1、第 2 课时 等比数列的性质知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先
2、后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列 an中依次取出的数为 ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,则 = = =qm(q 为原等比数列km2ak23的公比)，所以此数列成等比数列.3.如果数列 an是等比数列，公比为 q,c 是不等于零的常数，那么数列 can仍是等比数列，且公比仍为 q;| an| 也是等比，且公比为| q|.我们可以设数列 an的公比为 q,且满足=q,则 = =q,所以数列 can仍是等比数列，公比为 q.同理，可证| an|也是n1nc1等比数列，公比为| q|.4.在等比数列 an中，若 m+n=t+s 且 m,n
3、,t,sN +则 aman=atas.理由如下：因为 aman=a1qm-1a1qn-1=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因为 m+n=t+s,所以 m+n-2=t+s-2,所以 aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若 an， bn均为等比数列，公比分别为 q1,q2,则（1） anbn仍为等比数列，且公比为 q1q2.(2) 仍为等比数列，且公比为 .n 2理由如下：（1） =q1q2,所以 anbn仍为等比数列，且公比为 q1q2;(2) nba = ,nnba121q所以
4、仍为等比数列，且公比为 .nba21q知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系（1）两项关系通项公式的推广：an=am (m、 nN +).(2)多项关系项的运算性质若 m+n=p+q(m、 n、 p、 qN +)，则 aman= .特别地，若 m+n=2p(m、 n、 pN +） ，则 aman .2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方） ，即 a1an a2 =ak =a 2 (n 为正奇数).1答案 1. qn-m apaq a2p2.an-1 an-k+1思路方法技巧命题方向 运用等比数列性质 an=amqn
5、-m (m、 nN +)解题例 1 在等比数列 an中，若 a2=2,a6=162,求 a10.分析 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得 q,再求 a10.解析 解法一：设公比为 q,由题意得a1q=2 a1= a1=-33，解得 ，或 .a1q5=162 q=3 q=-3 a10=a1q9= 39=13122 或 a10=a1q9=- （-3） 9=13122.322解法二： a6=a2q4, q4= = =81,2 a10=a6q4=16281=13122.解法三：在等比数列中，由 a26=a2a10得a10= = =13122.261说明 比较上述三种解法，可看出解法二、解
6、法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用 1 已知数列 an是各项为正的等比数列，且 q1,试比较 a1+a8与 a4+a5的大小.解析 解法一：由已知条件 a10,q0，且 q1,这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1- q4）=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,显然， a1+a8a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于( a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-
7、q3)=(1-q3)(a1-a5).当 01 时，此正数等比数列单调递增，1- q3与 a1-a5同为负数，( a1+a8)-(a4+a5)恒正. a1+a8a4+a5.命题方向 运用等比数列性质 aman=apaq(m,n,p,qN +,且 m+n=p+q)解题例 2 在等比数列 an中，已知 a7a12=5，则 a8a9a10a11=（ ）A.10 B.25 C.50 D.75分析 已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.答案 B解析 解法一： a7a12=a8a11=a9a10=5， a8a9a10a11=52=25.解法二：由已知得
8、a1q6a1q11=a21q17=5， a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17) 2=25.说明 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立 a1,q 的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式应用 2 在等比数列 an中，各项均为正数，且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求 a4+a8.解析 a6a10=a28,a3a5=a24, a28+a24=41.又 a4a8=5,an0, a4+a8= = = .28)(28451探索延拓创新命题方向
