1、用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则0()Pxy， 0()Pxy，()yfx以 的切点的切线方程为： 若曲线 在点0)yf的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0()f，x下面例析四种常见的类型及解法类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可()fx例 1 曲线 在点 处的切线方程为（ ）321yx()， 432yx yx45解：由 则在点 处斜率 ，故所求的切线方程2()36f(1)，(1)3kf为 ，即 ，因而选(
2、1)yx2yx类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例 2 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（ ）240xy2yx 3230x 1xy 1y解：设 为切点，则切点的斜率为 0()P， 02x|0x由此得到切点 故切线方程为 ，即 ，故选(1)， 1()y10y评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为 ，代入 ，得 ，又因为 ，得 ，故选2yxb2yx20xbb类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例 3 求过曲线 上的点 的切线方程32yx(1)，
3、解：设想 为切点，则切线的斜率为 0()P， 023xy|切线方程为 200(3)(yxx3200()yx又知切线过点 ，把它代入上述方程，(1)，得 320001()xx解得 ，或 故所求切线方程为 ，或 ，即(12)3)(1yx131284yx，或 20xy540x评注：可以发现直线 并不以 为切点，实际上是经过了点xy()，且以 为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切(1)，1728，点，解决此类问题可用待定切点法类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例 4 求过点 且与曲线 相切的直线方程(20)，1yx解：设 为切点，则切线的
4、斜率为 0Pxy 021xy|切线方程为 ，即 0021()x00()又已知切线过点 ，把它代入上述方程，得 ()， 0201()xx解得 ，即 001xyx， 2xy评注：点 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确(2)切位置，充分反映出待定切点法的高效性例 5 已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方3yx(016)A，()yfx程解：曲线方程为 ，点 不在曲线上3yx()，设切点为 ，0()Mxy则点 的坐标满足 300x因 ，20()31)fx故切线的方程为 2003(1)yx点 在切线上，则有 (016)A， 32006(1)xx化简得 ，解得 308x02x所以，切点为 ，切线方程为 ()M，916xy评注：此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若点 A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点 A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点
