1、学案 6 习题课:带电粒子在磁场或电场中的运动1带电粒子在匀强磁场中的运动特点:(1)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行时,带电粒子所受洛伦兹力 F 洛 0,粒子做匀速直线运动(2)当带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向垂直时,带电粒子所受洛伦兹力 F 洛qvB,粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,半径为 r ,周期为 T .mvqB 2mqB2分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的关键是确定圆心和半径(1)圆心的确定:入、出方向垂线的交点;入或出方向 垂线与弦的中垂线的交点图 1(2)半径的确定:利用几何知识解直角三角形做题时一定要作好辅助线,由圆的半径和其他几何边构成直角
2、三角形注意圆心角 等于粒子速度转过的偏向角 ,且等于弦切角 的 2 倍,如图 1 所示,即 2 .3带电粒子在匀强电场中的运动特点:(1)带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场时,粒子做匀变速直线运动(2)带电粒子沿垂直于电场方向进入匀强电场时,粒子做类平抛 运动一、带电粒子在有界磁场中的运动1解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法可总结为:(1)画轨迹( 草图);(2)定圆心;(3) 几何方法求半径2几个有用的结论:(1)粒子进入单边磁场时,进、出磁场具有对称性,如图 2(a)、(b)、(c)所示图 2(2) 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出,如图(d) 所示(3)当速率一
3、定时,粒子运动的弧长越长,圆心角越大,运动时间越长例 1 在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内,存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图 3 所示一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿x 方向射入磁场,它恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿y 方向飞出图 3(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其荷质比 ;qm(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为 B,该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60角,求磁感应强度 B多大?此次粒子在磁场中运动所用时间 t 是多少
4、?解析 (1)由粒子的运动轨迹( 如图),利用左手定则可知,该粒子带负电荷粒子由 A 点射入,由 C 点飞出,其速度方向改变了 90,则粒子轨迹半径 Rr,又 qvBm ,v2R则粒子的荷质比 .qm vBr(2)设粒子从 D 点飞出磁场,速度方向改变了 60角,故 AD 弧所对圆心角为 60,粒子做圆周运动的半径 Rrcot 30 r,又 R ,所以 B B,3mvqB 33粒子在磁场中运动所用时间 t T .16 16 2mqB 3r3v答案 (1)负电荷 (2) B vBr 33 3r3v二、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的
5、轨迹与边界相切这类题目中往往含有“最大” 、 “最高” 、 “至少” 、 “恰好”等词语,其最终的求解一般涉及极植,但关键是从轨迹入手找准临界状态(1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,由于半径不确定,可从轨迹圆的缩放中发现临界点(2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置绕入射点发生了旋转,可从定圆的动态旋转中发现临界点例 2 真空区域有宽度为 L、磁感应强度为 B 的匀强磁场,磁场方向如图 4 所示,MN、PQ 是磁场的边界质量为 m、电荷量为q 的粒子沿着与 MN 夹角为 30的方向垂直射入磁场中,粒子刚好没能从 PQ 边界射出磁场( 不计粒子重力的影响 )
