1、第 5 课时 等差数列的应用1.理解等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质 .2.能应用等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质解决相关的数列问题 .前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式等基本概念,理解了累加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位 .问题 1:等差数列通项公式的性质(1)若 m+n=p+q,则 ,特别:若 m+n=2p,则 . (2)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列,公差为 . (3)数列 an、 bn都是等差数列,公差
2、分别为 d1,d2,则数列 can,c+an,pan+qbn也是等差数列,其中 c、 p、 q 均为常数,公差分别为 、 、 .问题 2:等差数列的前 n 项和的简单性质(1)已知 an是等差数列,求前 n 项和的最值时:若 a10,d0,且满足 则前 n 项和 Sn . 0,+10,(2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,公差为 . (3)在等差数列 an中,当项数为偶数 2n 时, S 偶 -S 奇 = ;S 偶 S 奇 = ;当项数为奇数 2n+1 时, S 奇 -S 偶 = ;S 偶 S 奇 = . 问题 3:等差数列的判定方法(1)定义法:对于 n2 的任意自然
3、数,验证 为同一常数 . (2)等差中项法:验证 2an-1= (n3, nN +)成立 . (3)通项公式法:验证 an= . (4)前 n 项和公式法:验证 Sn= . 问题 4:通项公式,前 n 项和公式的函数意义(1)当 d0 时,通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d 是关于 n 的一次函数 .(2)将公式 Sn=na1+ 变形整理得 Sn= n2+(a1- )n.故当 d0 时, Sn是关于 n 的一(1)2 2 2个二次函数,它的图像是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点 . (3) = n+(a1- )是关于 n 的一次函数( d0)或常数函数 (d=0),即数列
4、 是以 2 2 为公差的等差数列 . 1.等差数列 an中, a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a6+a7等于( ).A.21 B.28 C.32 D.352.在等差数列 an中,2( a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于( ).A.13 B.26 C.52 D.1563.等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a1+a9+a11=30,那么 S13的值是 . 4.已知 an为等差数列,若 0,S130,且 Sm+10C.Sm0,且 Sm+10 D.Sm0,a110,S n取最小正值时 n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项
5、公式为 an=a1+(n-1)d,则 (1+2)+(1+7)+(1+12)=12,(1+2)(1+7)(1+12)=28, 即 1+7=4,(1+2)(1+7)(1+12)=28, 把 代入 得( a1+2d)(a1+12d)=7,a 1=4-7d,代入 , (4-5d)(4+5d)=7,即 16-25d2=7,解得 d= .35当 d= 时 ,a1=- ,an=- +(n-1) = n- ;35 15 15 3535 45当 d=- 时, a1= ,an= +(n-1)(- )=- n+ .35 415 415 35 35 445(法二) a 3+a13=a8+a8=2a8,又 a3+a8+
6、a13=12,故知 a8=4,代入已知得 解得 或3+13=8,313=7, 3=1,13=7 3=7,13=1.由 a3=1,a13=7 得 d= = = .133133 711035a n=a3+(n-3) = n- .3535 45由 a3=7,a13=1,同理可得: an=- n+ .35 445【小结】注意到等差数列中,若 m,n,p,qN +且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,而 a3,a8,a13中的下标 3,8,13 间的关系:3 +13=8+8,从而得到 a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列 an为等差数列,则 S3,S6-S3,S9-S6为等
7、差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6),S 3=9,S6=36,S6-S3=27,a 7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列 an是等差数列,前 n 项和是 Sn,那么 Sm,S2m-Sm,S(k+1)m-Skm,(kN +)是等差数列 .探究三:【解析】(1)依题意有:3=1+2=12,12=121+12112 0,13=131+13122 a2a3a12a13,因此,在 S1,S2,S12中 Sk为最大值的条件为: ak0 且 ak+1a2a12a13,因此若在 1 k12 中有自然数 k,使得 ak0,且 ak+10,a 6-a70,故在 S1,S2,S12中213
8、16S6最大 .(法三)依题意得: Sn=na1+ (n-1)d=n(12-2d)+ (n2-n)= n- (5- )2- (5- )2,2 2 2 12 24 8 24d0,Sm+1= (m+1)1+0,1+10, 1+2 1+120.3.2n+3 由题意得 =n+4,即 Sn=n2+4n,当 n2 时, an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2+4(n-1)=2n+3,当n=1 时, a1=S1=5 符合上式, a n=2n+3.4.解: a n=2n+1,a 1=3,S n= =n2+2n, =n+2,(3+2+1)2 是公差为 1,首项为 3 的等差数列 , 前 10 项和为 T10=310+ 1=75.1092全新视角拓展A 根据等差数列的定义和性质可得 S8=4(a3+a6),又 S8=4a3,所以 a6=0,又 a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2an=an-1+an+1 等差 m2d
