1、【优化指导】2015 年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4难易度及题号考查知识点及角度基础 中档 稍难向量的数量积的基本运算 3、5向量的夹角与垂直问题 1、2、6 8、11 12向量的模 4 7、9、101若 ab0，则 a 与 b 的夹角 的取值范围是( )A. B.0， 2) 2， )C. D.( 2， ( 2， )解析： ab| a|b|cos 0，cos 0.又 0， .( 2， 答案：C2已知| a|9，| b|6 ， ab54，则 a 与 b 的夹角 为( )2A45 B135C120 D150解析：cos ，又 0，180
2、，所以 135.ab|a|b| 54962 22答案：B3已知两个不共线的单位向量 e1， e2的夹角为 ，则下列结论不正确的是( )A e1在 e2方向上的投影为 cos B e1e21C e e21 2D( e1 e2)( e1 e2)解析：由于 e1e2| e1|e2|cos cos ，当 0 时，有 e1e21，否则e1e21.故 B 不正确答案：B4若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b|4，( a2 b)(a3 b)72，则向量 a 的模为( )A2 B4 C6 D12解析： ab| a|4cos 602| a|，( a2 b)(a3 b)72，即|a|2 ab6| b|272
3、，故| a|22| a|9672，解得| a|6.答案：C5已知| a|3，| b|5，且 ab12，则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为_解析： ab| a|b|cos 12，又| b|5，| a|cos ，即 a 在 b 方向上的投影为 .125 125答案：1256若| a|1，| b|2， c a b 且 c a，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：由 c a 得， a c0，所以 ac a(a b)0，即 a2 ab0.设向量 a与 b 的夹角为 ，则 cos ，所以向量 a 与 b 的夹角 120.ab|a|b| a2|a|b| 12答案：1207若向量| a|1，| b|2，
4、| a b|2，则| a b|_.解析：| a|1，| b|2，| a b|2， a22 ab b24.即| a|22 ab| b|24，得 12 ab44，2 ab1.于是| a b| a b 2 .a2 2ab b2 1 1 4 6答案： 68已知| a|2，| b|1， a 与 b 的夹角为 ，若向量 2a kb 与 a b 垂直，求 k. 3解： ab| a|b|cos 21 1. 3 12因为 2a kb 与 a b 垂直，所以(2 a kb)(a b)0.所以 2a22 ab kab kb20.所以 2222 k k0.所以 k5.9已知非零向量 a， b，满足 a b，且 a2
5、b 与 a2 b 的夹角为 120，则_.|a|b|解析：( a2 b)(a2 b) a24 b2， a b，| a2 b| ，| a2 b| .a2 4b2 a2 4b2cos 120 . a 2b a 2b|a 2b|a 2b| a2 4b2 a2 4b2 2 a2 4b2a2 4b2 12 .a2b2 43 .|a|b| 233答案：23310若向量 a 与向量 b 的夹角为 60，| b|4，( a2 b)(a3 b)72.求：(1)|a|；(2)|a b|.解：(1)( a2 b)(a3 b)| a|2| a|b|cos 606| b|2| a|22| a|9672，即| a|22|
6、 a|240，得| a|6.(2)|a b|2 a22 ab b236264 1676.12| a b|2 .1911设向量 a， b 满足| a|1，| b|1，且 a 与 b 具有关系|ka b| |a kb|(k0)3(1)a 与 b 能垂直吗？(2)若 a 与 b 夹角为 60，求 k 的值解：(1)| ka b| |a kb|，3( ka b)23( a kb)2，且| a| b|1.即 k212 kab3(1 k22 kab)， ab .k2 14k k210， ab0，即 a 与 b 不垂直(2) a 与 b 夹角为 60，且| a| b|1， ab| a|b|cos 60 .1
7、2 . k1.k2 14k 1212.如图，扇形 AOB 的弧的中点为 M，动点 C， D 分别在 OA， OB 上，且OC BD， OA1， AOB120.(1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点，用 ， 表示向量 .OA OB MC (2)求 的取值范围MC MD 解：(1)由已知可得 ， ，OC 34OA MC OC OM 易得 OAMB 是菱形，则 ，所以 ( ) .OM OA OB MC OC OM 34OA OA OB 14OA OB (2)易知 DMC60，且| | |，MC MD 那么只需求 MC 的最大值与最小值即可，当 MC OA 时， MC 最小，此时 M
8、C ，则 32 MC cos 60 .MD 32 32 38当 MC 与 MO 重合时， MC 最大，此时 MC1，则 cos 60 ，MC MD 12所以 的取值范围为 .MC MD 38， 121两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0， b0,0 90时)，也可以为负(当 a0， b0,90 180时)，还可以为 0(当 a0 或 b0 或 90时)2数量积对结合律一般不成立，因为( ab)c| a|b|cos a， b c 是一个与c 共线的向量，而( ac)b| a|c|cos a， c b 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同3求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ， 0，180；分别求| a|和| b|；求数量积，即 ab| a|b|cos ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“” ，而不能用“” ，也不能省去