6、,求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间图 4解析 粒子刚好没能从 PQ 边界射出磁场,设轨迹半径为 r,则粒子的运动轨迹如图所示,Lr rcos ,轨迹半径 r .由半径公式L1 cos 2L2 3r 得:v ;由几何知识可看出,轨迹所对圆心角为 300,则mvqB 2LqB2 3m运动时间 t T T,周期公式 T ,所以 t .300360 56 2mqB 5m3qB答案 2LqB2 3m 5m3qB三、带电粒子在电场或组合场中的运动1电荷在复合场中的运动一般有两种情况直线运动和圆周运动(1)电荷在静电力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时,一定是做匀速直线运动(2)电荷在上述复
7、合场中如果做匀速圆周运动,只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现2分析电荷在电场和磁场组合场中的运动,通常按时间的先后顺序分成若干个小过程来进行处理,在每一运动过程中都从粒子的受力分析着手,分析粒子在电场中做什么运动,在磁场中做什么运动例 3 一带电微粒在如图 5 所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动,求:图 5(1)该带电微粒的电性?(2)该带电微粒的旋转方向?(3)若已知圆的半径为 r,电场强度的大小为 E,磁感应强度的大小为 B,重力加速度为 g,则线速度为多大?解析 (1)带电粒子在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动,可知,带电微粒受到的重力和电场
8、力是一对平衡力,重力竖直向下,所以电场力竖直向上,与电场方向相反,故可知带电微粒带负电荷(2)磁场方向向外,洛伦兹力的方向始终指向圆心,由左手定则可判断粒子的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的粒子的运动方向相反) (3)由微粒做匀速圆周运动,得知电场力和重力大小相等,得: mgqE带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为:r mvqB联立得:vgBrE答案 (1)负电荷 (2) 逆时针 (3)gBrE例 4 如图 6 所示,在 x 轴上方有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B;在x 轴下方有沿 y 轴负方向的匀强电场,场强为 E.一质量为 m、电荷量为q 的粒子
9、从坐标原点沿着 y 轴正方向射出,射出之后,第三次到达 x 轴时,它与点 O 的距离为 L,求此粒子射出时的速度 v 的大小和运动的总路程 s(重力不计) 图 6解析 粒子在磁场中的运动为匀速圆周运动,在电场中的运动为匀变速直线运动画出粒子运动的过程草图根据图可知粒子在磁场中运动半个周期后第一次通过 x 轴进入电场,做匀减速直线运动至速度为零,再反方向做匀加速直线运动,以原来的速度大小反方向进入磁场,即第二次进入磁场,接着粒子在磁场中做圆周运动,半个周期后第三次通过 x轴由图可知,R L4在磁场中:F 洛 F 向 ,有 qvBm v2R由解得:v BqRm BqL4m在电场中:设粒子在电场中的
10、最大位移是 l根据动能定理 Eql mv212l mv22Eq mBqL/4m22Eq第三次到达 x 轴时,粒子运动的总路程为一个圆周和两个电场最大位移的长度的和s2 R 2l L2 qB2L216mE答案 BqL4m L2 qB2L216mE1. (带电粒子在有界磁场中的运动) 如图 7 所示,半径为 r 的圆形空间内,存在着垂直于纸面向外的匀强磁场,一个带电粒子(不计重力) ,从 A 点以速度 v0 垂直磁场方向射入磁场中,并从 B 点射出,AOB 120,则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )图 7A2 r/3v0B2 r/3v03Cr /3v0D. r/3v03答案 D解析 带电粒子在
11、磁场中做匀速圆周运动,由几何关系可求出圆心角和半径,则可求得粒子转过的弧长,由线速度的定义可求得运动的时间由题意可知,粒子转过的圆心角为 60,R r,转过的弧长为3l 2R r,则运动所用时间 t ;故选 D.60360 R3 33 lv0 3r3v02. (带电粒子在磁场中的运动)如图 8 所示,左右边界分别为 PP、QQ的匀强磁场的宽度为 d,磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里一个质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子,沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场欲使粒子不能从边界 QQ射出,则粒子入射速度 v0 的最大值可能是( )图 8A. B.Bqdm 2 2BqdmC. D.2 2Bq
