1、2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第1 页 共11 页 绝密启用前 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数 学 理 科 本试卷共4 页21 小题满分150 分考试时间120 分钟。 注意事项1. 答卷前考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型B 填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦
2、干净后再选涂其他答案答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上如需改动先划掉原来的答案然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时请先用2B 铅笔填涂选做题的题号或题组号对应的信息点再作答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 一 选择题本大题共8 小题每小题5 分满分40 分. 在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求的. 1. 已 知 全集U R 集 合 2 1 2M x x 和 2 1, 1, 2, N x x k
3、 k 的 关 系的韦恩Venn 图如图1 所示则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 无穷多个 2. 设z 是复数 ( )a z 表示满足 1nz 的最小正整数n 则对虚数单位i ( )a i A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 若 函 数 ( )y f x 是 函 数 ( 0, 1)xy a a a 且 的 反 函 数 其 图 像 经 过 点( , )a a 则( )f x A. 2l og x B. 12l og x C. 12x D. 2x 4. 已 知 等 比 数 列 na 满 足 0 , 1, 2 ,na n 且 25 2 5 2 (
4、 3)nna a n 则 当 1n 时 2 1 2 3 2 2 1l o g l o g l o g na a a wks.5u.co.m 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第2 页 共11 页 A. ( 2 1)n n B. 2( 1)n C. 2n D. 2( 1)n 5. 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行wks.5u.co.m 若两个平面垂直那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另
5、一个平面也不垂直 其中为真命题的是wks5.uc.om A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 一质点受到平面上的三个力 1 2 3, ,F F F 单位牛顿的作用而处于平衡状态已知 1F 2F 成 060 角且 1F 2F 的大小分别为2 和4 则 3F 的大小为wks5.uc.om A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 wks.5u.co.m 7 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作若其中小张和小赵只能从事前两项工作其余三人均能从事这四项工作则不同的选派方案共有wks.5u.co.m A.
6、 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 8 已知甲、乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线假定为直线行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和 如图2 所示 那么对于图中给定的 0 1t t和 下列判断中一定正确的是 A. 在1t 时刻甲车在乙车前面 wks.5u.co.m B. 1t 时刻后甲车在乙车后面 C. 在 0t 时刻两车的位置相同 D. 0t 时刻后乙车在甲车前面 二、填空题本大题共7 小题考生作答6 小题每小题5 分满分30分 一必做题9 12 题 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第
7、3 页 共11 页 9. 随机抽取某产品n 件测得其长度分别为 1 2, , , na a a 则图 3 所示的程序框图输出的s s 表示的样本的数字特征是 注框图中的赋值符号“= ”也可以写成“”“= ” 10. 若平面向量a b 满足 1 ba ba 平行于x 轴 )1,2( b 则 a . wks.5u.co.m 11 巳知椭圆G 的中心在坐标原点长轴在x 轴上离心率为 32 且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12 则椭圆G 的方程为 12 已知离散型随机变量X 的分布列如右表若 0E X 1DX 则a b 二选做题13 15 题考生只能从中选做两题 13 坐 标 系 与 参 数
8、方 程 选 做 题 若 直 线 .2 ,21:1 k ty txl t 为 参 数 与 直 线2 ,: 1 2 .x sl y s s 为参数垂直则k 14 不等式选讲选做题不等式 1 12xx 的实数解为 . 15 几何证明选讲选做题如图4 点 , ,A B C 是圆O 上的点 且 04, 45A B A C B 则圆O 的面积等于 三、解答题本大题共6 小题满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16 ( 本小题满分12 分 已知向量 )2,(sin a 与 )cos,1( b 互相垂直其中 ( 0, )2 1 求 sin 和 cos 的值 2 若 10si n( ) , 0
