1、变化率与导数问题小结一、求割线的斜率例 1 过曲线 3()fx上两点 (1)P， 和 (1)Qxy， 作曲线的割线，求当0.x时割线的斜率分析：割线 PQ的斜率即为函数 ()fx从 1 到 的平均变化率 yx解： 3(1)(yfxf23()x，割线 的斜率为22)(yx当 0.1x时，设割线 PQ的斜率为 k，则 2()331yk评注：一般地，设曲线 C是函数 ()yfx的图象， 0()Pxy， 是曲线上的定点，点 00()Qxy， 是 上与点 P邻近的点，有 f，0yf， 00()(fxfx，割线 Q的斜率为0()kxx二、求平均速度例 2 自由落体的运动方程班车 21sgt，计算 t从 3
2、s 到31s， 301s，3001s 各段内的平均速度（位移 s的单位为 m）分析：要求平均速度，就是求 t的值解：设在 .1， 内的平均速度为 1v，则 13.0.1t（s） ，221(3)3.05ssgg（m） 10.5.vt（m/s） ；同理，得 23.g（m/s） ； 3.05vg（m/s） 评注：当 t的值越小时，其平均速度就越近于一个定值三、求瞬时速度例 3 以初速度 0()v作竖直上抛运动的物体， t秒时的高度为201()stvgt，求物体在时刻 0t处的瞬时速度分析：先求出 s，再求出 st，当 t时， st的极限即为所求解： 22000011()()vtgvg20()g，0s
3、vttt当 时， 0svgt物体在时刻 处的瞬时速度为 0vt评注：求瞬时速度的实质就是求位置增量 ()s与时间增量 ()t比的极限四、利用定义求导数例 4 已知 1yx，求 y及 在 1x处的导数分析：按求导数的步骤求解，但要注意变形的技巧解： ，1 1(1)yxxxxx00limli 2xxxy在 1处的导数为 142评注：函数的导数与在点 0x处的导数不是同一概念，在点 0x处的导数是函数的导数在 0x处的函数值，分子有理化是解该类题重要的变形技巧之一五、创新应用问题例 5 已知 2()f， 3()gx求适合 ()2()fxg的 x 值分析：要求 x 的值，需利用导数的定义求出 ， ，然后解方程解：由导数公式，易得 ()2fx， 2()3gx， ()2()fxg， ，即 0，解得 173或 173x评注：本题将求导数与解方程结合起来考查，新颖别致
