1、选修 4-4 坐标系与参数方程第 1 讲 坐标系(时间：30 分钟 满分：60 分)一、填空题(每小题 5 分，共 40 分)1在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 3，则点 到直线 l 的距离为(2，6)_解析 直线 l 的极坐标方程可化为 y3，点 化为直角坐标为( ，1)，(2，6) 3点 到直线 l 的距离为 2.(2，6)答案 22(2013汕头调研 )在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程，则点 A到圆心 C 的距离是_(4，6)解析 将圆的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为 x2y 24y0，圆心坐标为(0,2)又易知点 A 的直角坐标为(2 ，2)，故点 A 到圆心
2、的距离(4，6) 3为 2 .0 232 2 22 3答案 2 33在极坐标系中，过圆 6cos 2 sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐2标方程为_解析 由 6cos 2 sin 26 cos 2 sin ，所以圆的直角坐标方2 2程为 x2y 26x2 y0，将其化为标准形式为(x 3) 2(y )211，故圆2 2心的坐标为(3， )，所以过圆心且与 x 轴垂直的直线的方程为 x3，将其2化为极坐标方程为 cos 3.答案 cos 34(2013华南师大模拟 )在极坐标系中，点 M 到曲线 cos 2 上的点(4，3) ( 3)的距离的最小值为_解析 依题意知，点 M 的直角坐标是(2
3、,2 )，曲线的直角坐标方程是3x y40，因此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离，即为32.|2 233 4|12 32答案 25在极坐标系中，圆 4 上的点到直线 (cos sin )8 的距离的最大值3是_解析 把 4 化为直角坐标方程为 x2y 216，把 (cos sin )8 化为3直角坐标方程为 x y80，圆心(0,0)到直线的距离为 d 4.直线和382圆相切，圆上的点到直线的最大距离是 8.答案 86在极坐标系中，曲线 C1： 2cos ，曲线 C2： ，若曲线 C1 与 C2 交于4A、B 两点，则线段 AB_.解析 曲线 C1与 C2均经过极点，因此极点是它们
4、的一个公共点由Error!得Error!即曲线 C1与 C2的另一个交点与极点的距离为 ，因此 AB .2 2答案 27(2013湛江模拟 )在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 22 cos 0，点P 的极坐标为 过点 P 作圆 C 的切线，则两条切线夹角的正切值是(2，2)_解析 圆 C 的极坐标方程： 22cos 0 化为普通方程：(x1) 2y 21，点 P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为 (1,0)如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为 ykx2，则圆心到切线的距离为1，k ，即 tan .易知满足题意的另一条切线的方程为 x0.| k 2|k2 1 34 34又 两条切线
5、的夹角为 的余角，两条切线夹角的正切值为 .43答案 438若直线 3x4y m0 与曲线 22cos 4sin 40 没有公共点，则实数 m 的取值范围是_解析 注意到曲线 22cos 4sin 40 的直角坐标方程是x2y 22x4y40，即(x1) 2(y2) 21.要使直线 3x4y m0 与该曲线没有公共点，只要圆心(1，2)到直线 3x4y m0 的距离大于圆的半径即可，即 1，| m5| 5，解得，m0 或 m10.|31 4 2 m|5答案 (，0) (10，)二、解答题(共 20 分)9(10 分) 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点 P 的直角坐标
6、为(1，5) ，点 M 的极坐标为 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，(4，2) 3圆 C 以 M 为圆心、4 为半径(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；(2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系解 (1)由题意，直线 l 的普通方程是 y5(x1)tan ，此方程可化为 3 y 5sin 3，令 a( a 为参数) ，得直线 l 的参数方程为Error!(a 为参数)x 1cos 3y 5sin 3x 1cos 3如图，设圆上任意一点为 Q(，)，则在QOM 中，由余弦定理，得QM2 QO2OM 22QO OMcosQOM，4 2 24 224 cos .( 2)化简得
7、8sin ，即为圆 C 的极坐标方程(2)由(1)可进一步得出圆心 M 的直角坐标是(0,4)，直线 l 的普通方程是 xy5 0，3 3圆心 M 到直线 l 的距离 d 4，|0 4 5 3|3 1 9 32所以直线 l 和圆 C 相离10(10 分)(2012 辽宁)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x 2y 24，圆 C2：(x2)2y 24.(1)在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C 2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C 2 的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程解 (1)圆 C1 的极坐标方程为 2，圆 C2 的极坐标方程为 4cos .解Error!得 2， ，3故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ， .(2，3) (2， 3)注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一 由Error!得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1， )，(1， )3 3故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为Error!( t )3 3Error!法二 将 x 1 代入Error!得 cos 1，从而 .1cos 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为Error! .( 3 3)
