1、3.3.1 几何概型几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.1.与长度有关的几何概型例 1 有一段长为 10 米的木棍 ,现要将其截成两段,要求每一段都不小于 3 米,则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于 3 米,也就是说只能在距两端都为 3 米的中间的 4 米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于 3 米为事件 A,则 P(A)= 5210.2.与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例 2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方
2、有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的 43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.解：不妨设小方几的边长为 1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个 41 的小正方形内（如上图）,
3、这时铜板中心到方几边缘的距离铜板边长的 83.整个方几的面积为 11=1,而中央小正方形的面积为 41 = 6,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为 16.例 3 甲、乙两人相约在上午 9：00 至 10：00 之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留 5 分钟.问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为（9+x）小时,乙到的时间为（9+y）小时,则 0x1,0y1.点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为 1 的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留 5 分钟即 12小时,所以在|x-y| 12时,两人才能会面.由于|x-y| 12是两条平
4、行直线 x-y=12与 y-x= 之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1- )(1- )=(12)2.从而带形区域在这个正方形内的面积为 1-( )2= 43,因此所求的概率为 1423.3.与体积有关的几何概型例 4 在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这 5 升水中的分布可以看作是随机的,取得的 1 升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率.解：“取出 1 升水,其中含有病毒”这一事件记作事件 A,则 P(A)= 5所 有 水 的 体 积取 出 的
5、水 的 体 积 =0.2.从而所求的概率为 0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例 5 在 5 升水中有两个病毒,现从中随机地取出 1 升水,含有病毒的概率是多大？分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在 5 升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取 1 升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为 51,含有病毒乙的概率也是 51,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉.解：记“取 1 升水,含有病毒甲”为事件 A；“取 1 升水,含有病毒乙”为事件 B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件 AB.从而所求的概率为 P=P(A)+
6、P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)= 25915=0.36.4.与角度有关的几何概型例 6 在圆心角为 90的扇形中,以圆心为起点作射线 OC,求使得AOC 和BOC 都不小于30的概率.解：设事件 A 是“作射线 OC,求使得AOC 和BOC 都不小于 30”.则 a=90-30-30=30,而 =90,由几何概型的计算公式得 P（A）= 3190.注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.