12、dm 2Bqd2m答案 BC解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动,由 R 知,粒子的入射速度 v0 越大,R 越大,mv0qB当粒子的径迹和边界 QQ相切时,粒子刚好不从 QQ射出,此时其入射速度 v0 应为最大若粒子带正电,其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为 O 点) ,容易看出 R1sin 45dR 1,将 R1 代入上式得 v0 ,B 项正确若粒子带负电,其运动轨迹mv0qB 2 2Bqdm如图(b)所示(此时圆心为 O点) ,容易看出 R2R 2cos 45d,将 R2 代入上式得 v0mv0qB,C 项正确2 2Bqdm3. (带电粒子在组合场中的运动)如图 9 所示,第象限中存在竖
13、直向下的匀强电场,在 x轴的下方 L 处存在一个垂直纸面向外的单边界匀强磁场今有一个电荷量为q、质量为m 的粒子(不计重力)从 A 点(L, )处以速度 v0 水平射入电场,恰好从坐标原点 O 处飞出,L2运动一段时间之后进入匀强磁场,并在磁场中经过 P 点(0,L) 求:图 9(1)匀强电场的电场强度的大小;(2)匀强磁场的磁感应强度的大小;(3)粒子从 A 点运动到 P 点的时间答案 (1) (2) (3) mv20qL 2mv0qL 3L4v0 2Lv0解析 (1)电场中,粒子做类平抛运动水平方向:Lv 0t竖直方向: at2L2 12且 aqEm联立得:Emv20qL(2)飞出电场瞬间
14、竖直速度 vyatv 0,v v02tan 1,则 45粒子以 45进入磁场,轨迹如图所示由几何关系可得:R L22因 qvB ,得 B .mv2R 2mv0qL(3)由(1)可知粒子在电场中运动的时间:t 1Lv0出电场运动到磁场做匀速直线运动用时:t 2 L2v Lv0磁场中用时:t 3 T34 3L4v0总用时:tt 1t 2t 3 .3L4v0 2Lv0题组一 带电粒子在有界磁场中的运动1.如图 1 所示,在一矩形区域内,不加磁场时,不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入,穿过此区域的时间为 t.若加上磁感应强度为 B、水平向外的匀强磁场,带电粒子仍以原来的初速度入射,粒子飞出时
15、偏离原方向 60角,利用以上数据可求出下列物理量中的( )图 1A带电粒子的荷质比B带电粒子在磁场中运动的周期C带电粒子的初速度D带电粒子在磁场中运动所对应的圆心角答案 ABD解析 由带电粒子在磁场中运动的偏向角,可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为 60,因此由几何关系得 lRsin 60,又由 Bqv0m 得 R ,故 l sin 60,又未加磁v20R mv0qB mv0qB场时有 lv 0t,所以可求得荷质比 ,故 A、D 正确;根据周期公式 T 可得qm sin 60Bt 2mBq带电粒子在磁场中运动的周期 T ,故 B 正确;由于半径未知,2mBq 2B Btsin 60 2tsin
16、 60所以初速度无法求出,C 错误2.如图 2 所示,圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c,以不同的速率对准圆心 O 沿着 AO 方向射入磁场,其运动轨迹如图若带电粒子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是( )图 2Aa 粒子动能最大Bc 粒子速率最大Cb 粒子在磁场中运动时间最长D它们做圆周运动的周期 Tatbtc,C、D 错误,故选 B.3如图 3 所示,两个横截面分别为圆形和正方形的区域内有磁感应强度相同的匀强磁场,圆的直径和正方形的边长相等,两个电子分别以相同的速度分别飞入两个磁场区域,速度方向均与磁场方向垂直,进入圆形磁场的电子初速度方向对准圆心
17、;进入正方形磁场的电子初速度方向垂直于边界,从中点进入则下面判断正确的是( )图 3A两电子在两磁场中运动时,其半径一定相同B两电子在磁场中运动的时间有可能相同C进入圆形磁场区域的电子可能先飞离磁场D进入圆形磁场区域的电子可能后飞离磁场答案 ABC解析 电子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力:qvBm ,整理得 R ,v2R mvqB两过程电子速度 v 相同,所以半径相同,故 A 正确电子从 O 点水平进入磁场,由于它们进入圆形磁场和矩形磁场的轨道半径、速度是相同的,我们把圆形磁场和矩形磁场的边界放到同一位置如图所示,由图可以看出进入磁场区域的电子的轨迹 1,先出圆形磁场,再出矩形磁场
