1、2.3 数学归纳法(一)一、基础过关1一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立可以推得nk2 时命题也成立，则下列说法正确的是_该命题对于 n2 的自然数 n 都成立该命题对于所有的正偶数都成立该命题何时成立与 k 取值无关2用数学归纳法证明：1 时，由 nk 到 nk1 左边需要添加11 2 11 2 3 11 2 3 n 2nn 1的项是_3若 f(n)1 (nN *)，则 n1 时 f(n)是_12 13 12n 14已知 f(n) ，则 f(n)共有_ 项，且 f(2)_.1n 1n 1 1n 2 1n25在数列a n中，a 12，a n1 (nN *
2、)，依次计算 a2，a 3，a 4，归纳推测出 an的an3an 1通项表达式为_二、能力提升6用数学归纳法证明等式(n 1)( n2)(nn) 2 n13(2n1)(nN *)，从 k 到 k1 左端需要增乘的代数式为_7已知 f(n) (nN *)，则 f(k1)f (k)_.1n 1 1n 2 13n 18以下用数学归纳法证明“242nn 2n(nN *)”的过程中的错误为_证明：假设当 nk( kN *)时等式成立，即 242kk 2k，那么242k2( k1)k 2k2(k1)( k1) 2(k1)，即当 nk1 时等式也成立因此对于任何 nN *等式都成立9用数学归纳法证明(1 )
3、(1 )(1 )(1 ) (nN *)13 14 15 1n 2 2n 210用数学归纳法证明：122 23 24 2(1) n1 n2( 1) n1 .nn 1211已知数列a n的第一项 a15 且 Sn1 a n(n2，nN *)，S n为数列 an的前 n 项和(1)求 a2，a 3，a 4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明a n的通项公式三、探究与拓展12是否存在常数 a、b、c，使得等式 12223 234 2n(n1)2 (an2bnc )对一切正整数成立？并证明你的结论nn 112答案12.11 2 3 k k 131 12 134n 2n1 12 13 145
4、.26n 562(2k 1)7. 13k 13k 1 13k 2 1k 18缺少步骤归纳奠基9证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，13 23 21 2 23等式成立(2)假设当 nk(k1，kN *)时等式成立，即(1 )(1 )(1 )(1 ) ，13 14 15 1k 2 2k 2当 nk1 时，(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )13 14 15 1k 2 1k 3 (1 ) ，2k 2 1k 3 2k 2k 2k 3 2k 3所以当 nk1 时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意 nN *等式都成立10证明 (1)当 n1 时，左边1，右边(1) 11 1，122结论成立
5、(2)假设当 nk 时，结论成立即 122 23 24 2(1) k1 k2(1) k1 ，kk 12那么当 nk1 时，122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1) k1 ( 1) k(k1) 2kk 12(1) k(k1) (1) k . k 2k 22 k 1k 22即 nk1 时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立11(1)解 a 2S 1a 15，a 3S 2a 1a 210，a4S 3a 1a 2a 3551020，猜想 anError!.(2)证明 当 n2 时，a 252 22 5，公式成立假设 nk(k2，k N *)时成立，
6、即 ak52 k2 ，当 nk1 时，由已知条件和假设有ak1 S ka 1 a2a 3a k551052 k2 .5 52 k1 .51 2k 11 2故 nk1 时公式也成立由可知，对 n2，nN *，有 an52 n2 .所以数列a n的通项公式为anError!.12解 假设存在 a、b、c 使上式对 nN *均成立，则当 n1,2,3 时上式显然也成立，此时可得Error!解此方程组可得 a3，b11，c10，下面用数学归纳法证明等式 12223 234 2n(n1) 2 (3n211n10) 对nn 112一切正整数均成立(1)当 n1 时，命题显然成立(2)假设 nk 时，命题成立即 12223 234 2k(k1) 2 (3k211k10) ，kk 112则当 nk1 时，有12223 2k (k1) 2(k1)(k2) 2 (3k211k10)(k1)(k2) 2kk 112 (k2)(3 k5)( k1)(k2) 2kk 112 (3k25k 12k24)k 1k 212 3(k1) 211( k 1)10k 1k 212即当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何正整数 n，等式都成立