9、10 2 求cos 的值wks.5u.co.m 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第4 页 共11 页 17 本小题满分12 分 根据空气质量指数API 为整数的不同可将空气质量分级如下表 对 某 城 市 一 年 365 天 的 空 气 质 量 进 行 监 测 获 得 的 API 数 据 按 照 区 间 50,0 100,50( 150,100( 200,150( 250,200( 300,250( 进 行分组 得到频率分布直方图如图5. 1 求直方图中x 的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市
10、某一周至少有2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. 结果用分数表示已知 7812557 12827 365218253 18257 91251239125818253 573365 18 本小题满分14 分 如图6 已知正方体 1 1 1 1A B C D A B C D 的棱长为2 点E 是正方形 1 1B C C B 的中心点F 、G 分别是棱 1 1 1,C D A A 的中点设点 1 1,E G分别是点E G 在平面 1 1DC C D 内的正投影 1 求以E 为顶点以四边形F GA E 在平面 1 1DC C D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积 2 证明直线 1FG 平面 1FEE
11、 z y x E1 G1 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第5 页 共11 页 3 求异面直线 1 1E G E A与 所成角的正弦值. 19 本小题满分14 分 已 知 曲 线 2:C y x 与 直 线 : 2 0l x y 交 于 两 点 ( , )A AA x y 和 ( , )B BB x y 且A Bx x 记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段A B 所围成的平面区域含边界为D 设点 ( , )P s t 是L 上的任一点且点P 与点A 和点B 均不重合 1 若点Q 是线段A B 的中点试求线段P
12、Q 的中点M 的轨迹方程wks.5u.co.m 2 若曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与D 有公共点试求a 的最小值 20 本小题满分14 分 已 知二 次函 数 ( )y g x 的 导函 数的 图像 与直 线 2y x 平 行 且 ( )y g x 在 1x 处取得极小值 1( 0)m m 设 ( )( ) g xf x x 1 若曲线 ( )y f x 上的点P 到点 ( 0, 2)Q 的距离的最小值为 2 求m 的值 2 ( )k k R 如何取值时函数 ( )y f x k x 存在零点并求出零点W.w.ks5.uc.om 21 本小题满分14 分
13、 已 知 曲 线 2 2: 2 0( 1, 2, )nC x n x y n 从 点 ( 1 , 0 )P 向 曲 线 nC 引 斜 率 为( 0 )n nk k 的切线 nl 切点为 ( , )n n nP x y 1 求数列 n nx y与 的通项公式 2 证明 1 3 5 2 1 1 2 si n1 n nn n nx xx x x x x y . 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第6 页 共11 页 参考 参 考 答 案 1. B 【解析】由 2 1 2M x x 得 31 x 则 3,1 NM 有2 个选B.
14、2. C 【解析】 ( )a i 1ni 则最小正整数n 为4 选C. 3.B 【解析】 xxf alog)( 代入( , )a a 解得 21a 所以 ( )f x 12l og x 选B. 4.C 【 解 析 】 由 25 2 5 2 ( 3)nna a n 得 nna 22 2 0na 则 nna 2 3212 loglog aa 2122 )12(31log nna n 选C. wks.5u.co.m 5.D 【解析】选D. 6.D 【解析】 28)60180cos(2 0021222123 FFFFF 所以 723 F 选D. 7 . A 【解析】分两类若小张或小赵入选则有选法 24
15、331212 ACC 若小张、小赵都入选则有选法 122322 AA 共有选法36 种选A. wks.5u.co.m 8 A【解析】由图像可知曲线 甲v 比 乙v 在0 0t 、0 1t 与x 轴所围成图形面积大则在0t 、1t 时刻甲车均在乙车前面选A. wks.5u.co.m 9. 【解析】s n aaa n 21 平均数 10 【 解 析 】 )0,1( ba 或 )0,1( 则 )1,1()1,2()0,1( a 或)1,3()1,2()0,1( a . 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第7 页 共11 页 11
16、 【解析】 23e 122 a 6a 3b 则所求椭圆方程为 1936 22 yx . 12 【解析】由题知 1211 cba 061 ca 1121211 222 ca 解得125a 41b . 13 【解析】 1)2(2 k 得 1k . 14 【解析】 1 12xx 2302 )2()1(02 21 22 xx xxx xx 且 2x . 15 【解析】解法一连结OA 、OB 则 090AOB 4AB OBOA 22OA 则 8)22( 2 圆S 解 法 二 222445sin 42 0 RR 则 8)22( 2 圆S . 16 解 1 a 与b 互 相 垂 直 则 0cos2s i n
17、 ba 即 cos2s i n 代 入1coss i n 22 得 55cos,5 52sin 又 ( 0 , )2 55cos,552sin . 2 20 20 22 则10103)(sin1)cos( 2 c o s 22)s i n (s i n)c o s (c o s)(cos . 17. 解1 由图可知 150 x 365218253( 18257 509125123150)9125818253 解得 18250119x 2 219)5036525018250119(365 3 该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119 则空气质
