1、3.3.2 均匀随机数的产生赌棍“考验”数学家对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求.传说,17 世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注 32 个金币.双方约定,梅累如果先掷出三次 6 点,或者赌友先掷出三次 4 点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经两次掷出 6 点,赌友已经一次掷出 4 点.这时候梅累接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这 64 个金币才算合理呢?赌友说,他要再碰上两次 4 点,或梅累要再碰上一次 6 点就算赢,所以梅累分 64 个金币的 32,自己
2、分 64 个金币的 31.梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了 4 点,他还可以得 21,即32 个金币；再加上下一次还有一半希望得 16 个金币,所以他应该分 64 个金币的 3,赌友只能分得 64 个金币的 4.两人到底谁说得对呢？梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题.帕斯卡是 17 世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了.他苦苦思考了近三年,到 1654 年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并取得了一致的意见：梅累的分法是对的,他应得 64 个金币
3、的 43,赌友应得 64 个金币的 41.这时有位荷兰的数学家惠更斯,在巴黎听到这件新闻,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果写成一本书叫做论赌博中的计算 （1657 年）,这就是概率论的最早一部著作.除保险事业之外,各行各业都经常会碰到“某事件发生的可能性大小”的问题.因此,概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了 19 世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题：“设圆内接等边三角形的边长为 a,在圆上任作一弦,问其长度超过 a 的概率是多少？”贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.贝特朗
4、奇的解法如下：解法一：任取一弦 AB,过点 A 作圆的内接等边三角形（如右图）.因为三角形内角 A 所对的弧占整个圆周的 31.显然,只有点 B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长 a,故所求概率是 .解法二：任取一弦 AB,作垂直于 AB 的直径 PQ.过点 P 作等边三角形,交直径于 N,并取 OP 的中点 M（如下图）.容易证明 QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与 PQ 垂直的弦,如果通过 MN 线段的,其弦心距均小于 ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是 21.解法三：任取一弦 AB.作圆内接等边三角形的内切圆（如右图）,这个圆是
5、大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的 21,它的面积是大圆的 41,设 M 是弦 AB 的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是 41.细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样,对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论.概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933 年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支.
