1、2.3.1 直线与平面垂直的判定一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.二、教学目标1知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法
2、.3情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.三、教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子 BC 的位置在移动，但是旗杆 AB 所在直线始终与 BC 所在直线垂直.也就是说，旗杆 AB 所在直线与地面内任意一条不过点 B 的直线 BC也
3、是垂直的.思路 2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.如图 1，直线 AC1与直线 BD、EF、GH 等无数条直线垂直，但直线 AC1与平面 ABCD 不垂直.图 1（二）推进新课、新知探究、提出问题 探究直线与平面垂直的定义和画法.探究直线与平面垂直的判定定理.用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.探究点到平面的距离.活动:问题引导学生结合事例观察探究.问题引导学生结合事例实验探究.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生思考其合理性.问题引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.
4、讨论结果：直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线） 、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图 2，表示方法为：a.图 2 图 3如图 3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实
5、验：过ABC 的顶点 A翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）.(1)折痕 AD 与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 垂直？容易发现，当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与 桌面所在的平面 垂直.如图 4.(1) (2)图 4所以，当折痕 AD 垂直平面内的一条直线时，折痕 AD 与平面 不垂直，当折痕 AD 垂直平面内的两条直线时，折痕 AD 与平面 垂直.直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语
6、言表示为： Pbalal.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图 5,图 5 图 6斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线 l 与平面内的线 a、b所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所
7、成的锐角作为直线和平面所成的角.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为 0.如图 6，l 是平面 的一条斜线，点 O 是斜足，A 是 l 上任意一点，AB 是 的垂线，点 B 是垂足，所以直线OB（记作 l）是 l 在 内的射影，AOB（记作 ）是 l 与 所成的角.直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度
8、投掷，投出的距离最远？点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.（三）应用示例思路 1例 1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知 ab，a.求证：b.图 7证明：如图 7,在平面 内作两 条相交直线 m、n，设 mn=A.*变式训练如图 8,已知点 P 为平面 ABC 外一点，PABC，PCAB，求证：PBAC.图 8证明：过 P 作 PO平面 ABC 于 O，连接 OA、OB、OC.PO平面
9、 ABC，BC 平面 ABC，POBC.又PABC，BC平面 PAO.又OA 平面 PAO，BCOA.同理,可证 ABOC.O 是ABC 的垂心.OBAC.可证 POAC.AC平面 PBO.又 PB平面 PBO，PBAC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例 2 如图 9,在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.图 9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：连接 BC1交 B1C 于 点 O，
10、连接 A1O.设正方体的棱长为 a，因为 A1B1B 1C1,A1B1B 1B,所以 A1B1平面 BCC1B1.所以 A1B1BC 1.又因为 BC1B 1C，所以 BC1平面 A1B1CD.所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，BA 1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角.在 RtA 1BO 中,A 1B= a2,BO= ,所以 BO= BA12,BA 1O=30.因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30.变式训练如图 10，四面体 ABCD 的棱长都相等，Q 是 AD的中点，求 CQ 与平面 DBC 所成的角的正弦值.图 10解：过
11、 A 作 AO面 BCD，连接 OD、OB、OC，则可证 O 是BCD 的中心,作 QPOD,QPAO,QP面 BCD.连接 CP，则QCP 即为所求的角.设四面体的棱长为 a，在正ACD 中，Q 是 AD 的中点,CQ= a23.QPAO，Q 是 AD 的中点,QP= aAO631)3(212，得sinQCP= CP.点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.思路 2例 1 （2007 山东高考,文 20）如图 11(1)，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)（1）求证：D 1CAC 1；（2
12、）设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由.（1）证明：在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，连接 C1D，如图 11(2).(2)DC=DD 1，四边形 DCC1D1是正方形.DC 1D 1C.又 ADDC，ADDD 1，DCDD 1=D,AD平面 DCC1D1，D 1C平面 DCC1D1.ADD 1C.AD、DC 1 平面 ADC1，且 ADDC 1=D,D 1C平面 ADC1.又 AC1 平面 ADC1，D 1CAC 1.(2)解：连接 AD1、AE，如图 11(3).(3)图 11设 AD1A 1D=M,BDAE=N,连接 MN，平面 AD1
13、E平面 A1BD=MN，要使 D1E平面 A1BD，需使 MND 1E，又 M 是 AD1的中点，N 是 AE 的中点.又易知ABNEDN，AB=DE,即 E 是 DC 的中点.综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D1E平面 A1BD.变式训练如图 12，在正方体 ABCDA1B1C1D1，G 为 CC1的中点，O 为底面 ABCD 的中心.求证：A 1O平面 GBD.图 12证明： AOBDAC111面平 面BDA 1O.又A 1O2=A1A2+AO2=a2+( a)2= 3,OG2=OC2+CG2=( a)2+( )2= 43a,A1G2=A1C12+C1G2=( a)2+( )2
14、= 49,A 1O2+OG2=A1G2.A 1OOG.又 BDOG=O,A 1O平面 GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例 2 如图 13，ABCD 为正方形，过 A 作线段 SA面 ABCD，又过 A 作与 SC 垂 直的平面交SB、SC、SD 于 E、K、H，求证：E、H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影.图 13证明： ABCDS平 面平 面SABC,又ABBC,SAAB=A,BC平面 SAB.BCAE.SC平面 AHKE,SCAE.又 BCSC=C,AE平面 SBC.AESB,即 E 为 A 在 SB 上的射影.同理可证,H
15、 是点 A 在 SD 上的射影.变式训练已知 RtABC 的斜边 BC 在平面 内，两直角边 AB、AC 与 都斜交，点 A 在平面 内的射影是点 A，求证：BAC 是钝角.证明：如图 14，过 A 作 ADBC 于 D，连接 AD，图 14AA，BC ，AABC.BCAD.tanBAD= ADBtanBAD= DAB，tanCAD= ACtanCAD= DAC，BADBAD，CADCAD.BACBAC，即BAC 是钝角.（四）知能训练如图 15，已知 a、b 是两条相互垂直的异面直线，线段 AB 与两异面直线 a、b 垂直且相交，线段 AB 的长为定值 m，定长为 n（nm）的线段 PQ 的
16、两个端点分别在 a、b 上移动，M、N 分别是 AB、PQ 的中点.图 15求证：（1）ABMN；（2）MN 的长是定值.证明：(1)取 PB 中点 H,连接 HN,则 HNb.又ABb,ABHN.同理,ABMH.AB平面 MNH.ABMN.(2) abABb平面 PAB.bPB.在 RtPBQ 中,BQ 2=PQ2-PB2=n2-PB2, 在 RtPBA 中,PA 2=PB2-AB2=PB2-m2, 两式相加 PA2+BQ2=n2-m2,ab,MH N=90.MN= 221)()mnBQPANHM(定值).（五）拓展提升1.如图 16，已 知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABCA1B1C1中,AC
17、=3，AB=5，BC=4,AA 1=4,点 D是 AB 的中点.图 16（1）求证：ACBC 1;（2）求证：AC 1平面 CDB1；（1）证明：在ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC 为直角三角形.ACCB.又CC 1面 ABC,AC面 ABC,ACCC 1.AC面 BCC1B1.又 BC1 面 BCC1B1,ACBC 1.（2）证明：连接 B1C 交 BC1于 E，则 E 为 BC1的中点，连接 DE,则在ABC 1中,DEAC 1.又 DE 面 CDB1,则 AC1面 B1CD.（六）课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（七）作业课本习题 2.2 B 组 3、4.
