1、3 模拟方法概率的应用一、非标准1.下列概率模型中,是几何概型的有( )从区间 -10,10内任取出一个数,求取到 1的概率;从区间 -10,10内任取出一个数,求取到绝对值不大于 1的数的概率;从区间 -10,10内任取出一个整数,求取到大于 1而小于 2的数的概率;向一个边长为 4 cm的正方形内投一点 P,求点 P离正方形中心不超过 1 cm的概率 .A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析:只有和符合几何概型特征,是几何概型 .答案:B2.已知某公交车每 10 min一班,在车站停 1 min,则乘客到达车站能立即上车的概率是( )A. B.C. D.解析:相当于在区间0,10内任意取
2、一点,求点在9,10内的概率,故所求概率为 .答案:B3.在面积为 S的 ABC的边 AB上任取一点 P,则 PBC的面积不小于的概率是( )A. B. C. D.解析:如图,在 AB边上取点 P,使,则点 P应在线段 AP上运动,则所求概率为 .故选 C.答案:C4.一只小蜜蜂在一个棱长为 4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离都大于 1,称其为 “安全飞行 ”,则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为( )A. B. C. D.解析:依题意,当蜜蜂在正方体内的棱长为 2的小正方体内飞行时,可以安全飞行,因此所求概率为 .答案:A5.在区间0,1内任取两个数,则这两个数
3、的平方和在区间0,1内的概率是( )A. B. C. D.解析:设任在0,1中取出的数为 a,b,若 a2+b2也在0,1中,则有 0 a2+b21(如图),试验的全部结果所构成的区域为边长为 1的正方形,满足 a2+b2在0,1内的点在单位圆内(如图阴影部分),故所求概率 P=.答案:A6.如图,矩形的长为 6,宽为 3,在矩形内随机地撒 300粒芝麻,数得落在阴影部分的芝麻为125粒,则我们可以估计出阴影部分的面积约为 . 解析:依题意有,解得 S 阴 =7.5.答案:7 .57.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不
4、到广告的概率约为,那么该台每小时约有 分钟广告 . 解析:这是一个与时间有关的几何概型,这人看不到广告的概率约为,则看到广告的概率约为,故60=6(分钟) .答案:68.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT落在 60角的终边上,任作一条射线 OA,则射线 OA落在 xOT内的概率为 . 解析:以 O为起点作射线 OA是随机的,因而射线 OA落在任何位置都是等可能的 .落在 xOT内的概率只与 xOT的大小有关,符合几何概型的条件 .记事件 B=射线 OA落在 xOT内,因为 xOT=60,所以 P(B)=.答案:9.投掷一个质地均匀,每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的
5、数字是 0,两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 4,将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点 P的横坐标和纵坐标 .(1)求点 P落在区域 C:x2+y210 内的概率;(2)若以落在区域 C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域 M上的概率 .解:(1)以 0,2,4为横、纵坐标的点 P共有(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4)9个,而这些点中,落在区域 C内的点有:(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)4 个,由古典概型概率公式,得所求概率为 .(
6、2)因为区域 M为边长为 2的正方形,其面积为 4,而区域 C的面积为 10,所以由几何概型概率公式,得所求概率为 .10.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b都是从 0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求 f(x)有零点的概率;(2)若 a,b都是从区间0,4上任取的一个数,求 f(1)0的概率 .解:(1) a,b都是从 0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,则基本事件的总数为 55=25.f(x)有零点的条件为 =a 2-4b0 .即 a24 b;而事件 “a24 b”包含 12个基本事件:(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).所以f(x)有零点的概率 P1=.(2)a,b都是从区间0,4上任取的一个数, f(1)=-1+a-b0,即 a-b1,由图可知 f(1)0的概率 P2=.
