1、双基限时练(十六)一、选择题1设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A3 a2 B6 a2C12 a2 D24 a2解析 由题意得，2R a，4a2 a2 a2 6R a，球的表面积 S4 R26 a2.62答案 B2已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A4 B3 C2 D 解析 由三视图可知，该几何体为半径为 1 的半球体，S 表 r22 r23 r23 .答案 B3若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为( )A1:2:3 B2:3:4C3:2:4 D3:1:2解析 V 圆柱 2 R3，V 圆锥 R2
2、(2R) R3，13 23V 球 R3.则体积之比为：2: : 即 3:1:2.43 23 43答案 D4平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的2体积为( )A. B4 6 3C4 D6 6 3解析 如图，设平面 截球 O 所得圆的圆心为 O1，则|OO 1| ，|O 1A|1，球的2半径 R|OA| .2 1 3球的体积 V R34 .故选 B.43 3答案 B5如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果 VPABCD ，那么球 O 的表面积是( )163A4 B8 C12 D16 解析
3、 由题意，可得 AB R，POR，又 VPABCD ( R)2R ，得 R2，S 表213 2 1634 R216 .答案 D664 个直径都为 的球，记它们的体积之和为 V 甲 ，表面积之和为 S 甲 ，一个直径为a4a 的球记其体积为 V 乙 ，表面积为 S 乙 ，则( )AV 甲 V 乙 ，S 甲 S 乙 BV 甲 S 乙CV 甲 V 乙 ，S 甲 S 乙 DV 甲 V 乙 ，S 甲 S 乙答案 C二、填空题7一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 ，则该正方体的3表面积为_解析 设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，则 2r a，3a r， r34 ，r ，a2.23
4、3 43 3 3S 表 6a 224.答案 248圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于该容器的水中，若取出两个小球，则容器的水面将下降_解析 由题意，得 2 3 52h，得 h .43 (52) 53答案 cm539一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都是在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为_3解析 球的半径 R 1，(32)2 (36)2故 V 球 R3 .43 43答案 43三、解答题10已知某几何体的三视图如图所示，求它的体积和表面积解 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了
5、部分得到的几何体，其体积18V V 球 13 ，S 表 4 123 12 .78 78 43 76 78 14 17411一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，求这个圆锥的高与球的半径之比解 如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为 R，圆锥的高为 h.V 锥 R2h，V 半球 R3.13 12 43V 锥 V 半球 ，h2R，即 h:R2:1.12桌面上有三个半径均为 r 的小球，它们两两相切，现有第四个半径为 r 的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离解 如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为 O1，O 2，O 3，第四个小球
6、的球心为 O4.因每两个小球都相切，所以 O1，O 2，O 3，O 4构成一个棱长都为 2r 且各面都全等的正三角形的三棱锥设 O4在平面 O1O2O3的正投影为 O，则 O4到桌面的距离为 O4Or.连接 O3O，由于 O 为正三角形O 1O2O3的中心，OO 3 2r r.23 32 233O 4O r. 2r 2 (233r)2 263因此，第四个小球的球心离桌面的距离为 r.(263 1)思 维 探 究13已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高316的比值为多少？解 如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r，由题意得 r2 4 R2.316r R，OO 1 R.32 12体积较小的圆锥的高 AO1R R R，体积较大的圆锥的高 BO1R R R.故这两12 12 12 32个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .13
