1、学科：数学教学内容：平行四边形的特征 【学习目标】1探索并掌握平行四边形的特征2灵活运用平行四边形的特征解决问题3平行四边形一般转化成三角形的问题来解决【基础知识概述】1平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“ ”表示平行四边形 ABCD 记作 ，读作平行四边形 ABCD(3)平行四边形定义的作用：由定义知平行四边形的两组对边分别平行由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形2平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等(2)平行四边形的对边平行且相等(3)平行四边形的对角线互相平分
2、(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积注意：特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段互相平分指两条线段有公共的中点3平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等如图 12-1-1，有如下结论：(对 角 线 互 相 平 分 )， 对 角 相 等， 对 边 相 等， 对 边 平 行，是 平 行 四 边 形 ， 则如 果 四
3、边 形 DOBCA/BD4两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2)两平行线间的距离处处相等注意：距离是指垂线段的长度，是大于 0 的平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置5平行四边形的面积：(1)如图 12-1-2， 也就是 (a 是平行四边形任何一边长，h 必须是 a 边与其对边的距离) (2)同底(等底) 同高(等高)的平行四边形面积相等如图 12-1-2， 有公共边 BC，则 注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，
4、平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了【例题精讲】例 1 如图 12-1-3，已知 的对角线相交于点 O，过 O 作直线交 AB 于 E，交CD 于 F，可得 OEOF 为什么？分析：要得到 OEOF，可先证得它们所在AEO 与CFO(BEO 与DFO) 重合解：在 中，ABCD ，ODOB ，12，34，将BOE 绕点 O 旋转 180 度后与DOF 重合OEOF 注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明例 2 (1)在 中，AB23，求各角的度数(2)已知 的周长为 28cm，ABBC34，求它的各边的长分析：(1)在平行四边形中，邻角是互
5、补的，而对角是相等的，所以A 与B 必是邻角，其和为 180，可据此列式求出角度(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的 2 倍，可以据此列式求出各边长解：(1)由于A、B 是平行四边形的两个邻角，所以 AB 180又因为AB 23，不妨可设A 2k，B 3k，那么 2k3k180，可以解得 k36，则AC72，B D108(2)由于在 中，ABCD，BC AD所以 ABBC CDAD28，即ABBC 14由题意得 ABBC34，因此可设 AB3k，BC4k，那么有3k4k14，解得 k2，则 ABCD6cm，BCAD8cm例 3 如图 12-1-4，已知 的周长为 60 cm，对角线
6、 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长长 8cm，求这个四边形各边长分析：由平行四边形对边相等知 ABBC平行四边形周长的一半 30cm，又由AOB 的周长比BOC 的周长长 8 cm 知 ABBC8cm，由此两式，可得各边长解：四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD ，ADCB，AOCOABCD ADCB60，AOABOB(OBBC OC)8，AB 十 BC30，ABBC 8，ABCD 19，BCAD11答：这个四边形各边长分别为 19 cm，11 cm，19 cm ，11 cm注意：平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两
7、个三角形周长之差等于邻边之差思考：如图 12-1-4，如果AOB 与AOD 的周长之差为 8，而 ABAD32，那么的周长为多少？提示：周长为 80设 AB3x，则 AD2x，依题意有 3x2x8，x8，AB3x3824，AD2x2816周长2(2416)80例 4 如图 12-1-5，在 中，B120，DEAB，垂足为 E，DFBC ，垂足为 F求ADE ，EDF，FDC 的度数分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得AC，AB180，再由垂直得到角为 90即可解：在 中，AC，ADBC，AB180A180B60C60DEAB，DFBC ，ADE FDC90A 906030注意：在平行四边形中
