1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)【学习要求】1了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数 y Asin(x )及 y Acos(x )的周期3掌握函数 ysin x， ycos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性【学法指导】1在函数的周期定义中是对定义域中的每一个 x 值来说，对于个别的 x0满足 f(x0 T) f(x0)，并不能说 T 是 f(x)的周期例如：既使 sin sin 成立，也不能说( 4 2) 4是 f(x)sin x 的周期 22判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断 f(
2、x)与 f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个 ，使得当 x 取定义域内的 时，都有 ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 2正弦函数、余弦函数的周期性由 sin(x2 k) ， cos(x2 k) 知 ysin x 与 ycos x 都是 函数， 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2.3正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数 ysin x 与余弦函数 ycos x 的
3、定义域都是 ，定义域关于 对称(2)由 sin( x) 知正弦函数 ysin x 是 R 上的 函数，它的图象关于 对称(3)由 cos( x) 知余弦函数 ycos x 是 R 上的 函数，它的图象关于 对称.探究点一 周期函数的定义一般地，对于函数 y f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x T) f(x)都成立，那么就把函数 y f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期(1)证明函数 ysin x 和 ycos x 都是周期函数答 sin( x2)sin x，cos( x2)cos x， ysin x 和 ycos x 都是
4、周期函数，且 2 就是它们的一个周期(2)满足条件： f(x a) f(x)(a 为常数且 a0)的函数 y f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由答 f(x a) f(x)， f(x2 a) f(x a) a f(x a) f(x) f(x) f(x2 a) f(x)函数 y f(x)是周期函数，且 2a 就是它的一个周期探究点二 最小正周期如果非零常数 T 是函数 y f(x)的一个周期，那么 kT(kZ 且 k0)都是函数 y f(x)的周期(1)周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(kZ，且 k0)一定也是周期例如，正弦函数 ysin x 和余弦函数
5、 ycos x 的最小正周期都是 ，它们的所有周期可以表示为：(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期” ，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期请你写出符合上述特征的一个周期函数： .(3)证明函数的最小正周期常用反证法下面是利用反证法证明 2 是正弦函数 ysin x的最小正周期的过程请你补充完整证明：由于 2 是 ysin x 的一个周期，设 T 也是正弦函数 ysin x 的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当 x 取定义域内的每一个值时，都有 .令 x ，代入上式，得 sin sin 1， 2 ( 2 T) 2又 sin ，所以 .( 2 T)另一方面，当 T(0,2)时， ，
6、这与 矛盾故 2 是正弦函数 ysin x 的最小正周期同理可证，余弦函数 ycos x 的最小正周期也是 2.探究点三 函数 y Asin(x )(或 y Acos(x )(A 0)的周期证明 是函数 f(x) Asin(x )(或 f(x) Acos(x )的最小正周期2| |答 由诱导公式一知：对任意 xR，都有 Asin(x )2 Asin(x )，所以 Asin Asin(x )， (x2 ) 即 f f(x)，(x2 )所 以 f(x) Asin( x )( 0)是 周 期 函 数 ， 就 是 它 的 一 个 周 期 2 由于 x 至少要增加 个单位， f(x)的函数值才会重复出现
7、，2| |因此， 是函数 f(x) Asin(x )的最小正周期2| |同理，函数 f(x) Acos(x )也是周期函数，最小正周期也是 .2| |探究点四 正、余弦函数的奇偶性正弦曲线余弦曲线从函数图象看，正弦函数 ysin x 的图象关于 对称，余弦函数 ycos x 的图象关于 对称；从诱导公式看，sin ( x) ，cos( x) 均对一切 xR 恒成立所以说，正弦函数是 R 上的 函数，余弦函数是 R 上的 函数【典型例题】例 1 求下列函数的周期(1)ysin (xR)；(2) ycos(1 x)(xR)；(2x 3)(3)y|sin x| (xR)解 (1)方法一 令 z2 x
8、 ， 3 xR， zR，函数 f(z)sin z 的最小正周期是 2，就是说变量 z 只要且至少要增加到 z2，函数 f(z)sin z(zR)的值才能重复取得，而 z22 x 22( x) ，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x，函数 3 3值才能重复取得，从而函数 ysin (xR)的周期是 .(2x 3)方法二 ysin (xR)的周期为 .(2x 3) 22(2)设 f(x)cos(1 x)，则 f(x)cos( x1)cos( x1)2cos( x2)1cos( x2)1cos( x1) f(x2) f(x)，从而函数 ycos(1 x)(xR)的周期是 2.(3)作出 y|sin
9、 x|(xR)的图象由图象可知， y|sin x|(xR)的周期为 .小结 对于形如函数 y Asin(x )， 0 时的周期求法常直接利用 T 来求解，2| |对于 y| Asin x |的周期情况常结合图象法来求解跟踪训练 1 求下列函数的周期：(1)ycos 2 x；(2) ysin ；(3) y|cos x|.(12x 3)例 2 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)既 是 偶 函 数 又 是 周 期 函 数 ， 若 f(x)的 最 小 正 周 期 是 ， 且 当 x时 ， f(x) sin x， 求 f 的 值 0 ， 2 ( 5 3 )解 f(x)的最小正周期是 ， f f f
10、(53) (53 2 ) ( 3) f(x)是 R 上的偶函数， f f sin . f .( 3) ( 3) 3 32 (53) 32小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量 x 的值转化到可求值区间内跟踪训练 2 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 1，求 f 的值 2 ( 3) ( 56)例 3 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin ；(2) f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(12x 2)(3)f(x) .1 sin x cos2x1 sin x小结 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或
11、偶函数的前提条件，然后再判断 f( x)与 f(x)之间的关系跟踪训练 3 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cos x2sin x；(32 2x)(2)f(x) .1 2cos x 2cos x 11函数 ysin(4 x )的周期是 ( )32A2 B C D 2 42下列函数中，周期为 的是 2( )A ysin B ysin 2 xx2C ycos D ycos(4 x)x43已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(1)2， f(x3) f(x)，则f(8)_.4若 f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) x2sin x，求当 x0， xR)的周期 T .22判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.