9、 等比数列性质的综合应用例 3 试判断能否构成一个等比数列 an，使其满足下列三个条件： a1+a6=11; a3a4= ;至少存在一个自然数 m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差数列，923294若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.分析 由条件确定等比数列 an的通项公式，再验证是否符合条件.解析 假设能够构造出符合条件的等比数列 an,不妨设数列 an的公比为 q,由条件及 a1a6=a3a4,得a1+a6=11 a1= a1= 32，解得 ，或a1a6= a6= a6= .9232a1= a1=3从而 ，或 .q=2 q= 21故所求数列的通项为 an= 2n-
10、1或 an= 26-n.33对于 an= 2n-1,若存在题设要求的 m,则32am= am-1+（ am+1+ ）,得942（ 2m-1）= 2m-2+ 2m+ ,得3942m+8=0,即 2m=-8,故符合条件的 m 不存在.对于 an= 26-n,若存在题设要求的 m，同理有326-m-8=0,即 26-m=8, m=3.综上所述，能够构造出满足条件的等比数列，通项为 an= 26-n.31说明 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.变式应用 3 在等差数列 an中，公差 d0, a2是 a1与 a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，求数列 kn的
11、通项 kn.解析 由题意得 a22=a1a4，即( a1+d) 2=a1(a1+3d)，又 d0, a1=d. an=nd.又 a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列，该数列的公比为 q= = =3.13d akn=a13n+1.又 akn=knd, kn=3n+1.所以数列 kn的通项为 kn=3n+1.名师辨误做答例 4 四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三项之和为 1 ，求这个等比数列43的公比.误解 设这四个数为 aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得a3q-3=1, aq-1+aq+aq3=1 . 4由得 a=q,把 a=q 代入并整理，得 4q4+4q2-3=0
12、,解得 q2= 或 q2=- (舍去)，故所求13的公比为 .21辨析 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为 q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.正解 设四个数依次为 a,aq,aq2,aq3,由题意得（ aq） 3=1, aq+aq2+aq3=1 . 4由得 a=q-1,把 a=q-1代入并整理，得 4q2+4q-3=0,解得 q= 或 q=- ,故所求公比为213或- .21课堂巩固训练一、选择题1.在等比数列 an中，若 a6=6,a9=9,则 a3等于（ ）A.4 B. C. D.323916答案 A解析 解法一： a6=a3q3, a3q3=6.a9=a6q3
13、， q3= = .2 a3= =6 4.解法二：由等比数列的性质，得a26=a3a9，36=9 a3， a3=4.2.在等比数列 an中, a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9等于（ ）A.90 B.30 C.70 D.40答案 D解析 q2= =2,5476a a8+a9=（ a6+a7） q2=20q2=40.3.如果数列 an是等比数列，那么（ ）A.数列 a2n是等比数列 B.数列2 an是等比数列C.数列lg an是等比数列 D.数列 nan是等比数列答案 A解析 数列 a2n是等比数列，公比为 q2,故选 A.二、填空题4.若 a,b,c 既成等差数列，又成等比数列，
14、则它们的公比为 .答案 12b=a+c,解析 由题意知 b2=ac,解得 a=b=c, q=1.5.在等比数列 an中，公比 q=2,a5=6,则 a8= .答案 48解析 a8=a5q8-5=623=48.三、解答题6.已知 an为等比数列，且 a1a9=64,a3+a7=20，求 a11.解析 an为等比数列, a1a9=a3a7=64,又 a3+a7=20, a3,a7是方程 t2-20t+64=0 的两个根. a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4,当 a3=4 时， a3+a7=a3+a3q4=20,1+ q4=5， q4=4.当 a3=16 时， a3+a7=a3（1+ q
15、4）=20,1+ q4= ， q4= .51 a11=a1q10=a3q8=64 或 1.课后强化作业一、选择题1.在等比数列 an中， a4=6,a8=18,则 a12=（ ）A.24 B.30 C.54 D.108答案 C解析 a8=a4q4, q4= = =3,861 a12=a8q4=54.2.在等比数列 an中， a3=2-a2,a5=16-a4,则 a6+a7的值为（ ）A.124 B.128 C.130 D.132答案 B解析 a2+a3=2,a4+a5=16,又 a4+a5=(a2+a3)q2, q2=8. a6+a7=(a4+a5)q2=168128.3.已知 an为等比数列