18、;进入磁场区域的电子的轨迹 2,同时从圆形与矩形磁场的边界出磁场;进入磁场区域的电子的轨迹 3,先出圆形磁场,再出矩形磁场,所以电子不会先出矩形磁场,即进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场,B、C 正确,D 错误4.如图 4 所示为一圆形区域的匀强磁场,在 O 点处有一放射源,沿半径方向射出速率为 v的不同带电粒子,其中带电粒子 1 从 A 点飞出磁场,带电粒子 2 从 B 点飞出磁场,不考虑带电粒子的重力则( )图 4A带电粒子 1 的荷质比与带电粒子 2 的荷质比比值为 31B带电粒子 1 的荷质比与带电粒子 2 的荷质比比值为 13C带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间比值为
19、21D带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间比值为 12答案 A解析 根据题图中几何关系,tan 60R/ r1,tan 30R/r 2,带电粒子在匀强磁场中运动,r ,联立解得带电粒子 1 的荷质比与带电粒子 2 的荷质比比值为 31,选项 A 正确,mvqB选项 B 错误;带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间比值为 2 23,选t1t223r13r2 r1r2项 C、D 错误题组二 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题5.如图 5 所示,荷质比为 e/m 的电子垂直射入宽度为 d、磁感应强度为 B 的匀强磁场区域,则电子能从右边界射出这个区域,至少应具有的初速度大小为( )
20、图 5A2eBd /m BeBd /mCeBd/2m D. eBd/m2答案 B解析 要使电子能从右边界射出这个区域,则有 Rd,根据洛伦兹力提供向心力,可得R d,则至少应具有的初速度大小为 v ,B 正确mvBe eBdm6.如图 6 所示,在边长为 2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为 m、电荷量为q 的带电粒子 (重力不计)从 AB 边的中点 O 以速度 v 进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 AB 边的夹角为 60,若要使粒子能从 AC 边穿出磁场,则匀强磁场磁感应强度 B 的大小需满足( )图 6AB BB DBr0,解得 B ,选项 B
21、 正确3mv3aq题组三 带电粒子在混合场或组合场中的运动7.如图 7 所示,在 xOy 平面内,匀强电场的方向沿 x 轴正向,匀强磁场的方向垂直于 xOy平面向里一电子在 xOy 平面内运动时,速度方向保持不变则电子的运动方向沿( )图 7Ax 轴正向 Bx 轴负向Cy 轴正向 Dy 轴负向答案 C解析 电子受电场力方向一定水平向左,所以需要受向右的洛伦兹力才能做匀速运动,根据左手定则进行判断可得电子应沿 y 轴正向运动8如图 8 所示,A 板发出的电子(重力不计) 经加速后,水平射入水平放置的两平行金属板M、N 间,M、N 之间有垂直纸面向里的匀强磁场,电子通过磁场后最终打在荧光屏 P 上
22、,关于电子的运动,下列说法中正确的是( )图 8A当滑动触头向右移动时,电子打在荧光屏的位置上升B当滑动触头向右移动时,电子通过磁场区域所用时间不变C若磁场的磁感应强度增大,则电子打在荧光屏上的速度大小不变D若磁场的磁感应强度增大,则电子打在荧光屏上的速度变大答案 AC解析 当滑动触头向右移动时,电场的加速电压增大,加速后电子动能增大,进入磁场的初速度增大,向下偏转程度变小,位置上升,选项 A 正确由于在磁场中运动对应的圆心角变小,运动时间变短,选项 B 错误电子在磁场中运动速度大小不变,选项 C 正确,D错误9.如图 9 所示,两块水平放置、相距为 d 的长金属板接在电压可调的电源上两板之间
23、的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面,从喷口连续不断地喷出质量均为 m、水平速度均为 v0、带相等电荷量的墨滴调节电源电压至U,墨滴在电场区域恰能水平向右做匀速直线运动;进入电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的 M 点图 9(1)判断墨滴所带电荷的种类,并求其电荷量;(2)求磁感应强度 B 的值;(3)现保持喷口方向不变,使其竖直下移到两板中间的位置为了使墨滴仍能到达下板 M 点,应将磁感应强度调至 B,则 B的大小为多少?答案 (1)负电荷 (2) (3)mgdU v0Ugd2 4v0U5gd2解析 (1)墨滴在电场区域做匀速直线运动,有q mg Ud
