1、12 余弦定理ABC 中，已知边 a，b 及C.1若C90，则 c2a 2b 22若C 是锐角，如左下图 ，作 ADBC 于点 D，于是 ADb sin C，CDb cos_C，BDab cos_C3若C 为钝角，如右上图，作 ADBC，与 BC 的延长线相交于点 D，此时ADb sin( C)b sin_C，C Db cos( C)b cos C.4在 ABC 中，已知边 a、b 及C，由 c2a 2b 22ab cos C 可得 cos Ca2 b2 c22ab5结论“三角形任何一边 的平方等于其他两边 的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍” ，称为余弦定理6根据 cos C 可知
2、，当 a2b 2c2. 基础巩固一、选择题1(2013天津卷)在ABC 中，ABC ，AB ，BC3，则 sinBAC( C) 4 2A. B.1010 105C. D.31010 55解析：由余弦定理得 AC2BA 2BC 22BABC cosABC5，AC .再由正弦定理5 ，可得 sinBAC .BCsin BAC ACsin ABC 310102在ABC 中，a1，b ，c2，则 B 等于( C)3A30 B45C60 D120解析： cos B .c2 a2 b22ac 4 1 34 12B60.3边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和是( B)A90 B120C135 D
3、150解析：设边长为 7 的边所对的角为 ，则由余弦定理得：cos ，60.52 82 72258 12最大角与最小角的和为 18060120.4在ABC 中，b 2c 2a 2bc，则 A 等于( C)A60 B135 C120 D90解析： cos A ，A120.b2 c2 a22bc 125在ABC 中，B60，b 2ac，则ABC 一定是( D)A锐角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：由 b2ac 及余弦定理 b2a 2c 22ac cos B，得 b2a 2c 2ac，(ac)20.ac.又 B60，ABC 为等边三角形二、填空题6(2013上海卷)已知ABC 的
4、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若3a22ab3b 23c 20，则 cos C_ _.解析：由 3a22ab3b 23c 20 得 a2b 2c 2 ab，从而 cos C 23 a2 b2 c22ab.13答案：137在ABC 中，若 AB ，AC5，且 cos C ，则 BC_5910解析：由余弦定理得：AB 2AC 2BC 22ACBC cos C，即：525BC 29BC，解得：BC4 或 5.答案：4 或 58在ABC 中，化 简 bcos Cc cos B_解析：由余弦定理得：原式b ca2 b2 c22ab a2 c2 b22ac a.a2 b2 c22a a2
5、c2 b22a答案：a三、解答题9在ABC 中，B120，若 b ，ac4，求ABC 的面积13解析：由余弦定理得：b 2a 2c 22ac cos B，即 b2(ac) 22ac2ac ，(12)ac3.故 SABC acsin B 3 .12 12 32 33410在ABC 中，C90，现以 am，bm，cm(m0)为边长作一个ABC，试判断ABC的形状解析：最大边长 cm 所对角为 C，则cos C（ a m） 2 （ b m） 2 （ c m） 22（ a m） （ b m）（ a2 b2 c2） 2m（ a b c） m22（ a m） （ b m） 0，2m（ a b c） m22
6、（ a m） （ b m）C为锐角，而 C为ABC的最大角，故ABC为锐角三角形能力升级一、选择题11三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程 5x27x60 的根，则三角 形的另一边长为( B)A52 B2 13C16 D4解析：设夹角为 ，所对的边长为 m，则由 5x27x60，得(5x3)(x2)0，故得 x 或 x2，因此 cos ，于是 m25 2 32253 52，m235 35 ( 35).1312在不等边三角形中，a 为最大边，如果 a20，故知 A 为锐角，又 A 是不等边三角形的最大角，故 A60，60A90.13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
7、b，c，若(a 2c 2b 2)tan B ac，则3B( B)A. B. 或 6 3 23C. 或 D. 6 56 3解析：由(a 2c 2b 2)tan B ac 得 a2c 2b 2 ，再由余弦定理得：33actan Bcos B ，即 tan Bcos B ，即 sin B ，B 或 .a2 c2 b22ac 32tan B 32 32 3 23二、填空题14在ABC 中，已知A60，且最大边长和最小边长恰好是方程 x27x110的两根，则第三边的边长为_解析：由A60可知，边 a 既不是最大边，也不是最小边，故知bc7，bc11，a 2b 2c 22bc cos 60b 2c 2bc
8、(bc)23bc493316，a4.答案：415已知ABC 的三边 a，b，c，且面积 S ，则角 C_a2 b2 c24解析：由 absin C 得 a2b 2c 22a bsin C，再由余弦定理 cos C12 a2 b2 c24得 sin C cos C，C .a2 b2 c22ab 4答 案： 4三、解答题16设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，b2， cos C .14(1)求ABC 的周长；(2)求 cos(AC)的值解析：(1)c 2a 2b 22ab cos C144 4，c2.ABC 的周长 为141225.(2) cos C ， sin C ，14 1 cos2C 154cos A .b2 c2 a22bc 22 22 12222 78 sin A .1 (78)2 158 cos(AC) cos Acos C sin Asin C .78 14 158 154 1116