16、，且 an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.20答案 A解析 a32=a2a4,a52=a4a6, a32+2a3a5+a52=25,( a3+a5) 2=25,又 an0, a3+a5=5.4.在正项等比数列 an中， a1和 a19为方程 x2-10x+16=0 的两根，则 a8a10a12等于（ ）A.16 B.32 C.64 D.256答案 C解析 由已知，得 a1a19=16,又 a1a19=a8a12=a102, a8a12=a102=16,又 an0, a10=4, a8a10a12=a103=64.5.已知等比数
17、列 an的公比为正数，且 a3a9=2a25,a2=1,则 a1=（ ）A. B. C. D.2212答案 B解析 a3a9=a26,又 a3a9=2a25, a26=2a25,（ ） 2=2,5 q2=2, q0, q= .又 a2=1, a1= = = .26.在等比数列 an中， anan+1，且 a7a11=6,a4+a14=5,则 等于（ ）16A. B. C. D.62332答案 Aa7a11=a4a14=6解析 a4+a14=5a4=3 a4=2解得 或 .a14=2 a14=3又 anan+1, a4=3,a14=2. = = .164237.已知等比数列 an中，有 a3a1
18、1=4a7,数列 bn是等差数列，且 b7=a7,则 b5+b9等于（ ）A.2 B.4 C.8 D.16答案 C解析 a3a11=a72=4a7, a70, a7=4, b7=4, bn为等差数列， b5+b9=2b7=8.8.已知 00，且 a2=1+a1,a4=9+a3,则 a5-a4等于 .答案 27解析 由题意，得 a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9, q2=9,又 an0, q=3.故 a5-a4=(a4-a3)q=9327.10.已知等比数列 an的公比 q=- ,则 等于 .386427531aa答案 -3解析 86427531aaqq7531= =-3.q11
19、.(2012株州高二期末)等比数列 an中， an0,且 a5a6=9,则 log3a2+log3a9=.答案 2解析 an0,log 3a2+log3a9=log3a2a9=log3a5a6=log39=log332=2.12.（2011广东文，11）已知 an是递增等比数列, a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=.答案 2解析 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.解析： a4-a3=a2q2-a2q=4，因为 a2=2，所以 q2-q-2=0，解得 q=1，或 q=2.因为 an为递增数列，所以 q=2.三、解答题13.在等比数列 an中，已知 a4a7
20、=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求 a10.解析 a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124 a3=-4 a3=128 ，解得 或 .a3a8=-512 a8=128 a8=-4又公比为整数， a3=-4,a8=128,q=-2. a10=a3q7=(-4)（-2） 7512.14.设 an是各项均为正数的等比数列， bn=log2an，若 b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式 an.解析 由 b1+b2+b3=3,得 log2(a1a2a3)3， a1a2a32 38， a22=a1a3， a2=2,又 b1b2b3=-3,设等比数列 an的公
21、比为 q，得log2（ ）log 2(2q)=-3.解得 q4 或 ，1所求等比数列 an的通项公式为an=a2qn-2=22n-3或 an=25-2n.15.某工厂 2010 年生产某种机器零件 100 万件，计划到 2012 年把产量提高到每年生产 121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011 年生产这种零件多少万件？.解析 设每一年比上一年增长的百分率为 x,则从 2010 年起，连续 3 年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即 a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1 x) 2,成等比数列.由 100(1+
22、x) 2=121 得(1+ x) 2=1.21,1 x=1.1 或 1+x=-1.1, x=0.1 或 x=-2.1(舍去)，a2=100(1+x)=110(万件)，所以每年增长的百分率为 10，2011 年生产这种零件 110 万件.16.等差数列 an中， a4=10，且 a3,a6,a10成等比数列.求数列 an前 20 项的和 S20.解析 设数列 an的公差为 d，则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.由 a3,a6,a10成等比数列得 a3a10=a26，即（10- d） （10+6 d）=（10+2 d） 2,整理得 10d2-10d=0,解得 d=0 或 d=1.当 d=0 时， S20=20a4=200，当 d=1 时， a1=a4-3d=10-31=7,于是， S20=20a1+ d=207+190=330.290
