1、第 6 讲 分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，
2、获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例 1.一条直线过点（5，2） ，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. B. xy70250xyC. D. xy250或 x7250或分析：设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为 ；yxy5， 即当 时，设直线方程为 ，方程为 。a0aa17， 则 求 得 x70例 2 ABCABC中 ， 已 知 ， ， 求sincoscos23分析： 由 于 () ()sinsCABA因此，只要根据已知条件，求出 cosA，si
3、nB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角 A 进行分类。解： 05132cosBBAC， 且 为 的 一 个 内 角4590123BB， 且 sin若 为 锐 角 ， 由 ， 得 ， 此 时AAAi cos032若 为 钝 角 ， 由 ， 得 ， 此 时 Bsn125180 这与三角形的内角和为 180相矛盾。 可 见 5cos()cos()CABAsin3211236例 3.已知圆 x2+y2=4，求经过点 P（2，4） ，且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程 y-4=k(x-2)
4、再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径” ，待定斜率 k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点 P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点 P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，（2）斜率不存在解（略）：所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2例 4.解 关 于 的 不 等 式 ：xlog()ax1分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数 a 的取值不同而不同，故需对 a 进行分类讨论。解： 若 ， 则 原 不 等 式 等 价 于a1110xx若 ， 则
5、原 不 等 式 等 价 于0011xaa综 上 所 述 ， 当 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 ；a x1 0当 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为01xa例 5.解 不 等 式 542x分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对 x 分类。解： 原 不 等 式 等 价 于 或xx05405422xxx05142142051或010x或 142x原 不 等 式 的 解 集 为 5142例 6.解 关 于 的 不 等 式 ：xax20()分析：这是一个含参数 a
6、的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a0（2）a=0，对于（2） ，不等式易解；对于（1） ，又需再次分类：a0 或 a0，令nS1nS。TSnTn1， 求 lim分析：对于等比数列的前 n 项和 Sn的计算，需根据 q 是否为 1 分为两种情形：当 时 ， ； 当 时 ，q=aqan n11()另 外 ， 由 于 当 时 ， ， 而 已 知 条 件 中|lin00故还需对 q 再次分类讨论。解： 当 时 ， ，Saann111()limlinTn1当 时 ， ，qSq1() Sqnn101limnqT当 时 ， ；1lilinnq当 时 ，综 上 所 述
7、 ， 知 ， ，lim()nTq01例 8.设 ， 问 方 程 表 示 什 么 曲 线 ？kRkxyk()()()848422分析： 容 易 想 到 把 方 程 变 形 为 ， 但 这 种 变 形 需 要 ， 且k14kk 84， 而 且 与 的 正 负 会 引 起 曲 线 类 型 的 不 同 ， 因 此 对 ，()要 进 行 分 类 ： ， ， ， ， ， ， ， ， 又 注 意 到kk()()488080与 且 表 示 的 曲 线 是 不 一 样 的 ， 因 此(还 应 有 一 个 “分 界 点 ”， 即 ， 故 恰 当 的 分 类 为 ， ， ， ， ， ，646(（ ， ） ， ， （
8、 ， ）68解：（1）当 k=4 时，方程变为 4x2=0，即 x=0，表示直线；（2）当 k=8 时，方程变为 4y2=0，即 y=0，表示直线；（ ） 当 且 时 ， 原 方 程 变 为34848122kxky（i）当 k8 时，方程表示双曲线。例 9. 某车间有 10 名工人，其中 4 人仅会车工，3 人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出 6 人完成一件工作，需要车工，钳工各 3 人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有 6 人会钳工，故有 C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从
9、7 人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的 6 人中不含全能工人；（2）选出的 6 人中含有一名全能工人；（3）选出的 6 人中含 2 名全能工人；（4）选出的 6 人中含有 3 名全能工人。解： CCCCP433134231321432413243232209或 ： 3731632153409三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的
10、一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1） “方程 有实数解”转化为 时忽略了了个别情20axbc240bac“”形：当 a=0 时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列 的前 项和公式 中有个别情形： 时，公1nq 1()nnqS1q式不再成立，而是 Sn=na1。设直线方程时，一般可设直线的斜率为 k，但有个别情形：当直线与 x 轴垂(3)直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为 ，但有个