18、量不为良且不为轻微污染的概率为2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第8 页 共11 页 52531 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(1 16670777 CC . 18 解1 依题作点E 、G 在平面 1 1DC C D 内的正投影 1E 、 1G 则 1E 、 1G 分别为 1CC 、1DD 的中点连结 1EE 、 1EG 、ED 、 1DE 则所求为四棱锥 11FGDEE 的体积其底面 11FGDE 面积为 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS
19、 221212221 又 1EE 面 11FGDE 11 EE 3231 11111 EESV FGDEFGDEE . 2 以D 为坐标原点DA 、DC 、 1DD 所在直线分别作x 轴y 轴z 轴得 )1,2,0(1E 、)1,0,0(1G 又 )1,0,2(G )2,1,0(F )1,2,1(E 则 )1,1,0(1 FG )1,1,1( FE )1,1,0(1 FE 01)1(01 FEFG 01)1(011 FEFG 即 FEFG 1 11 FEFG 又 FFEFE 1 1FG 平面 1FEE . 3 )0,2,0(11 GE )1,2,1( EA 则 62,cos111111 EAG
20、EEAGEEAGE 设 异面直线 1 1E G E A与 所成角为 则 33321sin . 19 解1 联立 2xy 与 2 xy 得 2,1 BA xx 则AB 中点 )25,21(Q 设线段P Q的 中 点M 坐 标为 ),( yx 则 225,221 tysx 即 252,212 ytxs 又 点P 在曲线C 上 2)212(252 xy 化简可得 8112 xxy 又点P 是L 上的任一点且不与点A 和点B 重合则 22121 x 即 4541 x 中点M 的轨迹方程为 8112 xxy2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参
21、考答案 第9 页 共11 页 4541 x . 2 曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 即圆E 2549)2()( 22 yax 其圆心坐标为 )2,( aE 半径 57r 由图可知当 20 a 时曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与点D 有公共点 当 0a 时要使曲线 2 2 2 51: 2 4 025G x a x y y a 与点D 有公共 点 只 需 圆 心 E 到 直 线 : 2 0l x y 的 距 离 572|2 |22| aad 得05 27 a 则a 的最小值为 5 27 . 20 解1 依题可设 1)1()(
22、 2 mxaxg ( 0a ) 则 aa xxaxg 22)1(2)( 又 g x 的图像与直线 2y x 平行 2 2a 1a mxxmxxg 21)1()( 22 2g x mf x xx x 设 ,o oP x y 则 2002020202 )()2(| xmxxyxPQ mmmmmxmx 2|2222222 220220 当且仅当 202202 xmx 时 2| PQ 取得最小值即 | PQ 取得最小值 2 当 0m 时 2)222( m 解得 12 m 当 0m 时 2)222( m 解得 12 m 2 由 1 2 0my f x k x k x x ( 0x ) 得 21 2 0k
23、 x x m * 当 1k 时方程 * 有一解 2mx 函数 y f x k x 有一零点 2mx 当 1k 时方程 * 有二解 4 4 1 0m k xyoxA xB D 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第10 页 共11 页 若 0m 11k m 函 数 y f x k x 有 两 个 零 点 )1(2 )1(442 k kmx 即1)1(11kkmx 若 0m 11k m 函 数 y f x k x 有 两 个 零 点 )1(2 )1(442 k kmx 即1)1(11kkmx 当 1k 时方程 * 有一解 4 4
24、 1 0m k , 11k m , 函数 y f x k x 有一零点 mkx 11 综上当 1k 时, 函数 y f x k x 有一零点 2mx 当 11k m ( 0m ) 或 11k m 0m 时 函数 y f x k x 有两个零点 1 )1(11 k kmx 当 11k m 时函数 y f x k x 有一零点 mkx 11 . 21 解 1 设 直 线 nl )1( xky n 联 立 02 22 yn xx 得0)22()1( 2222 nnn kxnkxk 则 0)1(4)22( 2222 nnn kknk 12 nnk n 12 nn 舍去 22222)1(1 nnkkxn
25、nn 即 1 n nx n 1 12)1( n nnxky nnn 2 0 0 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 广 东 卷 数学理科参考答案 第11 页 共11 页 2 证 明 12 1111111nnnnnxxnn 12112125331212432112531 nnnnnxxxx n nnn xxxxxx 1112531 由于 nnnn xxnyx 1112 1 可令函数 xxxf sin2)( 则 xxf cos21)( 令 0)( xf 得 22cos x 给定区间 )4,0( 则有 0)( xf 则函数 )( xf 在 )4,0( 上单 调 递 减 0)0()( fxf 即 xx s i n2 在 )4,0( 恒 成 立 又4311210 n 则有 12 1sin212 1 nn 即 nnnn yxxx sin211 . wks5.uc.om
