1、带启动时间的多重休假 MXG1 排队第 15 卷第 2 期2006 年 4 月运筹与管理OPERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEV01.15.No.2Apr.2006带启动时间的多重休假 MX/G/1 排队高娃,斯琴 2(1.内蒙古财经学院基础部,内蒙古呼和浩特 010051;2.大连理工大学应用数学系,辽宁大连 116024)摘要:本文研究批量到达带启动时间的多重休假的 M/G/1 排队,给出稳态队长和等待时间分布的母函数及其随机分解结果,推导出忙期,全假期和在线期母函数和均值.关键词:运筹学;连续时间排队;随机分解;多重休假中图分类号:0226 文章标识
2、码:A 文章编号:10073221(2006020037?04AnMx/G/1QueuewithMultipleVacationandSet-UpTimeGAOWa,SIQin(1.DepartmentofBasicCourses,InnerMongoliaCollegeofFinanceandEconomics,Huhhot010051,China;2.DepartmentofAppliedMath.DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)Abstract:Inthispaper,aqueueingmoddwithmultiplevac
3、ationandsetuptimewithbatcharrivalisconsidered.Thegeneratingfunctionofsteadystatequeuelength,theLSTofwaitingtimeandthdrstochasticdecompositionsarederived.Andthebusyperiod.thewholevacationperiodandtheon-periodofmodelareanalysed.Keywords:OR;continuoustimequeueing;stochasticdecomposition;multiplevacatio
4、n0 引言近这些年来已有不少研究工作者对具有随机启动时间的排队系统模型进行研究,Levy 和 Kleinrock考虑了具有一个随机启动时问的 M/G/1 排队,在这类排队模型中系统忙期每次开始之前都要先进行一个随机启动期.Doshi,Takagi引,Choudhury 和马占友等对这类模型做了大量的工作,并指出这类模型可以当作休假排队来研究.事实上,休假排队已经引起广大研究工作者的关注,而对于具有休假策略的 M/G/1 排队,多数工作集中在多重休假(multiplevacation)和单重休假(singlevacation)两类模型的研究2-6.但有关批量到达和批量服务的排队模型研究比较少,最
5、近 Lee 和Srinivasan7研究了可控制的具有多重休假的 M/G/1 排队模型.Choudhury8J 给出了启动时问和闲期作为休假期的 M/G/1 排队模型.本文就基于这种思想给出了带有启动时问的多重休假 M/G/1 排队模型.现在我们考虑具有一个随机启动时问的多重体假的 M/G/1 排队系统,在这里顾客到达是随机到达长度为 x 的复合泊松过程.一旦系统无顾客,服务员立刻开始一次随机长度 V 的休假.结束一次休假时系统仍无顾客到达,就继续一次独立同分布的休假,直到某次休假结束时系统已有顾客等待,服务员终止休假并开始经历一个随机长度 U 的启动时间后, 才能开始为顾客服务,直到服务台再
6、次变成空闲,事实上,这模型的一些性能指标早巳经由 Levy 和 Kleinroek,Doshi和马占友等在没有批量到达的条件下研究.然而在现实生活中,顾客批量到达代替顾客单个到达更符合实际_9.1.因此我们用带启动时间的收稿日期:20050727作者简介:高娃(1957 一), 女 ,蒙古族,内蒙古呼和浩特人.内蒙古财经学院基础课部副教授,主要研究方向:随机优化运筹与管理 2006 年第 15 卷多重休假的 M 臀/G/1 来表示这排队系统.l 模型的描述的和嵌入 Markov 链设 gk=P(G=忌),(忌=1,2,)为批量长等于忌的概率,G(),g 和 g()分别为 g 的概率母函数,平均
