1、二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。【典型例题】例 1：（1）已知点 P（ x0， y0）和点 A（1，2）在直线 0823:yxl的异侧，则（ ）A 230yxB 00C 8D 823yx 答案: D。解析：将（1，2）代入 l得小于 0，则 0。（2）满足 2yx的整点的点（ x， y）的个数是 （ ）A5 B8 C12 D13答案：D。解析：作出图形找整点即可。（3）不等式( x2 y1)( x y3)0 表示的平面区域是 （
2、）答案：C。解析：原不等式等价于 03120312yxyx或两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域（4）设实数 x, y 满足 2430y，则 x的最大值为 答案: 32。解析：过点 (1,)2时， x有最大值 32。（5）已知 124ab，求 2tab的取值范围 答案： 0,。解析：过点 31(,)时有最小值 5，过点（3，1）时有最大值 10。例 2：试求由不等式 y2 及| x| y| x|1 所表示的平面区域的面积大小答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组： 21yx或 21yx上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分它所围成的面积 S 42 213
3、例 3：已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x) x22 x()求函数 g(x)的解析式；()若 h(x) g(x) f(x)1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围。答案: ()设函数 y的图象上任意一点 0,Qxy关于原点的对称点为 ,Pxy，则00,2.,xyy即点 0,Q在函数 f的图象上 222,yxyxgxx， 即 故（） 211h 4,x当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 1 1.1x当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为） ,.当 时 ,解 得） 1,0.当 时 解 得 0.综 上 ，例 4：要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张
4、钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？答案:：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则0273185yxy且 x， y 都是整数求目标函数 z x y 取得最小值时的 x， y 的值如图，当 x3， y9 或 x4， y8 时， z 取得最小值需截第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张或第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少【课内练习】1双曲线 24xy的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条
5、直线与 x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）A、03xyB、03xyC、03xyD、03xy答案：A。解析：双曲线 24xy的两条渐近线方程为 yx，过（3，0）且平行于yx的直线是 3y和 3，围成的区域为 A。2给出平面区域如下图所示，其中A（5，3） ，B（1，1） ，C（1，5） ，若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（ ）A B 21 C2 D 23答案:B。解析： ,ACka，即 12a。3设集合 (,)|,1xyxy是三角形的三边长 ，则 A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )A(3,1)B7,9C答案:A。解
6、析： 121,12xyxyy，故选 A4某实验室需购某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元在满足需要的条件下，最少要花费 元答案: 500。解析：设需第一种原料 x 袋，第二种原料 y 袋， 3524106,xyN，令1402zxy，过（1，3）时 min50z元。5已知 0425xy，求 |z的最大值为 。答案：21。解析：可行域如图，当 3,1xy时， min(24)1xy，于是可知可行域内各点均在直线 240xy的上方，故 240，化简得 z并平行移动，当过 C（7，9）时， max1
7、z。6要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 1 2 1第二种钢板 1 1 3每张钢板的面积,第一种为 2m,第二种为 ,今需要 A、 B、 C 三种规格的成品各12、15、27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？答案：解：设需截第一种钢板 x张,第二种钢板 y张,所用钢板面积为 2zm,则有 0,273,15yxy作出可行域(如图) 目标函数为 yxz2作出一组平行直线 t(t 为参数).由 12,73yx得 ),159(A由于点 )215,9
8、(A不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使 z最小,且2076824minz. 答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小. 7已知 3 x6， 31x y2 x，求 x y 的最大值和最小值答案：原不等式组等价于 602xy作出其围成的区域如图所示，将直线 x y0 向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值( x y) min314，(x y)max61218即 x y 的最大值和最小值分别是 18 和 48一家饮料厂生产甲