8、求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及【常见错误分析】例 7 如图 12-1-7， 中，AC 和 BD 交于 O，OEAD 于 E，OFBC 于 F，则OEOF为什么？错解： ，OAOC，OEAD ，OFBC ，AOE COF又12，AOE 旋转 180后与COF 重合，OEOF 误区分析：错误出于AOE COF 这一步骤，原因在于默认了 E，O，F 三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实 E，O ，F 三点共线在证题过程中应该加以
9、证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误正解：解法一： ，ADBC，34又 OAOC，AEOCFO90，AOE 旋转 180后与COF 重合，OEOF 解法二：ADBC ，OEADOEBC又 OFBC，直线 OE 与 OF 重合，即 E，O，F 三点共线，12又OAOC，AEOCFO90，AOE 旋转 180后与COF 重合，OEOF 此命题可推广如下：已知 中，AC 和 BD 交于 O，过点 O 作直线 EF 交 AD 于 F，交 BC 于 F，则OEOF求解(略) 这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立【学习方法指导】1学习平行四
10、边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用2本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念【同步达纲练习】一、填空题1若一个平行四边形相邻的两内角之比为 23，则此平行四边形四个内角的度数分别为_2在 中，周长为 28，两邻边之比为 34，则各边长为_3在 中，A30 ，AB7 cm，AD6 cm ，则 _4一个平行四边形的一边长是 8，一条对角线长是 6，则它的另一条对角线 x 的取值范围为_5 中，周长为 20cm，对角线 AC 交 BD 于点 O， OAB 比OBC 的周长多4，则边 AB_，BC_6平行四边形的边长等于 5 和 7，这
11、个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是_7已知等腰ABC 的一腰 AB9 cm，过底边上任一点 P 作两腰平行线分别交 AB于 M，交 AC 于 N，则 AN 十 PN_8平行四边形两邻边分别是 4 和 6，其中一边上的高是 3，则平行四边形的面积是_9平行四边形邻边长是 4 cm 和 8cm，一边上的高是 5 cm，则另一边上的高是_10如图 12-1-8， 中，E 是 AD 的中点，BD 与 EC 相交于 F，若 ，2SEFD则 _BFCS11已知 P 为 内一点， ，则 _PCDABS12已知 的对角线相交于点 O，它的周长为 10 cm，BCO 的周长比AOB的周长多 2cm
12、，则 AB_二、解答题13已知，如图 12-1-9，在ABC 中，BD 是ABC 的平分线，DEBC 交 AB 于E，EFAC 交 BC 于 F，则 BEFC，为什么？14如图 12-1-10， 中，E，F 是对角线 BD 上两点，且 BEFD，连结AE，FC，则 AEFC，试说明理由15如图 12-1-11， 中，对角线 AC 长为 10 cm，CAB30，AB 长为 6 cm，求 的面积16如图 12-1-12，在等边ABC 中，P 为ABC 内一点，PD AB，PEBC ，PFAC ，D，E，F 分别在 AC，AB 和 BC 上，试说明PD PFPE AB17从平行四边形的一个锐角顶点作
13、两条高，如果这两条高的夹角是 135，求此平行四边形的各角的度数三、思考题18如图 12-1-13，EF 过 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC 于 F，若AB4， BC 5，OE 1.5，求四边形 EFCD 的周长19以平行四边形 ABCD 两邻边 BC、CD 为边向外作正BCP 和正CDQ，则APQ 为正三角形，请说明理由参考答案【同步达纲练习】一、172，108，72，10826，8，6，83 2cm410x2257cm，3 cm65，279 cm812 或 189 cm21081150121.5cm二、13提示：由BED 是等腰三角形得到 BEED，由四边形 DEFC 是平行四边形得到EDFC 即可14提示：通过ABE 与DCF 重合可以得出15 2cm3016延长 FP 交 AB 于 G，延长 DP 交 BC 于 H，四边形 AGPD，EBHD 为平行四边形，PD AG，PH BE，GEP，PHF 为等边三角形，PEEG，PH PFBE，PD PFPE AGGE EBAB1745，135，45，135三、18OEOF 1.5，AECF，DEBF，EDCFBF FC5，CDAB4，四边形 EFCD 的周长为 21.5541219提示：证明ABP、QDA、QCP 三个三角形重合，可得出 APAQPQ 即可