11、别情形：1xya，a=0 时，再不能如此设，应另行考虑。四、强化练习：见优化设计。【模拟试题】一. 选择题：1. 若 的大小关系apaqapq011132， 且 ， ， ， 则 、log()log()为（ ）A. B. pqpqC. D. ；a1时 ， 01apq时 ，2. 若 ，且 ，则实数中的取值范围是AxxR|()2， A（ ）A. B. pp2C. D. 243. 设 A= （ ）xaBxaABa| |010， ， 且 ， 则 实 数 的 值 为A. 1 B. C. D. 1或 10， 或4. 设 的值为（ ）是 的 次 方 根 ， 则 236A. 1 B. 0 C. 7 D. 0 或
12、 75. 一条直线过点（5，2） ，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. xy7B. C. xy0250或D. xy7或6. 若 （ ）sincosincos()xnN1， 则 的 值 为A. 1 B. C. D. 不能确定1或 7. 已知圆锥的母线为 l，轴截面顶角为 ，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（ ）A. B. 2lsin2lC. D. 以上均不对8. 函数 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，fxmx()()31则实数 m 的取值范围为（ ）A. B. 0， ，C. D. 1， （ ， ）01二. 填空题9. 若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2
13、 的矩形，则圆柱的体积是_。10. 若 ，则 a 的取值范围为_。loga23111. 与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为xy221()_。12. 在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽取 5 件，至少有 3 件次品的抽法共有_种（用数字作答）13. 不等式 的解集为_。32101loglog()aaxxa且三. 解答题：14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为 ，另一双曲线与此椭圆23有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小 8，两曲线的离心率之比为 3：7，求此椭圆、双曲线的方程。15. 设 a0 且 ，试求使方程 有解的 k 的取值范围。a1log()log()a
14、axkx22【试题答案】一. 选择题1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D8. B提示：1. 欲比较 p、q 的大小，只需先比较 的大小，再利用aa321与对数函数的单调性。而决定 的大小的 a 值的分界点为使a321与()a31的 a 值：a=1，()220当 a1 时， 此时321， log()log()aa3211，即 pq.当 即013232aaaa时 ， ， 此 时 l()l()。可见，不论 a1 还是 0q。2. 若 ，即A()ppAR2400， 时 ， ；若 ， 则 时 ，0可见当 都有 ，故选（D）4p或 时 ， AR3. 若 BABa， 则 ，
15、此 时0若 ，则 ，a0BA1， 由 知1 01aa， ， 解 得 或 ， 故 ， 或4. 由 是 1 的 7 次方根，可得 显然，1 是 1 的 7 次方根，故可能 ；7； 1若 ，则26， 则 ， 若1726故选（D）5. 设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为 ；yxy250， 即当 时，设直线方程为 ，方程为a0xaya17， 则 求 得 x76. 由 sinco(sinco)sincoxxx1102， 得 ， 即当 时 ， ； 当 时 ， ，00于是总有 ，故选（A）i7. 当 时，最大截面就是轴截面，其面积为 ；9 2lsin当 时，
16、最大截面是两母线夹角为 的截面，其面积为0 90 12l可见，最大截面积为 ，故选（D）122l或 sin8. 当 时， 满足题意m0fxx()3130， 其 图 象 与 轴 交 点 为 （ ， ）当 时 ， 再 分 ， 两 种 情 形 ， 由 题 意 得m0mxm0321102或 解 得 或综上可知， 0或 或 ，故选（B）二. 填空题9. 84或（提示：若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图， ，则 ；若V柱 28)长为 2 的边作为圆柱底面圆周的展开图，则 ）V柱 142)10. 031a或（提示：对 a 分： 两种情况讨论）01a与11. yxxyxy2020或 或 或()()（提示
17、：分截距相等均不为 0 与截距相等均为 0 两种情形）12. 4186 种（提示：对抽取 5 件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的 5 件产品中恰好有 3件次品；（2）抽取的 5 件产品中恰好有 4 件次品，于是列式如下：=4140+46C4362461=4186）13. 若 ，则解集为axaxa2334或若 ，则解集为014230或（提示：设 logaxt tt， 则 原 不 等 式 可 简 化 为 21解之得 234234t xxaa或 ， 即 或loglog对 a 分类： 时，14或 ；）002334xax时 ， 或三. 解答题14. 解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在 x 轴上，可设它们
18、方程分别为，依题意xaybaaybab2 2010（ ） ， ，()cabcaxyxy328377632493619412222： ：两 曲 线 方 程 分 别 为 ，（2）若焦点在 y 轴上，则可设椭圆方程为 axb20()双曲线方程为 ，依题意有axbab210()，cabcaa 132837763222： ：椭 圆 方 程 为 ， 双 曲 线 方 程 为yxyx2 2496194115. 解：原方程可化为 log()logaakakx22令 fxkxxx() )， 且2 200则对原方程的解的研究，可转化为对函数 图象的交点的研究f()、下图画出了 的图象，由图象可看出g() y g(x) f(x) g(x) a A1 A2 x -a O a -a （1）当直线 时，与双曲线无交点，此时fxakA()()()过 点 ， ， ，120即当 时，原方程无解；kk（2）当直线 图象与双曲线渐近线重合，fOfx过 原 点 （ ， ） 时 ，显然直线与双曲线无交点，即当 k=0 时，原方程无解；（3）当直线 的纵截距满足 ，即fxak()aka0或 01k时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。或 k1综上所述，当 )， （ ， ） 时 ， 原 方 程 有 解 。10