9、、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每 3 份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半该厂每天能获得的原料是 20L李子汁和 10L苹果汁，又厂方的利润是生产 1L甲种饮料得 3 元，生产 1乙种饮料得 4元那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？答案:（1）列表 李子汁 苹果汁 获得利润 分配方案甲 3/4 1/4 3 元 x乙 1/2 1/2 4 元 y受限条件 2000L 1000L（2）线性约束条件3-1yxO312040xyy（3）作出可行域：图略。（4）构建目标函数 34zxy，即 314xz（5）求出满足条件的最大值： 20,时， 取到最大值 100
10、009预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 15 倍，问桌、椅各买多少才行？答案:：设桌、椅分别买 x， y 张，则0,5.12yx且 x， yN*由 xy2解得 720yx点 A 的坐标为（ 720,） 由 xy5.120解得 25yx点 B 的坐标为（25， 25） 所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分由图形直观可知，目标函数 z x y 在可行域内的最优解为（25， 7） ，但x， yN*，故 y 取 37 买桌子 25，椅子 37 是满足题设的最好选择【作业本】A 组1如图所示的平面区
11、域（阴影部分） ，用不等式表示为 （ ）A、 30xy B、 30xy C、 D、答案:C。解析：用（0，0）代入验证。2设点 (,)P，其中 ,yN，满足 的点 P的个数为 （ ）A、10 个 B、9 个 C、3 个 D、无数个答案:A。解析：x,y 可取 0，1，2，3 且满足条件即可。Aba1020b3不等式组 31yx，表示的区域为 D，点 P1（0，-2） ，P 2（0，0） ，则 （ ）A DP21且 B 21且 C D21且 D P21且答案：C。解析：代入检验。4设 ,xy满足5,30,4.yx则使得目标函数 65zxy的值最大的点 (,)xy是 答案: (2,3)。解析：作出
12、可行域即可发现。5某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 货物 体积（每箱） 重量（每箱） 利润（每箱）甲 5 2 20乙 4 5 10托运限制 24 13 答案：4 ，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为 x,y，则 54213xy， 201zxy，当过（4，1）时有最大值。6试求由不等式| x| y|1 所表示的平面区域的面积大小答 案 :原不等式等价于 0,1,yxy其表示的平面区域如图中阴影部分 S( 2)227已知 (31),01fxaxb，若函数()1fx恒成立，求 a+b 的最大
13、 值。答案：已知 ()1fx恒成立，则 102ba作出可行域令 zab，当 za经过 A时， z 有最大值，由 02解得 4(,)3， max53。8某企业生产 A、 B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品 10 4 5已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200 千瓦，试问该企业生产 A、 B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？答案：设生产 A、 B 两种产品各为 x、 y 吨
14、，利润为 z 万元，则0,2543691yxz7 x12 y作出可行域，如图阴影所示当直线 7x12 y0 向右上方平行移动时，经过 M（20，24）时 z 取最大值该企业生产 A、 B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时，才能获得最大利润B 组1若 x， y 满足约束条件 012xy，则 x2 y 的最大值为 （ ）A0 B 21 C2 D以上都不对答案：C 解析：约束条件所表示的可行域如图所示当直线 x2 y0 平行移动到经过点（0，1）时，x2 y 取到最大值 02122已知点 (3,)A与点 (4,6)B在直线 320xya 的两侧，则 a的取值范围 （ ）A、 4,7 B、 ,
15、C、 ,4)(7,) D、 (,7)(24,)答案:B。解析： (92)(1)02aa。3不等式组 13xy表示的平面区域的面积为 （ ）A、 2 B、 C、 2 D、2 答案:B。解析：区域的顶点 113(,)0,(,)2()S。4 的三个顶点坐标分别为 4,0,ABC，则 AB内任意一点(,)xy所满足的条件为 答案: 024yx。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。5已知点 P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式 012byx表示的平面区域内，则 b 的取值范围是 答案： )21,3(。解析：P（1，2）关于原点的对称点为（1，2） ，210,2bb。6已知 ABC的三
16、边长 ,ac满足ca， ，求 的取值范围答案：解：设 xb， cya，则120,xy，作出平面区域（如右图），由图知： 21(,)3A， (,)C， 23x，即 23ba7. 已知 x、 y满足不等式 103yx,求 z=3x+y的最大值与最小值。 xy01234434yxO1ABCD2x1yyy答案:最大值 3X4-1=-11 最小值 3X(-4)-1=-138某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t 支援物资的任务，该公司有8 辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低答案:设每天调出 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，公司所花的成本为 z 元Z,0180364yxyxz320 x504 y（其中 x， yZ）作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域由图易知，当直线 z320 x504 y 在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z320 x504 y 取得最小值， zmin320550422608每天调出 A 型车 5 辆， B 型车 2 辆，公司所花成本最低