24、由式得:q mgdU由于电场方向向下,电荷所受电场力向上,可知:墨滴带负电荷(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域后,重力仍与电场力平衡,合力等于洛伦兹力,墨滴做匀速圆周运动,有qv0Bm v20R考虑墨滴进入电场、磁场共存区域和下板的几何关系,可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动,则半径Rd 由式得 Bv0Ugd2(3)根据题设,墨滴运动轨迹如图所示,设墨滴做圆周运动的半径为 R,有qv0Bm v20R由图可得:R 2d 2( R )2 d2由式得:R d 54联立式可得:B .4v0U5gd210.如图 10 所示,有界匀强磁场的磁感应强度 B210 3 T;磁场右边是宽度 L0.2 m、
25、场强 E40 V/m、方向向左的匀强电场一带电粒子电荷量为 q3.210 19 C 的负电荷,质量 m6.410 27 kg,以 v410 4 m/s 的速度沿 OO垂直射入磁场,在磁场中偏转后进入右侧的电场,最后从电场右边界射出求:图 10(1)大致画出带电粒子的运动轨迹( 画在题图上);(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径;(3)带电粒子飞出电场时的动能答案 (1)见解析图 (2)0.4 m (3)7.6810 18 J解析 (1)运动轨迹如图所示(2)带电粒子在磁场中运动时,由牛顿第二定律有qvBmv2RR m0.4 mmvqB 6.410 2741043.210 19210 3(3)E
26、k EqL mv2403.210 19 0.2 J 6.410 27(4104)2 J7.6810 18 J12 1211.在平面直角坐标系 xOy 中,第 象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场,第象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子从y 轴正半轴上的 M 点以一定的初速度垂直于 y 轴射入电场,经 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成 60 角射入磁场,最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场,已知 ONd,如图 11 所示不计粒子重力,求:图 11(1)粒子在磁场中运动的轨道半径 R;(2)粒子在 M 点的初速度 v
27、0 的大小;(3)粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t.答案 (1) d (2) (3)233 3qBd3m 33 2m3qB解析 (1)作出带电粒子的运动轨迹如图所示由三角形相关知识得 Rsin d解得 R d233(2)由 qvBmv 2 /R 得 v23qBd3m在 N 点速度 v 与 x 轴正方向成 60角射出电场,将速度分解如图所示cos 得射出速度 v2v 0,v0v解得 v03qBd3m(3)设粒子在电场中运动的时间为 t1,有 dv 0t1所以 t1 dv0 3mqB粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T2mqB设粒子在磁场中运动的时间为 t2,有 t2 T 2所以 t22m
28、3qBtt 1t 2,所以 t33 2m3qB12如图 12 所示,在半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强mv0Bq度为 B,圆形区域右侧有一竖直感光板 MN,圆顶点 P 有一速率为 v0 的带正电的粒子平行于纸面进入磁场,已知粒子的质量为 m,电荷量为 q,粒子的重力不计图 12(1)若粒子对准圆心射入,求它在磁场中运动的时间;(2)若粒子对准圆心射入,且速率为 v0,求它打到感光板 MN 上时速度的垂直分量3答案 (1) (2) v0m2qB 32解析 (1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r,由牛顿第二定律得Bqv0mv20r所以 rR带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周,轨迹对应的圆心角为 ,如图所示2t 2Rv0 m2qB(2)由(1)知,当 v v0 时,带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R,其运动轨迹如图所3 3示由图可知PO 2OOO 2A30所以带电粒子离开磁场时偏向角为 60粒子打到感光板上时速度的垂直分量为v vsin 60 v032