1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征【学习目标】1掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征2会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题【学习重点】用样本的数字特征估计总体的数字特征课前预习案【知识链接】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51甲、乙两战士命中环数的平均数 甲、 乙各是多少？x x2由 甲， 乙能否判断两人的射击水平？x x3观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【知识梳理】1众数(1)定义：一组数据中出现次数_的数称为这组数
2、据的众数(2)特征：一组数据中的众数可能_个，也可能没有，反映了该组数据的_2中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于_位置的数称为这组数据的中位数(2)特征：一组数据中的中位数是_的，反映了该组数据的_在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_3平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商数据 x1，x2，xn 的平均数为_.x(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的_，但平均数受数据中_的影响较大，使平均
3、数在估计总体时可靠性降低4标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示，通常用以下公式来计算s_.(2)特征：标准差描述一组数据围绕_波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小标准差较大，数据的离散程度较_；标准差较小，数据的离散程度较_5方差(1)定义：标准差的平方，即 s2_.(2)特征：与_的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小(3)取值范围：_.知识拓展：数据组 x1，x2，xn 的平均数为 ，方差为 s2，标准差为 s，则数据组xax1b，ax2b，axnb(a，b 为常数)的平均数为 a b，方差为 a2s2，标准差为 as.x6用
4、样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方 差是不知道的，因此，通常用_的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计这与上一节用_的频率分布来近似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的小结：用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差样本容量越大，估计就越精确自主小测1、 数据组 8，1,0,4，4,3 的众数是_172、 数据组5,7,9,6，1 ,0 的中位数是_3、10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14
5、,12，则其平均数是_4、 一组数据的单位是 m，平均数是 ，标准差为 s，则( )xA 与 s 的单位都是 km B 与 s 的单位都是 cmx xC 与 s 的单位都是 m D 与 s 的单位不同x x课上导学案【例题讲解】题型一 计算方差(标准差)【例题 1】 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如下表，则这 100 人成绩的标准差为_分数 5 4 3 2 1人数 20 10 30 30 10【例题 2】 某工厂人员及月工资构成如下：人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计月工资(元) 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700人数 1
6、 6 5 10 1 23合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数(2)这个问题中，平均数能客观 地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？【例题 3】 甲、乙两台包装机同时包装质量为 200 克的糖果，从中各抽出 10 袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194(1)分别计算两个 样本的平均数与方差(2)从计算结果看，哪台包装机包装的 10 袋糖果的平均
7、质量更接近于 200 克？哪台包装机包装的 10 袋糖果的质量比较稳定？【例题 4】 小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是 96,98,95,93 分，但最近的一次考试成绩只有 45 分，原因是他带病参加了考试期末评价时，怎样给小明评价？【当堂检测】1如图，是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )A3 与 3 B23 与 3 C3 与 23 D23 与 232(2011北京海淀二模，理 5)某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )A甲运动员得
8、分的极差大于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定3抛硬币 20 次，抛得正面朝上 12 次，反面朝上 8 次如果抛到正面朝上得 3 分，抛到反面朝上得 1 分，则平均得分是_，得分的方差是_ _4某人 5 次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为 x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则 x2y2_.5某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲 127
9、138 130 137 135 131乙 133 129 138 134 128 136求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛【问题与收获】 【知识链接】答案【提示】 甲7 环； 乙7 环x x【提示】 由于 甲 乙，故无法判断x x【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定知识梳理答案：1(1)最多 (2)不止一 集中趋势2(1)中间 (2)唯一 集中趋势 相等3(1) (2)平均水平 信息 极端值x1 x2 xnn4(1) (2)平均数 大 小1n x1 x 2 x2 x 2 xn x 25(1) (x1
10、)2(x2 )2(xn )21n x x x(2)标准差 (3)0，)B 方差刻画一组数据离散程度的大小6样本 样本自主小测：1、 42、 3 将该组数据按从小到大排列为5，1，0,6,7,9，则中位数是 3.0 623、 14.7 平均数是 (15171410151717161412)14.7.1104、 C 与 s 的单位都与数据组中的数据单位相同，是 m.x5、 B 方差刻画一组数据离散程度的大小6、 D7、B 这 10 个数据的平均数是 (30352525303426252921)28，则该110日生产的电池的平均寿命估计为 28 小时答案：【例题 1】 这 100 人的总成绩为 52
11、0410330230110300，平2 105均成绩为 3，则该 100 人成绩的标准差为3001001100 5 3 220 4 3 210 3 3 230 2 3 230 1 3 210 .2 105【例题 2】 解：(1)由表格可知，众数为 2 000 元把 23 个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为2 200，故中位数为 2 200 元平均数为(22 00015 00011 00020 0001 000)2369 000233 000(元)(2)虽然平均数为 3 000 元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平
12、均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平【例题 3】 解：(1) 甲 (3424115321)200200.8.x110乙 (10861090766)200201.5.x110s 7.96，s 38.05.2甲 2乙(2)200 甲 乙，x x甲台包装机包装的 10 袋糖果的平均质量更接近于 200 克s s ，2甲 2乙甲台包装机包装的 10 袋糖果的质量比较稳定【例题 4】 正解：小明 5 次考试成绩，从小到大排列为 45,93,95,96,98，中位数是 95，应评定为“优秀” 当堂检测答案：1D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个
13、数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为 23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知 23 出现了 3 次，次数最多，因此众数也是 23，所以选 D2D 甲运动员比赛得分的最高分为 47，最低分为 18，极差为 29，乙运动员比赛得分的最高分为 33，最低分为 17，极差为 16，所以 A 项正确； 甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分的中位数为 26，所以 B 项正确；甲运动员的得分平 均值 x甲 13(18181920212630323335404147)341，乙运动员的得分平均值 x乙 13(17171919222526272929303233)25，甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，所以 C 项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定32.2 0.96 总得分为 1238144，则平均分是4202.2，方差s2120(32.2)212(12.2)280.96.
