)f( k1)k f(k)1( k2)成立，那么当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)k f(k)1 f(k) (k 1)f( k)k(k1)f( k1) k1k 1(k1) f(k1) 1，当 nk1 时，等式也成立由知，对一切 n2 的自然数 n，等式都成立，故存在函数 g(n)n，使等式成立