7、值和第 i(i=2,)阶矩,也就是G()=芝 gkz,g=EG=G(,g(=EG(G 一 1)(Gi+1)=G(1)设是批量泊松到达率,B(),b 和 6“分别是每个服务时间的分布函数的LST(LaplaceStieltjesTransform),平均值和第 i(i=2,)阶矩.因此,系统在 t 时刻休假时间和启动时间“ 内有 J 个顾客的概率分布及它们的母函数可表示为:=e-tdV加(1j=e-atd0(1以 L 表示第个顾客完成服务离去后系统中的顾客数,L, 1 是队长过程 L(t)嵌入Markov链,有如下关系L 川=二 c,这里 A+1 是第+1 顾客服务时间内到达的顾客数,其中A,1
8、“/;1,是独立同分布的随机序列,而 a是休假时间内到达的顾客数,这休假时间由多重休假和启动时间组成.由于顾客到达是批量的,因此在每个服务时间内到达的顾客数分布为复合泊松分布.若用 A 和 A 分别表示一个服务期内到达的批量数和顾客数,则得到关系式 A=G(+G(AI),这里G(,=1,2,A与批量长 G 是独立同分布的随机变量,从而,得到 A 母函数为:A()=E=妻= 忌)=妻G(e 咄 dB(f)=B(1 一 G()(2)k-OEEIAgkip(A,k=0u.以休假期是否有顾客到达为条件,则得到的概率分布,概率母函数和均值分别为(;.):(卜() 一,a()=E=(1 一() 一 IH(
9、1 一 G()(1 一 G()一()E口=gE(i 一()I1+gEu2 系统稳态性能分析当 P=g6i 时,系统稳态.记 C(0)=Ea/g=AEV1 一() 一+EU定理 i 当 IDi 时,11 可分解成为两个随机变量之和 11=110+lld,这里 110 是经典无休假 M.x/G/1的稳态队长,其母函数见8;附加队长d 的母函数为:玎 d:(4)证明以第扎个顾客离去时系统是否有顾客为条件,由公式(1),两边取母函数得Ez 一=E2LI1IL0P(L0)+E 一 IL=Op(L=0)=(Ez一 0)A(z)/z+丌 0A(2)口()/z由于 tL,nOt 是独立同分布的随机变量,把(3
10、)的第二个公式和 (2)代人上式,整理并计算为1I(加(1_G()使用正规化条件/(1)=1 及 LHospital 法则.给出=(1ID)C()-1,把代人(z)的表达式,则得第 2 期高谴,等!带启动时间的多重休假 Mx/fill 排队 39=1 一“(1 一 G(z)(1C(0)(1 一 G(z)=0(z)(z)(6)由(6)式给出了 (4)式;而平均稳态队长 E()和平均附加队长 E()可以通过计算E1(1)和 E1d(1)来确定.从而完成定理 1 的证明.定理 2 当 P1 时,稳态等待时间可以分解成两个独立随机变量之和 W=W0+,其中 W0 是无休假 Mx/G/1 排队的稳态等待
11、时间,其 LST 见 rlo,附加延迟的 LST 为:业(7)证明假设在同一时刻到达的批量顾客组成一个超级顾客,那么超级顾客在 MIGI1排队系统的各项指标用下标为 g 加以区别在/G/1 排队系统的.由于考虑在等待顾客是随机选择的,所以顾客在系统中的等待时间由两部分时间独立组成.一是逗留顾客属于超级顾客的(这超级顾客还没有接受服务)的等待时间,它的 LST 用:(s)表示;另一个是逗留顾客在超级顾客内的等待时间 D,其它的 LST 用D(s)表示.一个超级顾客服务时间的概率母函数为:B(“)= B(s)=GB(s)(8)由(6),相应/G/1 排队系统中一个超级顾客的服务完后系统中超级顾客数
12、的概率母函数为lIf,:二二兰星! 二B(1 一 Gg()卜 z其中 G(z)=z,C(0)=C().在等待时间独立于到达时刻以后的输入过程时,离去时留在系统中的顾客数,仍然等于他的等待时间和服务时间 S 内到达的顾客数之和 .由输入 Poisson 过程的独立增量性质,等待时间与服务时间内到达的顾客数相互独立.再由(6)则得到(z)=(1 一 Gg(z)B(1 一 Gg(z)(10)把(8)和(9)代人(10),并令(1 一 G(z)=s,则得到Wg(业籍)(11)用“ 离散时间形式“ 的更新理论的一个结果来找 D(s),如果在超级顾客中的一个逗留顾客之前假定的顾客数为 G 一,这里用到更新
13、过程,两个连续更新点间隔为批量长 G.而 G 一的概率分布和母函数分别如下(它们具体推导可以参看11第 2.1 节)(G 一 =k)=(Gk)/gG)=妻 k=O一吉zkgj=01)6t=+6,从而可以得到 D 的 LST 为G_B(13)由于顾客的等待时间是由和 D 两部分组成的,而这两部分是独立的 ,并由(11)和(13)则得到(s)=(s).(s)=:_j;Wj(s)=Wo“(s)c;(s)(14)由(14)式给出了 (7)式.而平均稳态等待时间 E(W)和平均附加延迟 E()可以通过计算 W(1)和W(1)来确定,从而完成定理 2 的证明.40 运筹与管理 2006 年第 15 卷设
14、B,表示系统中的忙期长度,现在的忙期指启动期结束开始服务的时刻算起直到系统再次变成空闲的这一段时间里.由(3)中的第二式知忙期 B 的 LST 和均值各为:B():l 二*(.: 【( 卜 GB*()EB:堕+.:【辱 E(u)EB 卜 E(B)E(a)其中 B(s)是经典 Mx/G/1加中忙期的 LST,而 EB=b(1 一D).从服务结束而开始休假时刻算起,直到终止休假而进入启动期时刻的时间间隔称为全假期.一个全假期 vc 由相继的 R 个连续休假 V 组成,假设 R 的概率分布和母函数分别为 R和 R(z),从而有和 R)=卜由此得到全假期的母函数和均值为:V 占()=R(G(s)=1
15、一二和 EVG=从一个忙期结束时算起,直到下一个相邻的忙期结束时止的时间区段称为一个忙循环,记 B.容易看到,忙循环由休假期和启动期随后的忙期构成的,而启动期是由于批量到达引起的,所以系统平均启动时间为E口=gE(U).因而,忙循环的平均长度是E(B)=gE(U)+A+E(B)=詈兰上一,J/最后,稳态下任一时刻服务台处于各种状态的概率是_P,舻巫黔,户 V=休假期可视为服务员离岗时间,而通常的空闲期服务员仍需坚守岗位以便随时接待新到达的顾客,称结束直到下次休假开始的一段时间为服务员在线期.启动期和忙期均属在线期,以表示在线期的长度,a 表示休假结束时系统中顾客数,也就是系统启动时间结束时的顾
16、客数.则可以求母函数T():E:“*G()1 二*(1 一豆*()这里 MG(z)是第一个批量到达顾客引起的启动时间的 LST,因此由上式可求得在线期的均值:E=():1=u+=ED+E由在线期的均值可以验证系统的在线期是由一个启动期和其后的忙期组成的.其中 EB是系统忙期 ,从而验证了在线期的分析.在本文中,如果批量的顾客数是单个顾客,则得到多重休假的带启动期的 M/G/1排队,具体结果可以参看文献5; 如果休假时间为零 ,则得到带启动期的 Mx/G/1 排队,具体结果也可以参看文献8.参考文献:1LevyH,KeinrockL.Aqueuewithstarterandqueuewithva
17、cations:DelayanalysisbydecompositionJ.OperRes,1986,34;426-436.2DoshiB.Queueingsystemswithvacations-.asurveyJJ.QueueingSystems.1986,1:29-66.3TakagiH.QueueingAnalysis:Afoundationofperformanceevaluation,volivacationandprioritysystems,partiM.NewYork:Elsevier,Amsterdam,1991.4ChoudhryG.TheM/G/1queueingsys
18、temwithsetuptimeandretatedvacationmodelsJ.JAssamSciSOC,1995.37:433.441.5马占友,陈利 ,田乃硕.多重休假的带启动期的 M/G1 排队J. 燕山大学,2003.27(2):175.177.6田乃硕.休假随机服务系统M.北京:北京大学出版社,2001.7LeeHS.SrinivasanMM.ControlpolicesfortheMx/G/1quueingsystemJ.ManagmSci.1989,35:708.721.8ChoudhryML.AnM/G/1queueingsystemwithasetupperiodanda
19、ndavacationperiodJ.QueucingSystems.2000,36:23.38.9LeeHW,sS,ParkJO.ChaeKC.AnalysisofIGI1queuewithN-mheyandmultiplevacationsJ.JApplPmMb.1994.31:476.496.1OChoudhryML.ThequeueingsystemMIGI1anditsramiricationsJ.NavalResLogisticQuarter,1979,26;667.674.11CooperR.Introductiontoqueueingtheory(secondedition)M.NewYork:North.HollandPublishingCompany.1981.
